Глава III. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло- и м (1013632), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(3.7) Для однофазных жидкостей с, Х, 1х практически не зависят от давления. Уравнения (З.З) ... (3.5) получены для несжимаемой жидкости, Однако они с достаточной точностью справедливы и для течения сжимаемых жидкостей (например газов), если скорость их течения значительно меньше звуковой. Для решения уравнений (З.З) ... (3.5) необходимо задать краевые условия, к которым относятся: 1) геометрические условия, характеризуюгцие форму и размер тела, омываемого жидкостью; 2) граничные условия, характеризующие распределение скорости, давления, температуры на поверхности тела 5 и во входном и выходном сечениях канала. При феноменологическом описании процессов теплообмена скорость на поверхности тела 5 при- 62 нимается равной нулю (принимается, что жидкость прилипает к поверхности), т.
е. о (5) = О. (3.8) При течении жидкости в каналах граничные условия для температурного поля могут быть заданы в виде изменения температуры на поверхности тела (граничные условия 1-го рода): Т=Т(5, т), (3.9) или в виде изменения плотности теплового потока (граничные условия 2-го рода): у = у(5 т)! (3.10) 3) начальные условия, характеризующие распределение скорости и температуры в начальный момент времени при т = 0: о = о (х, у, г, О); Т = Т (х, у, г, О); р = р (х, у, г, О). (3.11) Для стационарного процесса граничные условия по времени не изменяются, а начальные условия не нужны.
Для ламинарного течения система уравнений (3.3) ... (З.б) с учетом (3,6) ... (3.!1) является замкнутой. В общем случае получить аналитическое решение не удается, поэтому задача решается численно и возможности ее решения определяются возможностями современных вычислительных машин. Для тур. булентного течения рассматриваемая система уравнений незамкнута, так как для мгновенных значений параметров задача является нестационарной и имеющихся представлений о турбулентном течении недостаточно для задания начальных условий (3.11). Для определения коэффициента теплоотдачи при решении данной системы уравнений используется закон (2.3) д = — Х (дТ)дп)„ (3.!2) так как у поверхности твердого тела имеется слой неподвижной жидкости и тепло переносится только за счет теплопроводностн, (Здесь и — нормаль к поверхности тела; индекс ю» означает, что производная берется на поверхности тела,) Приравнивая величины плотности теплового потока, полученные по выражениям (3.2) и (3.17), получим т — т (дТ7дп) .
(3.13) т — т, Уравнение (3.13) называется дифференциальным уравнением теплообмена, оно описывает процесс теплообмена на границах тела 5. 3.3. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Конвективный теплообмен представляет собой весьма сложный физический процесс, описываемый системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности. Решение этих 63 уравнений встречает серьезные затруднения. Поэтому большое значение приобретают экспериментальные исследования конвективного теплообмена. Экспериментальные исследования ведутся, как правило, на моделях. При постановке эксперимента необходимо выбрать параметры исследуемой модели, определить измеряемые величины и методику их обработки.
Естественно, что исследователь должен знать, как перенести полученные с помощью модели данные на другие аналогичные натурные процессы. На все эти вопросы дает ответы теория подобия. При исследовании сложных процессов теория подобия позволяет объединить размерные физические величины в безразмерные комплексы, число которых меньше, чем число размерных величин, При этом сокращается число величин, от которых зависит искомое значение коэффициента теплоотдачи, что упрощает эксперимент.
Безразмерные переменные отражают влияние на теплообмен совокупности параметров, что облегчает обнаружение физических закономерностей. Необходимо отметить, что теория подобия дает возможность определить только общий вид искомой функции и не позволяет найти ее конкретный вид. Тем не менее, теория подобия необходима как для экспериментальных, так и теоретических исследований для анализа процесса и обобщения полученных данных. Кратко остановимся на самом понятии подобия.
Обязательной предпосылкой подобия физических процессов является геометрическое подобие. Геометрически подобны фигуры, имеющие одинаковую форму и пропорциональны. сходственные линейные размеры. Например, два треугольника со сторонами соответственно 1ь 1м 1з и 11, 1з, /з будут подобны, если 1~/1, = 1;//з = = 1з/1з — — С, где С вЂ” константа подобия (в данном случае геометрического). Понятие подобия можно распространить на любое физическое явление. Оно применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми уравнениями как по форме, так и по содержанию, При этом можно сопоставлять только однородные величины (т. е.
