Глава III. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло- и м (1013632), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Величина атой силы, отнесенная к единице объема, равна д (р, — р), где р, и р— плотности холодных и нагретых частиц жидкости. Согласно выражению (3.!4) р, = р [! + Р (Т вЂ” То)) (ввидУ малости Р (Т вЂ” Т,) по сравнению с 1), следовательно, р, — р = = р)з (Т вЂ” Т,) и подъемная сила принимает вид урР (Т вЂ” Т,) = = ур1зЬТ, где ЛТ вЂ” разность температур, вследствие которой возникает свободная конвекция. Соответственно составляющая подъемной силы вдоль оси х равна барр (Т вЂ” Т,) соз зр.
Знак минус перед ней в уравнении движения учитывает то обстоятельство, что при соззр) О и Т > Т, подъемная сила направлена против направления движения вдоль оси х. 66 Начальные условия можно записать так: при т < О, х ) О иО(у(оо Т=Т;, — =Ра~ —, —, —, — ), (=х,у,г, (3.15) иа Г г 9 г иа1ат иа '~!а' 1а' 1а' где Еа — заданные функции. Граничные условия принимают вид: при т ) О, х < О (вдали от тела) Т=-Т;, и=и,; о=па=О; при т ) О, О .( х ( 1„у = О (иа поверхности тела) дТ Т =- Т или Х вЂ” = д„; и =- о = щ = О.
(3.! 7) и ду В уравнениях и условиях однозначности различают три вида величин: независимые переменные — координаты х, у, г и время т; зависимые переменные — зто а, Т, и, о, иа, р (они однозначно определяются значениями независимых переменных, если заданы величины, входящие в условие однозначности); постоянные величийы — и„Т„Т, !а, р, Х, а, (), р (они задаются условиями однозначности и для конкретной задачи являются постоянными величинами, не зависящими от других переменных). Итак, искомые зависимые переменные а, Т, и, о, ю, р зависят от большого числа величин и являются функцией независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности.
Величины, входящие в выражения (3,15) ... (3.17), можно сгруппировать в безразмерные комплексы, причем их число будет меньше числа размерных величин. Рассмотрим случай, когда задана температура стенки Т . Для приведения системы уравнений (3.15) и условий однозначности (3.16) и (3.17) к безразмерному виду введем переменную О =. Т вЂ” Т, и выберем масштабы: для координат и линейных Размеров 1„для скоростей — о„для температур — о = Т вЂ” Т,. Используя зти масштабы, введем безразмерные величины: Х=х(1,; У=уД„; Е=гу,; (7 = и(и„У = оуиа; 1У = иа7ио; О7О~ (7 7 о) (Т~ 7 о).
(3.18) Подставим в выражения (3.15) ... (3.!7) вместо размерных величин, для которых выбраны масштабы, произведения из безРазмерных величин на их масштабы: х = (оЛ'' у = !о)', г = !оА и = ио(7; и = иаУ; иа = иа)У; Т = Т.+ Е(Т. — Та). з Уравнения энергии, движения н теплообмена примут соответственно вид: до ио а + о (У атаби) =- — РЦ дт 1о ооо дУ Риоо ри — + — о (У нгаб У) = — др)Ь,„О сов орв ~о 1 др, иио — — — — 72(/; 1о дХ Ц «2 = — — (д8/д~')у=а. й оо Умножив уравнение энергии на 12(а, уравнение движения на 2 1е/ри„уравнение теплообмена на (о/)' и выполнив аналогичные 2 преобразования для уравнений неразрывности, начальных и граничных условий, получим математическое описание процесса конвективного теплообмена в безразмерной форме: ди — + РеД'дгао( 9) =- РО; дУ + Ке (1 Ига«( ) =- — ие 6 .
з Р— дл (Е Ке) + 2(' Сг д Ке (3.19) б(ч У = 0; Хп = — (д6/дУ)и е. При Ро(0; Х)~0; 0(1' ео 6=0; Ъ"о=с"о(Х, У, Я, ке); (=х,у,г. ПриРо)0; Х<0 8=0; У= — 1; У = %' = О. При Ро) 0; 0<Х<1; К=О 6=1; (.г='й=-В'=О. Полученное безразмерное описание процесса конвективного тепло- обмена содержит следующие безразмерные комплексы: ат Ро = —, — крптерий Фурье; оа Ре = — — критерий Пекле; иосо а ~о~о Ке = — ' — критерий Рейнольдса; и ии" го бг =, — критерий Грасгофа; Ен= —., — критерий Эйлера; Р ри' а~о 1чп = — — критерий Нуссельта. 1 Еп = —,, Р Риоо представляет собой отношение статического давления к скоростному напору (к силам инерции).
