Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме (1013631), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тепло- отдачей с торца стержня будем пренебрегать или учтем ее увеличением длины стержни с таким расчетом, чтобы боковая поверхность удлиненного стержня равнялась бы полной боковой и торцевой поверхностям реального стержня. Общее решение (2.79) дифференциального уравнения (2.?8) (о = С,ез'+ Сее — з' (2.86) получено без каких-либо предположений о длине стержня, а потому применимо и к стержню конечной длины. Граничные же условия изменяются: при х = О О = 6|, = = С, + С, или С, = О, — С, при х = 7., пренебрегая теплоотдачей с торца стержня, т. е.
приравнивая нулю тепловой поток, обусловленный теплопроводностью, в сечении х = й ° ю 1т ° при х = 7. получаем О = Е,УЛГ и ь„",„с)) =Е,а(Р7.) У иж "' (2.96) В случае круглого стержня диаметром Й вЂ” Р иЮР = — )' аИ; „,... (2.97) () = Е, — "," 1й (6(.) У'БЗ. (2.98) 2.10. КРУГЛЫЕ ПЛОСКИЕ РЕБРА Задача правильного конструирования ребер для авиационных и космических теплообменников, цилиндров двигателей воздушного охлаждения, экономайзеров, калориферов и других теплообменных аппаратов, где теплоотдающая поверхность строится путем оребрения, состоит в том, чтобы получить при данном расходе охлаждающего агента максимальный отвод тепла прн минимальных массе и габаритных размерах самого аппарата.
Определению подлежат форма, высота и расстояние между ребрами. Вопрос о наивыгоднейшей форме ребра данной массы или данной высоты может быть разрешен расчетным путем. При постоянных массе и площади поперечного сечения ребра максимальный отвод тепла будет, если боковые поверхности ребра имеют вогнутую параболическую форму (рис. 2.19, а). В таком ребре температурный градиент будет постоянным по его высоте. Однако из-за трудностей технологического характера на практике применяются Ребра с поперечным сечением, выполненным в виде трапеции (рис. 2.19, б) нли прямоугольника (рис. 2.19, в).
Аналитическое решение задачи о стационарной теплопроводности для ребра параболической формы и, следовательно. о теплоотдаче с его наружной поверхности встречает ряд трудностей, главнейшая из которых заключается в необходимости знать закон Распределения коэффициента теплоотдачи а по поверхности ребра. Рассмотрим задачу о стационарном распределении темпеРатуры в ребре прямоугольной формы при следующих условиях: 1) температура основания ребра постоянна и равна Т;, 45 О, = „О „ . (2.94) Тепловой поток, входящий в стержень и передаваемый боковой поверхностью стержня окружающей среде, найдем, пользуясь уравнениями (2.79) и (2.80), или Рис. 2дэ. Схемаформы ребер е' Х6 (2.99) Рнс.
2.20. Расчетная схема оалаждаюсаего ребра 46 2) количество тепла, рассеиваемого за единицу времени с какой-либо части поверхности ребра, пропорционально разности а) температур ребра и окружающей среды; 3) коэффициент теплоотдачи сс одинаков во всех точках поверхности ребра; 4) если )а — высота ребра и 6 — его тол- Е) щина, то потеря тепла с торца шириной 6 может быть учтена путем замены действительной высоты 6 величиной И' = й + 6,'2; 5) вследствие того, что толщина 6 мала а) по сравнению с другими размерами ребра, будем считать, что температура зависит лишь от одной координаты х (тскущее значение высоты ребра), т.
