Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме (1013631), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Графически распределение температур по сечению многослойной стенки (см. рис. 2.11) представляется ломаной линией, причем внутри каждого слоя это распределение описывается уравнением Т„, = Т., — дх,(Ло (2.38) где х~ — расстояние от начала 1-го слоя, т. е. от плоскости его соприкосновения с (! — ! )-м слоем, где температура равна Т;, Пользуясь этим выражением, по аналогии с выражением (2.32) можно последовательно найти неизвестные температуры на границах всех слоев Т в, Т „..., Т „. Абсолютная величина тангенса угла наклона зависимости Т (х) в каждом из слоев тем больше, чем меньше коэффициент теплопроводности данного слоя Л. Это вытекает нз закона Фурье а!1 = = — Л, йгад Т, так как при постоянстве д во всех слоях величины Л и игам Т связаны обратно пропорциональной зависимостью. Это рассуждение распространяется и на случай однослойной стенки с переменным значением Л, зависящим от координаты нли от температуры. Легко показать, что если в однослойной стенке (см.
рис. 2.9) Х = Л, (! + 6Т) и б ) О, то распределение температур в ней не будет носить линейный характер как при лт Л = сопз1, а будет представляться кривой, наклон которой ~ — „ будет возрастать с ростом координаты к, поскольку коэффициент теплопроводности с приближением к более холодной поверхности такой стенки уменьшается. К аналогичному выводу можно прийти, если условно разбить однослойную стенку на ряд тонких слоев, теплопроводность каждого из которых принять постоянной. Если в задаче о теплопроводности плоской многослойной ~тенки заданы граничные условия 3-го рода, то расчетное уравне- 2 Авдуаваква Зз где Х вЂ” эквивалентный коэффициент теплопроводности, определяемый'на'равенства уравнений (2.36) и (2.35): ние теплового потока через такую стенку легко получить, добавив к системе (2.33) выражение для конвективных тепловых потоков между внешними поверхностями стенки и омывающими ее средами, аналогично выражению (2.28): д = аз (Ти — Тм)' и = = а, (Т,„,! — Ти).
В этом слУчае Удельный тепловои поток также выразится соотношением д =- К (Тп — ТгД, только в знаменатель выражения для коэффициента теплопередачи (2.39) л !!а + ~ д !й!+ !га~ К+2 войдет сумма сопротивлений теплопроводности всех и слоев. Полное термическое сопротивление в этом случае будет (2.40) 2.5. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СТЕНКА Если предположить, что круговая цилиндрическая оболочка имеет длину достаточно большую, чтобы теплоотводом с торцов можно было пренебречь, и что граничные условия не зависят от полярного угла гэ и продольной координаты г, то задача, как и в предыдущем разделе, становится пространственно-одномерной.
Поле температур в стационарном случае изменяется только по радиусу г, а следовательно, основное дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат (2.17) примет вид ~УТ 1 дТ вЂ” + — — = О. дг' г дг (2.41) ди 1 Обозначая г(Т)г(г через и, получим — „= — — и, откуда, разди деляя переменные и г После интегрирования последнего выражения получим !п и = = — 1п г + С, или 1п и = — 1п г +.!и С„, откуда дТ С, — =и= — '. дг г (2.42) После повторного интегрирования выражения (2,42) общее решение уравнения (2.4!) получим в виде Т=С,1пг+С,.
(2.43) Из двух последних выражений можно заключить следующее. 1. Удельный тепловой поток в цилиндрической стенке д = дТ = — Х вЂ” непостоянен по толщине и убывает к внешней поверхдг 34 М Т, = Т (г,) = С, 1п г, + С,; Т„„= Т(га)=С,1пг,+ С,. (2.
44) Решая зту систему относительно С, и С„получим Подставляя эти выражения в решение (2.43), получим следующее выражение для распределения температуры в цилиндрической стенке: т.,!п («Я+ума)п(««' ) )п (г,— «,) Легко убедиться, что это решение удовлетворяет заданным граничным условиям (2.44). Количество тепла, проходящее через участок цилиндрической стенки длиной «' в единицу времени„согласно закону Фурье будет !',) = — «.
— 12~~. Подставляя в это выражение значение а(Т)«(г из выражения (2.42) и учитывая равенства (2.45), найдем: Я = ' ' 2пй !п («а)««) ( ) 2. 47 Гбз формулы (2.47) видно, что 1~ действительно не зависит от текущего радиуса и определяется отношением наружного радиуса к внутреннему. 2» Зй ности трубы ( — — ). Зто связа- ,) но с тем, что в стационарных усло- аа виях должен быть постоянным га полный тепловой поток, проходя- «« щий через участок цилиндрической г трубы длиной 1 и равный др, где Т = 2пг(; поскольку же г" увеличивается с радиусом, то, естественно, удельный тегловой поток должен убывать.