Можно показать, что он связан с критерием Маха М = и /а, где а — скорость распространения звука в среде. Для этого умножим числитель и знаменатель в (3.22) на показатель адиабаты й и учтем, что а =11йгсТ. Получим РЛ ЬРи ЬИт риР м, в1 лм (3.23) бв (3.22) 3.5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ И КРИТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При приведении системы уравнений конвективного теплообмена к безразмерному виду появляются безразмерные комплексы, составленные нз разнородных физических величин; ат ио!о ио1о огй и о р и1о иб 1а 1о г а о г ио г риг Этнм комплексам, называемым критериями подобия или числами подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие гидродинамики или теплопереноса, Рассмотрим физический смысл полученных в равд. 3.4 критериев подобия. Критерии Ке, Еп называют критериями гидродинамического подобия; Кц, Ре, Го, Сгг — критериями теплового подобия.
Критерий Рейнольдса (3. 21 ). ог характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке и получается, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий силы трения: а вагап и ио1о У угад У ,Пои ~ Уо11 Критерий Рейнольдса является важной характеристикой процессов течения жидкости. Сила вязкого трения упорядочивает движение жидкости и противодействует возмущениям, которые нарушают форму течения и усиливаются с ростом инерционных сил. Таким образом, эти две силы оказывают на поток противоположное влияние, При преобладании сил трения движение жидкости является ламинарным, при преобладании инерционных сил — турбулентным.
Поэтому малым значениям критерия Рейнольдса соответствует ламинарное течение, большим — турбулентное. С ростом Ке устойчивость ламинарного течения уменьшается и при некотором критическом значении числа Рейнольдса Не„рг начинается появление турбулентных пульсаций. Турбулентное течение становится устойчивым при Кеирг Ке„р,. Критерий Эйлера При малых дозвуковых скоростях (М ( 0,7) статическое давление изменяется мало и критерий Ец не влияет на теплообмен. При движении потока с большими скоростями влияние Ец или М на теплообмен существенно и его приходится учитывать. В уравнение движения критерий Еп входит под знаком производной. Поэтому при течении несжимаемой жидкости существенно не само давление, а его изменение.
При исследовании течений в каналах критерий Эйлера представляют в виде Ец = —,, лр г" о где Лр — перепад статических давлений между двумя точками системы. В этом случае Ец представляет собой отношение перепада статических давлений к скоростному напору и является определяемым при исследовании гидравлических сопротивлений в каналах. Критерий Нуссельта Ыц = Ы,/Х (3.25) характеризует теплообмен на границе стенка — жидкость и в задачах конвективного теплообмена является обычно определяемой величиной. Если выразить Хц в виде Хц = (а ЛТ)/ (ЛТ вЂ” "), где ЛТ— х 1о температурный напор, то видно, что критерий Нуссельта есть отношение величины плотностей тепловых потоков: переданного в процессе теплоотдачн и прошедшего через слой толщиной / вследствие теплопроводностн. Можно также трактовать Нп = а = — как отношение коэффициента теплоотдачи к термической лд, проводимости слоя жидкости толщиной („.
Критерий Пекле Ре = и,(,/а. (3.26) Если его представить в виде —, то видно, что он харс,и, АТ лд дт рактеризует отношение тепла, переданного конвекцией, к теплу, переносимому теплопроводностью. Критерий Пекле был получен из уравнения энергии при делении конвективного члена на член, учитывающий перенос тепла теплопроводностью. Критерий Фурье Ро =- ат/Р (3.27) можно рассматривать как отношение времени протекания процесса т ко времени перестройки температурного поля среды (,'/а, прямо пропорциональному квадрату линейного размера системы и обратно пропорциональному температуропроводности среды. Критерий Фурье включают в число определяющих при исследовании нестационарных процессов теплообмена.
70 Критерий Грасгофа Фм; аЬ ать Сг=,о, 0 (3.28) Рг — ио1(Фо) (3.29) который можно рассматривать как меру отношения кинетической энергии потока к работе сил тяжести. Если в критерии Грасгофа заменить ()д = (р, — р)/р„где р и р, — плотности жидкости в двух различных точках, то получится критерий Архимеда а10 ро — р Аг =- — —— = уа Ро (3.30 ) Его обычно используют при рассмотрении двухфазных сред, например при свободном движении жидкости, в которой находятся твердые частицы, пузыри или капли другой жидкости. В этом случае р, и р будут соответственно плотностями фаз. Поскольку различие критериев Ке и Ре проявляется только в физических свойствах жидкости т и а, целесообразно выделить эти свойства в отдельный критерий подобия.
Новые безразмерные величины могут быть получены комбинированием старых безразмерных величин, однако при этом общее число переменных не должно изменяться. Критерий Пекле представим как произведение двух критериев Ре = неРг= — —. а,1, а ' (3.3)) Критерий Прандтля Рг = ч/а = рср/Х (3.32) целиком составлен из физических параметров, поэтому и сам является физическим параметром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
