Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (1013633), страница 3
Текст из файла (страница 3)
равд. 4.2). Однако и в этом случае вычисление коэффициентов ряда является часто весьма трудоемким. В связи с этим наряду с аналитическими развивались и численные методы решения нестационарных задач теплопроводности, причем с появлением электронных счетных машин эти методы приобрели решающую роль в проведении точных инженерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитпых покрытий, камер сгорания и сопел ЯРД, тепловые режимы ИСЭ). Численные методы являются, пожалуй, единственным инструментом решения нелинейных задач и задач теплопроводностей тел сложной формы.
91 4.5.1. Явный метод д( Яа т Оп (4.26) Тепловые потоки выражаются через закон Фурье: Ял = дТ . дТ = — Хг — ; 1(, = Хг' †, где г' — площадь поверхности слоя. дх ' и дх ' Так как мы предположили, что между узлами (а значит и на границе слоя) температура меняется по линейному закону, то Д =хс' Т", — Т" .) ° р х х — ! )хо х — 1 х Т" — Т" Т" — Т" Лх Ьх Энтальпия выражается соотношением ! = рГЛхсТ, где с— теплоемкость материала; р — плотность. Рне. 4.8. Внутренний узел рне.
4.7. Схема решення задач песта. цнонарной теплопрозоднастн методом конечных разностей 92 Идею одного из простейших численных методов продемонстрируем иа примере одномерной задачи прогрева (охлаждения) плоской стенки с граничными условиями 3-го рода. Разобьем стенку изотермическимн поверхностями (в рассматриваемой задаче они параллельны поверхности стенки) на слои равной толщины Лх. В центре каждого слоя поместим узел.
Исключение составляют слои, непосредственно прилегающие к границам твердого тела; их толщина вдвое меньше и узлы расположепы на границе (рис. 4.7). Пронумеровав узлы и соответствующие им слои и разделив интересующий нас период времени на малые интервалы Лт„бт„гхтз, ..., Лт„и т. д., температуру Ьго узла в п-й момент времени будем считать равной Тх. Считаем, что температура между узлами в каждый момент времени изменяется по линейному закону (рис. 4.8).
Запишем баланс тепла для (е-го слоя (см. рис. 4.8). Очевидно, что тепловые потоки, втекающие через левую Цл и правую 1;1„ границы слоя, изменяют энтальпию ( рассматриваемого слоя, т. е. Ее изменение за интервал вре- т мени Лт в предположении, что плотность и теплоемкость постоянны, можно аппроксимировать выражением д! т,"-' — т,п — рг Лкс д! дт Подставляя соотношения для дl ()л, Яи н — д в уравнение (4.26), получим Рис.
4.9. Грпничнии узел тп тп тп — 7' т '! 7' г и ! и ) )и х.~-! и и Л х и Ьх Ьх р дх Решая это уравнение относительно Т„, получим и+! Тх~' =- Ро(Тх!.! + Тх !) +(1 — 2Ро) Тх, (4,27) пах где критерий Фурье определяется соотношением го =, Х (ах)п Х (а =- — ). Уравнение (4.27) позволяет в явной форме определить значе- ния температур во всех внутренних узлах в (и — , '1)-й момент вре- цени, если известны значения температур в л-й момент, поэтому такой способ численного решения называется явным. Теперь рассмотрим баланс тепла в граничном слое (рис. 4.9). Отличие от предыдущего случая состоит в том, что поток тепла через левую границу счоя определяется по формуле Ньютона Яп = аг (Т( — Т!), что знтальпия равна ! = — ргЛксТ, т.
е. д7 1 тп+! тп — — рр Лкс ' ' . Записав балансное уравнение (4.26), дх 2 Ьх получим т, "— т", те+! т", аТ (Т! — Т",) + ЛТ = — рТ Лхс откуда Т!" ' = 2Го(Те+ В1Т7)+Т! (1 — 2Ро — 2ГоВ1), (4.28) где В! = аЛк(Л. Чтобы решить задачу нестационарного теплообмена, необходимо знать начальное распределение температуры в теле Т,.
С помощью соотношений (4.26) и (4.28) определяется распределение температуры в следующчй момент времени Лт, — ТхЛ Дальше процесс повторяется до тех пор, пока не оудет достигнут момент времени, для которого требуется знать распределение температуры. Аналогично можно решать двухмерные и трехмерные задачи 93 Остановимся на выборе шагов интегрирования Лт и Лх. Этот выбор не является произвольным. Покажем, что при некоторых соотношениях шагов можно получ!пь результаты, противоречащие законам термодинамики, Пусть в какой-то момент времени в трех соседних точках температуры равны Тх ! = 200 К; Т,", =.
= 100 К; Ть+! = 200 К. Пусть интервал времени Лт таков, что критерий Го = 1. Определим Ть по формуле (4.27); Ть"''.= = (200 + 200) — 100 = 300 К. В первый момент времени температура )г-й точки меньше, чем в двух соседних точках, и тепло подводится к ней от этих точек. Таким образом, тот факт, что в следующий момент времени температура )г-й точки превысила 200 К, противоречит второму закону термодинамики. Анализ показывает, что нарушение законов термодинамики не будет происходить только при выполнении условия Го «( 1/2, (4.29) т.
е., когда коэффициент при Ть в формуле (4.27) не является отрицательным. Условие (4.29) называется критерием устойчивости уравнения (4.27). Если оно не выполняется, решение становится неустойчивым. Критерий устойчивости для опоя, прилежащего к границе, имеет вид 1 — 2 Го — 2Го В) > О. (4. 30) Для получения устойчивого решения неооходимо и достаточно выполнение обоих условий: (4.29) и (4.30).