величины, имеющие одинаковую размерность и один и тот же физический смысл) в сходственных точках пространства и сходственные моменты времени. Подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемое явление. Это значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина ~р первого явления пропорциональна однородной величине ф' второго явления, т. е. ~р' = С.~р, где константа подобия С„ не зависит от координат и времейи.
Для подобия процессов йеобходимо подобие полей всех существенных для них величин. Для теплового подобия двух процессов необходимо, чтобы они протекали в геометрически подобных системах и чтобы во всех 64 точках системы и во все моменты времени были подобны поля всех величин, характеризующих эти процессы, т. е. поля температур, скоростей, давлений, плотностей, физических свойств и др.: Т'/Т = Ст; и'/и = о',/и = ш /ш = — С; р'/р = С,,; р /р = С,; р'/р = С„; А'/А = Сь и т. п. При этом каждая физическая величина может иметь свою константу подобия С, численно отличную от других, т. е.
в общем случае С, ~ С ~ С„чь С, чь Ф С„Ф См Однако, поскольку сами физические величины связаны между собой, что видно из дифференциальных уравнений (З.З) ... (3.5), то и константы подобия связаны между собой. Для практического использования теории подобия необходимо знать, как привести уравнения рассматриваемых процессов к безразмерному виду. Это можно сделать различными способами. В следующем разделе дифференциальные уравнения конвективного теплообмена и условие однозначности будут приведены к безразмерному виду методом масштабных преобразований.
зни АНАЛИЗ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООВМЕНА МЕТОДОМ ПОДОБИЯ Проанализируем задачу конвективного теплообмена с целью приведения дифференциальных уравнений процесса и условий однозначности к безразмерному виду. Рассмотрим с помощью метода подобия задачу о движении и теплообмене несжимаемой жидкости у поверхности твердого тела, скорость жидкости вдали от тела постоянна и равна и,. Длина тела (, и другие размеры заданы.
В момент времени, предшествующий начальному (т ( О), температуры жидкости и стенки одинаковы и равны Т„ т. е, теплообмен отсутствует и имеет место изотермическое течение. В начальный момент времени (т = О) температура стенки или плотность теплового потока на стенке мгновенно изменяется и принимает постоянное во времени и по поверхности значение Т или д„.
При этих условиях на поверхности тела в течение некоторого времени будет протекать нестационарный процесс тепло- обмена, а затем наступит стационарное состояние. Будем считать физические свойства жидкости (кроме плотности) постоянными. Зависимость плотности р от Т будем учитывать лишь в члене уравнения движения, выражающем архимедову силу. Примем эту зависимость линейной р/Рэ 1 )З (Т 7 о) (3.14) 1 г дих где р, — плотность при температуре Т; р = — ( †/ и дУ э Г др — — — — температурный коэффициент объемного раср ~ дт /, ширения. В других членах уравнения движения и в уравнениях энергии и неразрывности плотность будем считать постоянной.
3 Аьчть~ 4 35 Рис. 3.!. Схема задачи коннектнвиого теилообмеиа (бк и б — толгиины кинамического и теплового пограничных слоев) Полагая, что в потоке отсутствуют внутренние источники тепла и диссипация знергии пренебрежимо мала, примем в уравнении (3.3) уу = О и фР = О.
Расположим оси координат так, как показано на рис. 3.1. Примем, что ось х направлена вдоль тела и под углом зр к направлению ускорения свободного падения, ось у нора мальна к поверхности тела. При атом у„= д соз зр. Движение жидкости и теплообмен в рассматриваемых условиях описываются уравнениями (3.3) ... (3.5), (3.13).
С учетом сделанных допущений зту систему можно записать в векторной форме: дТ вЂ” + и дгаб Т = а'узТ; д'г / ди др р ( — + и дгаб и( = — йрр (Т вЂ” Т,) соз зр — — + р гуи' (3.15) г(!во=-О ' а = — — (дТ/ду)в=о Х Т -Т, где и — вектор скорости; уа — оператор Лапласа. В системе (3.15) опущены уравнения для проекций скорости в и из в целях сокращения записи. Первый член правой части уравнения движения характеризует подъемную силу, под действием которой в поле силы тяжести нагретые частицы жидкости поднимаются вверх, а холодные опускаются вниз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
