Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме (1013631), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вычитая нз ~(Я„, значение г)Д„„ получим й~„ оставшееся в элементе объема за время дт в результате движения тепла вдоль оси х: дик = Щк, — йЯ., == — д'" йхг(уЖгйт, или после подстановки д„, определяемого по закону Фурье (2.3), с(Я„= — () — ) г(х г(у с(г ~т. (2.6) , Вы(золняя те же операции для направлений у и г, получим г(Я =-- — (Х вЂ” ) г(у г(х г(г пт д г дТ ду (, ду ) (2. 7) Щ =.= — (Х вЂ” ) Йг г(х Йу г(т.
д дтх дг (, (2. 8) Общее количество тепла Щм аккумулированное в силу теплопро- водности в рассматриваемом элементарном объеме за время г(т, определится как сумма выражений (2.6), (2.7), (2.8): г(()~ — сЦ„+ г(Я„+ ٠— ~ — (Х вЂ” ) + — (Х вЂ” ) + д (. д7 )~~р „ (2,9) где г()г ==. г(х йу с(г — объем рассматриваемого элемента. Плотность теплового потока у, как всякий вектор, может быть представлена через свои проекции на оси координат: д„, и, и д, (см.
формулы (2,4) ). Если рассматриваемое вещество изотропно и однородно, т. е. если Х .= сопз(, то йЯх выразится через оператор Лапласа ~' ==- д' д' д' = — + — + — в виде дх' ду' дг' сЦ = ) Ъ'ТЛ'пт. (2.1 О) В самом веществе могут протекать процессы, связанные с выделением или поглощением тепла (экзо- или эндотермические химические реакции), физические явления, сопровождающиеся выделением или поглощением энергии (джоулево иагревание, ядерные процессы, конденсации и др.). Если известна характеристика этих процессов — интенсивность объемного тепловыделе- 22 6Т =- — дс. дТ зт (2.12) Таким образом, тепло, аккумулированное в объеме ~1У в силу теплопроводности (6Дь) и объемного тепловыделения (6Яг), можно выразить через изменение температуры объема 6Т в виде ЙЯь + ЙЯг = ср Й'гбТ. (2.13) Подставляя сюда выражения (2.9) и (2.11), с учетом равенства (2.12) получим (2.
14) В случае твердого тела с изотропными и однородными свойствами (Х =- сопз1) вид уравнения упрощается: =аУТ+ (2.15) д.г ч> Уравнение (2.15) называется основным дифференциальным уравнением теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. Оно устанавливает связь между временными и пространственнымп изменениями температуры в любой точке поля, а коэффициент температуропроводности а является коэффициентом пропорциональности между этими изменениями, что отчетливо видно из формы уравнения (2.15) при отсутствии объемного тепловыделения: — = а7'Т. зт дт (2. 16) Можно сказать также, что в то время, как коэффициент теплопроводности Х характеризует теплопроводящую способность тел, коэффициент температуропроводности а характеризует тепло- инерционные свойства этих тел, зз ния, т.
е, количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу времени ою то за время 6т в объеме г1'г' выделится тепло гак =- дел'йт, (2.11) Согласно закону сохранения энергии количество тепла аккумулированное в элементарном объеме г()г, вызовет в пем соответствующее повышение температуры вследствие нагрева тела от внутренних источников тепла. Температура твердого тела является в общем случае функцией четырех переменных х, у, г и т. Однако для твердого тела пространственные координаты точек поля х, у, г не связаны с координатой времени. Поэтому при рассмотрении явления теплопроводности в твердом теле изменение температуры 6Т за бесконечно малый отрезок времени г(т выражается через частную произ- водную Рис.
2.8. Связь между прямоугольной н цилиндрической системами координат Рис. 2.7. Схема цилиндрической системы координат точки Уравнения (2.15), (2.16) относятся к случаю несгационарного теплового режима. Для стационарного теплового режима, когда температурное поле не изменяется во времени (дТ!дт) = О, уравнение (2.16) перепишется в виде ауаТ или дзТ д'Т дзТ вЂ” + — + — =- О. дх' ду' дх' (2. 17) дх дх дг дф — = О; — = О; — = О' — = О, дх ' ду ' дх ' да получим ьмТ дТ дТ, ! дТ 1 дТ дх' + дуа дг' ' г дг + га дфз В технике часто возникает необходимость исследования тепло- обмена и распределения температур в телах цилиндрической формы, плоских дисках, цилиндрических оболочках, круглых стержнях и др.
В этих случаях удобнее записать основное дифференциальное уравнение теплопроводности не в декартовой, а в цилиндрической системе координат. Для фиксированного момента времени температура Т является функцией трех аргументов — координат х, у, г; Т = Г (х, у, г). В цилиндрической системе координатами являются: г — радиус-вектор точки, ф — полярный угол, г — аппликата точки (расстояние от основной плоскости) (рис. 2.7). Декартовы координаты х, у, г связывают с цилиндрическими (рис.