е. будем иметь дело с одномерным стационарным температурным полем Т = 7 (х). Обозначим через О разность температур какой-либо точки ребра Т (х) и окружающей среды Тр Тогда О =-- Т вЂ” Тг —— - 7, (х). Сделаем развертку круга плоского ребра по его среднему диаметру асср (рис. 2.20). В дальнейшем задача очевидно сведется к рассматрйваемой выше теплопередаче в стержне конечной длины )г' =- )г + 6)2, плошадь поперечного сечения которого Т = лд, 6. Тогда роль ~) в показателях экспоненты общего решения (2.79) будет согласно выражению (2.77) играть величина и распределение температуры по т[р высоте ребра выразится в виде ч7 сй [Р [И' — х)] 6.( ) = В,„[„„,), аб (2.1 00) где От = Т, — Тт.
Рис. 2.21. Зависимость иозффидиКоличество тепла, отдаваемого еита зффеитивности РебРа от величины РИ' ребром в окружающую среду за единицу времени, можно определить путем интегрирования уравнения с[Я = т[02пс[,ре(х Я = 2апс[ср ) 6 т2х = !]1 ([ь[т'), Р о (2.101) Т а б л и д а 2д. Значения Чр дтя ребер из различных материалов Если бы ребро имело по всей поверхности постоянную избыточную температуру, соответствующую 6т, то количество тепла, отданное ребром в окружающую среду в единицу времени, выражалось бы в следующем виде: [,е = 2аОтпс[ер[1'. (2. 102) Отношение тепла, действительно рассеиваемого ребром, к теплу, которое ребро могло бы рассеять, если бы разность температур по всей высоте ребра была постоянна и соответствовала О,, называется коэффициентом эффективности ребра т]р = Я7Я .
(2.! 03) Подставляя в уравнение (2.103) значения Я и Я, из уравнений (2.10!) и (2.102), получим 16 [иИ') (2.104) р Графическое выражение функциональной зависимости коэффициента эффективности ребра т]р от величины р[т' приведено на рнс. 2.21, Кроме того, в табл. 2,1 приведены значения коэффициента эффективности ребра т]р для различных ребер, причем величина коэффициента теплоотдачи а принята одинаковой для всех ребер и равной 125 Вт!(мв К), что соответствует скорости обтекающего поверхность потока воздуха 40 м,'с. а, мм Л, мм Материал Алюминий Сталь Медь 25 16 25,4 2,3 0,8 0,5 и, м-' 22,8 83 36,4 0,0261 0,0164 0,0256 0,595 1,36 0,93 0,9 0,65 0,75 С точки зрения теплоотдачи, приходящейся на единицу массы, выгодно иметь большое число тонких и легких ребер.
Это справедливо до тех пор, пока поток, обтекающий ребро, не начинает искажаться под влиянием соседних ребер. При конструировании оребрения основным вопросом является, насколько близко можно располагать ребра друг к другу без серьезного снижения их эффективности вследствие уменьшения количества протекающего между ними воздуха. 2.11. ТЕЛА СЛОЖНОЙ фОРЯЫ Мы рассмотрели задачи стационарной теплопроводности для простейших тел. В случаях, когда форма тела не является столь простой, а условия на границе зависят от рассматриваемой точки поверхности, задача существенно усложняется и для ее решения часто требуется привлечение ЭВМ. Однако в ряде случаев для приближенной оценки тепловых потоков, передаваемых теплопроводностью в довольно сложных телах, можно воспользоваться уже полученными в этой главе результатами.
Для этого представим выражения (2.23), (2.47), (2,58) для стационарного теплового потока через плоскую цилиндрическую и сферическую стенки в единой форме: х (2. 105) где Х вЂ” коэффициент теплопроводности материала; 6 — толщина плоской, цилиндрической или сферической стенок; Є— некоторая фиктивная расчетная теплоотдающая поверхность, выражение для которой во всех трех рассматриваемых случаях мы и пытаемся здесь получить; КТ = Т, — Т Выражение (2.105) практически совпадает с формулой (2.23) для плоской стенки. Следовательно, в этом случае Р„есть не что иное, как площадь плоской стенки Р, поток тепла через которую мы рассматриваем, и может быть описана так: 2Р Р1+Р~ Р х пл (2. 106) где Р, и Р, — площади более нагретой и более холодной поверхностей. (Очевидно, что для плоской пластины Р, = Р,).
