Главная » Просмотр файлов » Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме

Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (1013633), страница 3

Файл №1013633 Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (Под общ. ред. академика В.С.Авдуевского и проф. В.К.Кошкина - Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике) 3 страницаГлава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (1013633) страница 32017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

равд. 4.2). Однако и в этом случае вычисление коэффициентов ряда является часто весьма трудоемким. В связи с этим наряду с аналитическими развивались и численные методы решения нестационарных задач теплопроводности, причем с появлением электронных счетных машин эти методы приобрели решающую роль в проведении точных инженерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитпых покрытий, камер сгорания и сопел ЯРД, тепловые режимы ИСЭ). Численные методы являются, пожалуй, единственным инструментом решения нелинейных задач и задач теплопроводностей тел сложной формы.

91 4.5.1. Явный метод д( Яа т Оп (4.26) Тепловые потоки выражаются через закон Фурье: Ял = дТ . дТ = — Хг — ; 1(, = Хг' †, где г' — площадь поверхности слоя. дх ' и дх ' Так как мы предположили, что между узлами (а значит и на границе слоя) температура меняется по линейному закону, то Д =хс' Т", — Т" .) ° р х х — ! )хо х — 1 х Т" — Т" Т" — Т" Лх Ьх Энтальпия выражается соотношением ! = рГЛхсТ, где с— теплоемкость материала; р — плотность. Рне. 4.8. Внутренний узел рне.

4.7. Схема решення задач песта. цнонарной теплопрозоднастн методом конечных разностей 92 Идею одного из простейших численных методов продемонстрируем иа примере одномерной задачи прогрева (охлаждения) плоской стенки с граничными условиями 3-го рода. Разобьем стенку изотермическимн поверхностями (в рассматриваемой задаче они параллельны поверхности стенки) на слои равной толщины Лх. В центре каждого слоя поместим узел.

Исключение составляют слои, непосредственно прилегающие к границам твердого тела; их толщина вдвое меньше и узлы расположепы на границе (рис. 4.7). Пронумеровав узлы и соответствующие им слои и разделив интересующий нас период времени на малые интервалы Лт„бт„гхтз, ..., Лт„и т. д., температуру Ьго узла в п-й момент времени будем считать равной Тх. Считаем, что температура между узлами в каждый момент времени изменяется по линейному закону (рис. 4.8).

Запишем баланс тепла для (е-го слоя (см. рис. 4.8). Очевидно, что тепловые потоки, втекающие через левую Цл и правую 1;1„ границы слоя, изменяют энтальпию ( рассматриваемого слоя, т. е. Ее изменение за интервал вре- т мени Лт в предположении, что плотность и теплоемкость постоянны, можно аппроксимировать выражением д! т,"-' — т,п — рг Лкс д! дт Подставляя соотношения для дl ()л, Яи н — д в уравнение (4.26), получим Рис.

4.9. Грпничнии узел тп тп тп — 7' т '! 7' г и ! и ) )и х.~-! и и Л х и Ьх Ьх р дх Решая это уравнение относительно Т„, получим и+! Тх~' =- Ро(Тх!.! + Тх !) +(1 — 2Ро) Тх, (4,27) пах где критерий Фурье определяется соотношением го =, Х (ах)п Х (а =- — ). Уравнение (4.27) позволяет в явной форме определить значе- ния температур во всех внутренних узлах в (и — , '1)-й момент вре- цени, если известны значения температур в л-й момент, поэтому такой способ численного решения называется явным. Теперь рассмотрим баланс тепла в граничном слое (рис. 4.9). Отличие от предыдущего случая состоит в том, что поток тепла через левую границу счоя определяется по формуле Ньютона Яп = аг (Т( — Т!), что знтальпия равна ! = — ргЛксТ, т.

е. д7 1 тп+! тп — — рр Лкс ' ' . Записав балансное уравнение (4.26), дх 2 Ьх получим т, "— т", те+! т", аТ (Т! — Т",) + ЛТ = — рТ Лхс откуда Т!" ' = 2Го(Те+ В1Т7)+Т! (1 — 2Ро — 2ГоВ1), (4.28) где В! = аЛк(Л. Чтобы решить задачу нестационарного теплообмена, необходимо знать начальное распределение температуры в теле Т,.

С помощью соотношений (4.26) и (4.28) определяется распределение температуры в следующчй момент времени Лт, — ТхЛ Дальше процесс повторяется до тех пор, пока не оудет достигнут момент времени, для которого требуется знать распределение температуры. Аналогично можно решать двухмерные и трехмерные задачи 93 Остановимся на выборе шагов интегрирования Лт и Лх. Этот выбор не является произвольным. Покажем, что при некоторых соотношениях шагов можно получ!пь результаты, противоречащие законам термодинамики, Пусть в какой-то момент времени в трех соседних точках температуры равны Тх ! = 200 К; Т,", =.

= 100 К; Ть+! = 200 К. Пусть интервал времени Лт таков, что критерий Го = 1. Определим Ть по формуле (4.27); Ть"''.= = (200 + 200) — 100 = 300 К. В первый момент времени температура )г-й точки меньше, чем в двух соседних точках, и тепло подводится к ней от этих точек. Таким образом, тот факт, что в следующий момент времени температура )г-й точки превысила 200 К, противоречит второму закону термодинамики. Анализ показывает, что нарушение законов термодинамики не будет происходить только при выполнении условия Го «( 1/2, (4.29) т.