2. Температура по толщине ци- Рис. 2.!2. Схема распредалаиия липдрической стенки изменяется температуры и пилиидричасапя нелинейно — по логарифмическому закону (2.43) (рис, 2.!2), Постоянные интегрирования Са и С, находим из граничных условий. Граничные условия 1-го рода для рассматриваемой задачи можно записать в виде В практике технических расчетов обычно относят тепловой поток Я к единице длины цилиндрической трубы: 2п! — =д = ' (т.,— т ). ! " !и (га/г,) (2.48) Эта величина, в отличие от плотности потока, не зависит от текущего радиуса и называется линейной плотностью теплового потока.
В задаче с граничными условиями 3-го рода (рнс. 2.13) заданы температуры сред, омывающих трубу с внутренней (7,) и наружной (7,) сторон, а с граничными условиями 3-го г1 гг также соответствующие значения коэффициентов теплоотдачи сс, и аа. Конвективный тепловой поток на единицу длины трубы с наружной и внутренней сторон может быть выражен согласно закону Ньютона и должен равняться линейному тепловому потоку, переносимому теплопроводностью через цилиндрическую стенку (2.48). Выписав все эти выражения, получим систему: дц — — а, (Тп — Т ) 2пгб Л ди = (,, (Тии — Т, )2п; 4д = сс~ (тма — Туа) 2пгы решая которую уже известным 1см.
выражения (2.28) методом, найдем д, = гсК (т,— т„~, где (2.49) и (2.29)) (2.50) пК„= (2.51) — + — !п — '+— 2аага 2Л га 2саага Коэффициент К называется коэффициентом теплопередачи цилиндрической стснки. Коэффициент Ки численно равен количеству тепла, проходящему через стенку трубы длиной в 1 м в единицу времени от одной среды к другой, если температурный напор между ними равен 1 К.
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, — = — + — 1п — '+— 1 ! ! г, ! (2.52) Ки 2ичга 2Л га 2мяу я называется полным термическим сопротивлением трубы, причем слагаемые 1/(2а,г,) н 1/(2авгв) называются термическими сопро- 36 тивлениями теплопередачи, а слагаемое 1/(2Л) !и (г,/г,) — термическим сопротивлением теплопроводностн стенки трубы. Итак, в случае цилиндрической стенки сопротивление теплоотдачи зависит не только от величин а, и а„ но также н от диаметров г(т = 2г, и е), = = 2г,. Для случая многослойной цилиндрической стенки (рис. 2.14) и граничных условий 1-го рода методами, совершенно аналогичными тем, которыми мы пользовались при рассмотрении многослойной плоской стенки, можно получить следующее выражение для линейной плотности теплового потока: Рнс.
2,14. Схема распределеннн температуры в многослойной пллнндрнческой стенке (Т вЂ” Т 1„„)п (2.53) 1>2Л> 1п (г>>+т/и >) >=1 2ЯЛаае /Тм> Тм 1а.~-»! 1и 1» т/от) (2.54) Приравнивая правые части уравнений (2,53) и (2.54), будем иметь 1п (м т/мт) (2.55) а Х 1/Л> 1и (а> Ц>) >=> Пользуясь выражением (2.50), напишем уравнение для определения температуры Т 1,+» на границе между 1-м и (1'+ 1)-м слоями: Чн / 1 Лт 1 Ла Тычп Тем(1п+1п+''+ 2п (, Лт (2.56) В случае многослойной цилиндрической стенки, состоящей из плотно прилегающих друг к другу слоев с соответствующими коэффициентами теплопроводности Х„йе, Ле по аналогии с плоской 37 Точно так же для цилиндрической многослойной стенки остается в силе то понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности, которое было введено для многослойной плоской стенки: многослойной стенкой, можно написать выражения для коэффи- циента теплопередачн (2.57) Кд— — + 2 — 1п — +' + аз4 1~2 2Х! и! азпп+! ,1 и для теплового сопротивления л зтд- — — — — —.
+ 7 — !и — '" + —. (2.58) 1 ! Ъ! 1 д;„., 1 Кц аз!!! з~ ! 2Х! !1! ази з=! Температура Т !цч !! на границе между з-м и (! + 1)-м слоями определяется из уравнения л Т !зь!1= Т л — — + '! — 1п — '" + . (2.59) я ~ аз4 л ! 2А! и! а!4~~!з/ ! -1- ! 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