В случае цилиндрической трубы согласно вйражению (2.47) тепловой поток 2лх1 а= ы (Т Т~) Помножив числитель и знаменатель этого выражения на г,— — г, = 6, а числитель н знаменатель выражения под знаком логарифма на 2п(, получим 2~ь — ',) лт ~ 2~ — хх~ * гл — гл 1п (2иггв/(2и1~1)) 6 1и (2п1гл7(2и1гф) Это выражение сводится к выражению (2.105), если положить 2л!г~ — 2л!0 Рз — Рд (2.107 !и 12лГг~Я2лп1)1 1и (Р4Р ) ( 7) где и, и Р, — площади внутренней и наружной поверхностей цилиндрической трубы, Аналогично можно преобразовать выражение (2.68) для шаро- вой стенки: 4лх (!= „, !1, (т.,— т ).
Проведя вычитание в знаменателе, после простых преобразо- ваний получим (2.108) Поскольку площадь сферы равна лаз, то диаметры г(, н и', можно выразить через площади внутренней г", и внешней Е, поверхностей шаровой стенки в виде (2.109) Подставляя выражение (2.109) в равенства (2.108), получим б ~' Это выражение сводится к формуле (2.!05), если положить г„„= у РЛ. (2.110) Итак, мы получили выражения для площади фиктивной расчетной поверхности Е„, которые позволяют рассчитывать тепловой поток в рассмотренных трех случаях по единой формуле (2.105).
Преимущества такого подхода в случае пластины, цилиндра и шара весьма относительны. Однако, пользуясь формулой (2.105) и одним из выведенных выражений для г"„((2.106), (2,107) нли (2.110) ), можно приближенно рассчитать стационарный тепловой поток в телах более сложной формы. Так, по формулам (2. 165) и (2.106) можно оценить Я для плиты, представляющей собой усеченный конус или пирамиду, и вообще для элемента пластины произвольной формы в плане со скошенным срезом.
В совокупности с выражением (2.107) по формуле (2.105) можно приближенно рассчитать тепловой поток через цилиндрическую стенку некруглого сечения. Та же формула (1.105), но с г"„, вычисленной по формуле (2.110), позволит оценить тепловой поток через стенка замкнутой несферической оболочки, образованной, например, эллипсоидами вращения и т.
п. В ряде практических случаев температура на поверхности не является постоянной, а следовательно, непостоянна и величина ~емпературного напора ЬТ в формуле (2.!05). При ие слишком 42 больших изменениях температуры по поверхности можно воспользоваться усредненными значениями температур поверхностей: Р Если же изменения невелики, то расчет теплового потока следует вести по участкам, рассчитывая величину 1); на участке ЛР,, где (Т ),, = сопз1. Для получения суммарного потока останется просуммировать локальные тепловые потоки Щ по всей поверхности рассматриваемого тела. 2Л2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ОБЪЕМНОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ (ау ~ 0) Как уже говорилось, в веществе наряду с процессом теплопроводности может протекать выделение или поглощение тепла, связанное с какими-либо физико-химическими явлениями: конденсацией, джоулевым нагреванием, ядерными реакциями, экзо- илн эндотермическими химическими реакциями и т.
п. С позиции теплообмена такие явления могут быть охарактеризованы количеством тепла, выделяющегося или поглощающегося в единице объема вещества в единицу времени с1у. Эта характеристика носит название интенсивности объемного тепловыделения. Рассмотрим простейшие задачи стационарной теплопроводности при наличии объемного тепловыделения, полагая, что величина с)у не зависит от вРемени и кооРдинат. 2.12.1. Бесконечная плоская пластина Основное дифференциальное уравнение теплопроводности (2.15) для этой одномерной задачи будет иметь вид нсТ чу а —, + — У = О. ах с ' ср Принимая во внимание, что а = Х (ср), получим — + —" = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