Например, если положить Го = 1/4, то из (4.30) получим условие В! ~ ! . Это значит, что, если значение коэффициента теплоотдачи а достаточно велико, необходимо уменьшить шаг Лх, что, в свою очередь, повлечет уменьшение шага Лт согласно (4.29). Ограничения типа (4.29), (4.30) являются существенным недостатком явных методов. Пример 3. Рассмотрим применение описанного вьппе численного метода для решения задачи, представленной в примере 1. Решение. Разобьем плиту на 1! слоев: 9-- толщиной Лх = 0,02 и 2 — толщиной Лх/2. к Лх 40 0,02 Критерий В! = — = ' =- 0,02. Л 40 Выберем шаг по времени так, чтобы удовлетворялись условия устойчивости (4.29) и (4.30).
а ос Лт Пусть Ля = 10 с, тогда Ро = — ' = 0,34725 ~ 0,5, Лх' Таким образом, условие (4.29) выполняется. Условие (4.30) также выполняется. Для решения задачи можно использовать следующую программу на языке ФОРТРАН, основанную на уравнениях (4.27) и (4.28): РЕООЕйм 1че5тАт ЕЕАЬ Л, ЬАМВРА ШМЕХ51ОХ Т (11), Т1 (11) 500 ГОНМАТ (!Х, 5Е!2.5) 300 Г01(МАТ (!Х, 10Е12 5) НЕАР 500, ОТ, ТА1)К, 1., ТО, ТЕ, АЕРА, 1.АМВ)ЗА, А *;.чв РК!МТ 500, РТ, ТА1)К, 1 ТО, ТР.
АЕ!зА. 4АМВ()А, )Г )ч'Ъ' =- 11 РХ= 1.Я14У вЂ” 1) В1 = АЕГА з ОХ/ЕАМВОЛ ЕО = А а РТ!РХ и и 2 РО 1 К=1, !ЧУ 1 Т (К) = ТО ТА1) = 0 МЕ = )4У вЂ” 1 2 ТАУ= ТАМАЗ+ ОТ ОО 4К = 1, !чу 4 Т! (К) = Т (К) Т (1) = 2 е ЕО е (Т1 (2) + В1 в ТЕ)+ Т! (1) в (1 — 2 в ЕО— — 2*В! еЕО) т бчу) = т (1) 4ОО 3 К = 2, )че 3 Т (К) =- ГО а (Т! (К+ 1)+ Т) (К 4)+ +(! — 2 е ГО) и Т1(К) РВ1!ЧТ 300, ТАМАЗ РВ1!ЧТ 300, Т !Р (ТАР.ЕЕ.ТАНК) ОО ТО 2 5ТОР Е!4О В программе используются следующие обозначения; входная информацня— ОТ Лт; ТАНК вЂ” конечный момент времени; Е 26; То Тр! АЕГА сп ) АМВОА Х; А — а; выходная информация — ТАЬ (текущий момент времени); Т (11) — массив значений температуры в узлах в текущий момент времени.
В результате получаем: через 24 мин — Тц, = 840,18 К; Тц = 857,3 К; Через 1 ч — Тц = 727,95 К; Тц = 748,8 К. Эти результаты неплохо согласуются с полученными в примере 1. 4.5.2. Неявный метод Как уже говорилось, основной недостаток явных методов связан ограничениями на шаг по времени согласно критериям устойчивости (4.229) и (4.30). Часто для удовлетворения этих критериев приходится выбирать очень малый шаг Лт, что приводит к возрастанию времени расчетов. Избежать ограничений на шаг по времени, связанных с удовлетворением критериев устойчивости, позволяет переход к неявным методам.
Рассмотрим сначала внутренний узел. Если выразить потоки тепла через температуры на (л + 1)-м шаге по времени (а не на п-м, как это было сделано в предыдущем разделе), то получится следующий конечно-разностный аналог дифференциального уравнения теплопроводности 7а-Ь! Тч.~-! Тк-'-! Тч.Ь! Тп .-! Тп ХЕ " ' ' -(-ХР ь' = РР Ахо,, (431) 95 откуда получаем систему уравнений для определения температур на (и + 1)-м шаге по времени Т,"~' (1 + 2 Ро) — Ро Т~ч1 — Ро Т4~1 — Тд = — О.
(4.32) В отличие от явного метода, при использовании которого температура Т, "1 выражается явно через остальные члены уравнения (4.27), в данном случае необходимо решать одновременно систему уравнений (4.32) для всех узлов. Такой метод называется неявным. Он является устойчивым при любом значении Ат, и в этом его основное преимущество по сравнению с явным методом. Его недостаток — это необходимость решать систему алгебраических уравнений.
Аналогично выводится уравнение для граничных узлов: 11 + 2 Го (! + В|)1 Т|" ~~' — 2 Го (Та + В! ТТ ) - - Т1 = О. (4.33) Таким образом, получена система из (Ж вЂ” 2)-х уравнений для внутренних узлов и 2-х — для граничных. Она содержит М неизвестных и таким образом является замкнутой. Эту систему решают эффективным способом, описанным в главе ХИ. 4.6. РЕГУЛЯРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однорошюго и изотропного тела, начальное распределение температур в котором (при т = 0) задано известной функцией координат 7 (х, д, г! .= = Т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