2.8) следующие выражения; х = г соз ф; у = г з)п ф; г = г. Подставив х и у как функции от г и ф в выражение для температуры, получим Т = Т (х (г, ф), у (г, ф), г) = Т (г, ф, г). Таким образом, температура может быть представлена как некоторая функция от цилиндрических координат. Выведем выражение для оператора Лапласа в цилиндрических координатах. Так как координата г в декартовых и в цилиндрических координатах одна и та же, то достаточно найти выражения для частных производных даТ)дкз и дзТ/дуа в цилиндрических координатах. Составляя выражения первой н второй производных для функции Т = Т (г, ф, г) и учитывая, что Следовательно, в цилиндрических координатах оператор Лапласа примет вид д ! д , ! д' д' !рз = — + — — + — — — + —.
дм с дс с! дЭ",~ ды (2.18) В случае использования сферической системы коордииаг, когда Т = Т (г, ср, ф), где г — радиус-вектор точки, а ф и ф— полярный и азимутальный углы соответственно, оператор Лап. ласа аналогичным путем легко приводится к виду д' ! д' ! д' 2 д соэ ср д !рг дс' + г' дср' + Имв'ср дЧА + г дс + г'ипср д~р ' 2.3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛООТДАЧИ (УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ) Основное дифференциальное уравнение теплопроводности характеризует пространственно-временное изменение температуры в любой точке поля, объединяя все без исключения явления теплопроводности независимо от геометрической формы тела, его физических свойств и условий взаимодействия с окружающей средой. Это дифференциальное уравнение описывает класс явлений теплопроводности.
Для выделения иэ целого класса единичного явления необходимо к дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия, специфические для данного конкретного случая. В эти дополнительные частные данные, характеризующие рассматриваемое единичное явление, входят форма и размеры рассматриваемого тела, его теплофизические свойства и краевые условия.
Совокупность перечисленных данных называется условиями однозначности. Таким образом, условия однозначности подразделяются: на геометрические, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс; на физические, характеризующие физические свойства тела, и на краевые, характеризующие особенности протекания процесса в начальный момент времени (начальные условия) и на границах тела (граничные условия). Условия однозначности позволяют выделить конкретный процесс, т. е. дать полное его математическое описание. В задачах теплопроводности начальные условия определяются заданным распределением температур в изучаемом теле для какого-либо момента времени т, предшествующего рассматриваемому и принимаемому за начальный момент времени (т = О). Уравнение температурного поля для этого случая запишется в виде Т (х, у, г, О) = Т (х, у, г).
В целом ряде практических задач начальные условия имеют более простой вид: Т (х, у, г, О) = Т, = сопз(, т. е. температура тела в начальный момент времени постоянна по всему его объему. 25 Граничные условия связаны с взаимодействием тела и окружающей среды и для однородных тел могут быть заданы тремя способамн. 1. Граничное условие 1-го рода задается в виде распределения температуры по поверхности в любой момент времени: Т = Т (х, у', г, х) = ) (х', у, г, т); (х, у', г') ~ Р, где Š— поверхность тела. В стационарных задачах, а также в таких нестационарных задачах, когда при т — ~ оо тело стремится к некоторому стационарному состоянию, функция Т (х, у, г) не зависит от времени, т. е.
температура каждой точки поверхности тела постоянна. В частном, но весьма распространенном случае граничное условие 1-го рода может иметь вид Т = — сопз1, В более общих нестационарных задачах важными частными случаями являются линейная и гармоническая зависимости температуры поверхности от времени; Тл Т ~э + ЬХ1 где Ь вЂ” постоянный коэффициент, и Т„= Т „-~ А, соз ыТ, где А, — амплитуда; гэ — частота изменения температуры. 2, Гращгчное условие 2-го рода задается в виде удельного теплового потока в каждой точке поверхности тела в любой момент времени: д = 1 (х', у', г', т); (х', у', г') ~ Е.
Причем, поскольку удельный теп.ловой поток, осуществляемый посредством теплопроводности, согласно закону Фурье можно дТ представить в виде д = — л —, где дТ)дп — значение производной дл ' от температуры тела по нормали к его поверхности непосредственно у самой поверхности тела, а ). — коэффициент теплопроводности тела, то граничные условия 2-го рода эквивалентны заданным значениям производной дТ(дп в любой момент времени: — = — — = — — ((х, у, 2, т) = гр(х, у, 2, т), дт д дл л л где гр (х', у', г', т) — заданная функция.
Этот случай граничных условий имеет место при нагревании (охлаждении) тел посредством излучения и учитывается, например, при расчете режимов работы радиационных холодильников космических летательных аппаратов и др. 3. Граничное условие 3-го рода задается в виде температуры окружающей среды и закона теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