е., когда коэффициент при Ть в формуле (4.27) не является отрицательным. Условие (4.29) называется критерием устойчивости уравнения (4.27). Если оно не выполняется, решение становится неустойчивым. Критерий устойчивости для опоя, прилежащего к границе, имеет вид 1 — 2 Го — 2Го В) > О. (4. 30) Для получения устойчивого решения неооходимо и достаточно выполнение обоих условий: (4.29) и (4.30).

Например, если положить Го = 1/4, то из (4.30) получим условие В! ~ ! . Это значит, что, если значение коэффициента теплоотдачи а достаточно велико, необходимо уменьшить шаг Лх, что, в свою очередь, повлечет уменьшение шага Лт согласно (4.29). Ограничения типа (4.29), (4.30) являются существенным недостатком явных методов. Пример 3. Рассмотрим применение описанного вьппе численного метода для решения задачи, представленной в примере 1. Решение. Разобьем плиту на 1! слоев: 9-- толщиной Лх = 0,02 и 2 — толщиной Лх/2. к Лх 40 0,02 Критерий В! = — = ' =- 0,02. Л 40 Выберем шаг по времени так, чтобы удовлетворялись условия устойчивости (4.29) и (4.30).

а ос Лт Пусть Ля = 10 с, тогда Ро = — ' = 0,34725 ~ 0,5, Лх' Таким образом, условие (4.29) выполняется. Условие (4.30) также выполняется. Для решения задачи можно использовать следующую программу на языке ФОРТРАН, основанную на уравнениях (4.27) и (4.28): РЕООЕйм 1че5тАт ЕЕАЬ Л, ЬАМВРА ШМЕХ51ОХ Т (11), Т1 (11) 500 ГОНМАТ (!Х, 5Е!2.5) 300 Г01(МАТ (!Х, 10Е12 5) НЕАР 500, ОТ, ТА1)К, 1., ТО, ТЕ, АЕРА, 1.АМВ)ЗА, А *;.чв РК!МТ 500, РТ, ТА1)К, 1 ТО, ТР.

АЕ!зА. 4АМВ()А, )Г )ч'Ъ' =- 11 РХ= 1.Я14У вЂ” 1) В1 = АЕГА з ОХ/ЕАМВОЛ ЕО = А а РТ!РХ и и 2 РО 1 К=1, !ЧУ 1 Т (К) = ТО ТА1) = 0 МЕ = )4У вЂ” 1 2 ТАУ= ТАМАЗ+ ОТ ОО 4К = 1, !чу 4 Т! (К) = Т (К) Т (1) = 2 е ЕО е (Т1 (2) + В1 в ТЕ)+ Т! (1) в (1 — 2 в ЕО— — 2*В! еЕО) т бчу) = т (1) 4ОО 3 К = 2, )че 3 Т (К) =- ГО а (Т! (К+ 1)+ Т) (К 4)+ +(! — 2 е ГО) и Т1(К) РВ1!ЧТ 300, ТАМАЗ РВ1!ЧТ 300, Т !Р (ТАР.ЕЕ.ТАНК) ОО ТО 2 5ТОР Е!4О В программе используются следующие обозначения; входная информацня— ОТ Лт; ТАНК вЂ” конечный момент времени; Е 26; То Тр! АЕГА сп ) АМВОА Х; А — а; выходная информация — ТАЬ (текущий момент времени); Т (11) — массив значений температуры в узлах в текущий момент времени.

В результате получаем: через 24 мин — Тц, = 840,18 К; Тц = 857,3 К; Через 1 ч — Тц = 727,95 К; Тц = 748,8 К. Эти результаты неплохо согласуются с полученными в примере 1. 4.5.2. Неявный метод Как уже говорилось, основной недостаток явных методов связан ограничениями на шаг по времени согласно критериям устойчивости (4.229) и (4.30). Часто для удовлетворения этих критериев приходится выбирать очень малый шаг Лт, что приводит к возрастанию времени расчетов. Избежать ограничений на шаг по времени, связанных с удовлетворением критериев устойчивости, позволяет переход к неявным методам.

Рассмотрим сначала внутренний узел. Если выразить потоки тепла через температуры на (л + 1)-м шаге по времени (а не на п-м, как это было сделано в предыдущем разделе), то получится следующий конечно-разностный аналог дифференциального уравнения теплопроводности 7а-Ь! Тч.~-! Тк-'-! Тч.Ь! Тп .-! Тп ХЕ " ' ' -(-ХР ь' = РР Ахо,, (431) 95 откуда получаем систему уравнений для определения температур на (и + 1)-м шаге по времени Т,"~' (1 + 2 Ро) — Ро Т~ч1 — Ро Т4~1 — Тд = — О.

(4.32) В отличие от явного метода, при использовании которого температура Т, "1 выражается явно через остальные члены уравнения (4.27), в данном случае необходимо решать одновременно систему уравнений (4.32) для всех узлов. Такой метод называется неявным. Он является устойчивым при любом значении Ат, и в этом его основное преимущество по сравнению с явным методом. Его недостаток — это необходимость решать систему алгебраических уравнений.

Аналогично выводится уравнение для граничных узлов: 11 + 2 Го (! + В|)1 Т|" ~~' — 2 Го (Та + В! ТТ ) - - Т1 = О. (4.33) Таким образом, получена система из (Ж вЂ” 2)-х уравнений для внутренних узлов и 2-х — для граничных. Она содержит М неизвестных и таким образом является замкнутой. Эту систему решают эффективным способом, описанным в главе ХИ. 4.6. РЕГУЛЯРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однорошюго и изотропного тела, начальное распределение температур в котором (при т = 0) задано известной функцией координат 7 (х, д, г! .= = Т,.

Характеристики

Список файлов книги

Под общ. ред. академика В.С.Авдуевского и проф. В.К
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее