Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме (1013631), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Этот процесс, как указывалось, носит название теплоотдачн. 26 Интенсивность теплообмена между средой и телом зависит от сложных физико-механических процессов, протекающих у границы раздела. Их можно достаточно точно описать упрощенной формулой теплоотдачи, предложенной Ньютоном: количество тепла Щ, отдаваемое или воспринимаемое элементом поверхности твердого тела ЫЕ за время г(т, пропорционально разности температур поверхности Т„и окружающей среды Тп величине и'г" и промежутку времени лт, т. е.
ЙЯ =- и (҄— Т,) г(Р (т, где а = — 7, ),л, — коэффициент теплоотда чи. й') Коэффициент теплоотдачи равен количеству тепла, отдаваемого илн воспринимаемого единицей площади поверхности в единицу времени при разности температур между степкой и тепло- воспринимающей средой, равной одному градусу. В этот коэффициент включена вся сложность явления теплоотдачи.
Он должен учитывать все особенности теплообмена и является функцией большого числа переменных: плотности среды, скорости движения среды, температур Т и Тв положения тела в потоке, размеров тела, физических параметров среды (теплопроводиости, вязкости, теплоемкости и др.).
При практическом использовании уравнения теплоотдачи приходится проводить ряд сложных экспериментов и из полученных опытных данных находить для исследованных явлений тепло- отдачи значения коэффициента а. Поэтому все трудности расчета теплоотдачи, заключающиеся в обилии влияющих иа нее факторов, сосредоточены в коэффициенте теплоотдачи а, так что расчетное уравнение теплоотдачи Ньютона, несмотря на свою кажущуюся простоту, по существу не вносит особых упрощений. Итак, в случае граничных условий 3-го рода по закону Ньютона су = а (т (х, у, г', т) — тэ), где а известно (задан закон теплообмена и физические условия однозначности), а Т7 — — 7' (х', у, з', т) — известная функция координат и времени, тогда как д и Т„неизвестны. С другой стороны, конвективный удельный тепловой поток у поверхности в любой момент времени равен потоку тепла внутрь тела, осуществляемому посредством теплопроводности: дТ ~7 = гх (Т вЂ” Т ) = — ).
— э —, откуда Л ~ +а(Т вЂ” Тт) = О. дг Таким образом, математически граничные условия 3-го рода представляют собой заданные функциональные связи между неизвестными значениями функции Т и ее производной (дТ/дл) 27 алк ПЛОСКАЯ СТЕНКА Если плоское тело (пластина) имеет толгцнну 6, значительно меньшую двух других характерных линейных размеров (ширины и длины), граничные условия не зависят от координат границы, можно пренебречь отводом или подводом тепла через торцы, считая, что тепловой поток направлен перпендикулярно поверхности пластины (рис.
2.9). Задача в этом случае является пространственно одномерной, а следовательно, температурное поле зависит только от одной координаты х, поскольку дТ дТ вЂ” = — = О. ду дг При отсутствии объемного тепловыделения (с)у = 0) и постоянном у уравнение теплопроводности (2.17) имеет вид даТ вЂ” = О. дх Т..т Закон распределения температур по толщине стенки найдется двойным интегрированием выражения (2.!9): Т = С„х -~- С„(2.20) Рис. 2 9.
Схема оаспределения температуры в плоской стенке где С, н Се — постоянные интегрирования. 28 на поверхности тела г. Хотя значение коэффициента теплоотдачи и зависит от многих факторов, при решении нестационарных задач с граничными условиями 3-го рода часто приближенно принимают а =- сопя(. К граничным условиям 2-го и 3-го рода относятся те же замечания о возможном характере зависимости заданной функции 1 (х, у', г', т) от времени (линейный н гармонический закон), что и для условий 1-го рода. Важным для понимания дальнейших разделов курса, в частности, главы, посвященной нестациоиарной теплопроводиости, является то обстоятельство, что при очень больших значениях а или малых Х задача с граничными условиями 3-го рода переходит в задачу с граничными условиями 1-го рода.
а дТ В самом деле, Т вЂ” Тт = — — — и, если (1/с» — 0) (т. е, и дп сс -а- оо или ) — а- 0), то Т„=. Тт (х', у', г', т), т. е. температура поверхности тела в'любой момент времени задана и равна температуре окружающей среды Тп Ниже мы рассмотрим некоторые простейшие задачи стационарной теплопроводности в твердых телах. С тша — т 1= (2.21) Подставляя значения Сз и С, в уравнение (2.20), получим (2.
22) Выражение (2.22) и есть решение задачи, так как описываемое им распределение температур удовлетворяет как дифференциальному уравнению (2.19), так и поставленным граничным условиям. Для определения количества тепла, проходящего через элемент стенки в единицу времени (дт =-- 1), воспользуемся законом Фурье (2.1), согласно которому д Из уравнений (2.19) и (2.21) имеем — = С, ==- — "'"--— йт Т~ 2 Т т~ — т, следовательно, ~й~ = Х ' ™ ПГ. Для участка поверхности площадью Р находим (2.23) Обозначим Тогда Т~ — Т„= бТ.. (2.24) (2,25) Количество тепла, проходящее через единицу поверхности стенки за единицу времени, определяется соотношением 0 3 (2.26) нли с учетом' выражения (2.24) Х ' (2.27) Из уравнения (2.20) видно, что распределение температур в стенке следует линейному закону.
Изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные поверхностям стенки и нормальные к оси х. Для определения постоянных интегрирования С, и С,, в уравнении (2.20) воспользуемся граничными условиями 1-го рода, т. е. зададимся следующим законом распределения температур на поверхности тела для любого момента времени: прн х =-0 Т =-- Т,; при х = — б Т:=-. Тьм где Т, > Т, Подставляя заданные значения температур иа границах в уравнение (2.20), найдем С, = Т, и С,б + Т, = Т „откуда Ряс. 2.10. Схема распреде.
леапя температуры пря теплопередаче через плоскую степку ЗО А! Из формул (2.23) и (2.26) видно, что количество тепла, проходящее сквозь стенку, зависит от разности температур иа поверхностях гхТ . да Отношение 1.16 обычно называется тепловой проводимостью стенки, а обратная ей величина 611 — сопротидт влеиием теплопроводности плоской , д' стенки. В случае граничных условий 3-го рода в рассматриваемой задаче должны быть заданы температуры сред, омывающих стенку Тт,Тт, (Тт, > Тт,), ! ! а и коэффициенты теплоотдачи хх! н сае Этот процесс носит название теплопередачн через стенку и в стационарном случае распределение температур в средах и плоской стенке показано на рис.
2.!О. Температуры среды и стенки в точке их соприкосновения совпадают. В качестве Т! принимается температура среды па достаточном удалении от стенки. Удельный тепловой поток, который получает стенка, определяется законом Ньютона х1 = еех (Тт„ — Тм,), но из условия непрерывности теплового потока он должен равняться тепловому потоку, отводимому в силу теплопроводности внутрь стенки.
В стационарной задаче для плоской стенки этот поток, как было х показано, может быть записан в виде (2.26): д = г', (Т„,„— Т„,), но здесь, в отличие от задачи с граничными условиями 1-го рода, температуры Т, и Т, нам неизвестны. Тепловой поток, отводимый тепловоспринимающей средой, по закону Ньютона может быть представлен в виде д = !ха (Т,— — Т а); он также равен потоку, идущему через стенку посредством теплопроводности. Полученная система д = ах (Тух — Т„,); !у = — (Т х — Т,а); 11 = аа (Т а — Тт,), (2.28) где известны Т „Т„и !у, легко может быть решена путем деления обеих частей уравнений (2.28) на а„Х/б и оса соответственно. Преобразованная таким образом система примет вид 1 6 1 Ч вЂ” = Тух — Тщх1 Ч 1 —— Тап — 7ам1 Ч вЂ” = 7„, — 7ли (2.29) Складывая почленно отдельно левые и правые части уравне- 1 б ! ния, получим д 1ч — + — + — ( = Тух — Т,м откуда ~ах а !ха/ д = К(7„— 7„), (2.30) где У), — Т„ (2.31) Все величины, входящие в правые части выражения (2.30) и (2.3!), заданы условиями однозначности.
Неизвестные значения температур поверхностей стенки Т, и Т могут теперь быть определены с помощью первого и третьего уравнения системы (2.28), поскольку величина д вычисляется по формулам (2.30), (2.31). Например, Т, = Т1, — Ч/Я1. (2.32) Полученные выше решения задачи о теплопроводности плоской однородной стенки с граничными условиями 1-го и 3-го рода легко распространяются иа случай, когда стенка состоит из ряда слоев различных материалов. Пусть многослойная стенка состоит из п плотно прилегающих друг к другу слоев (рис.
2.11), коэффициенты теплопроводности которых равны Х„!.„..., Х„, а толщины — 6„6„..., б„соответственно. Вследствие стационарности задачи удельный тепловой поток, проходящий через каждый "т "е слой, для всех слоев будет одинаков. Если бы было иначе, то тепловое гм Ие состояние какого-то слоя или нескольких слоев изменялось бы во вре- т, мени, поскольку входящее в него н Т в единицу времени количество тепла было бы отлично от выходящего.
х,,1, 6, Зто привело бы к изменению во времени его температуры, что противоречит принятому в этом разделе условию стационариости темпера- Х турного поля дТ~дт = О. В случае граничных условий 1-го Рода, т. е. когда заданы темпера- Рис. 2.11, Схема распределении температуры в многослойной плоской стенке 31 К= 1 !/се~ + 6/Х + 1/пе Величина К называется коэффициентом теплопередачи, а обратная ей величина )с = 1/К = 1!а, + б/)с + 1/ае — полным термическим сопротивлением. Это полное сопротивление является суммой уже известного нам сопротивления теплопроводности б!Х и двух сопротивлений теплоотдачи 1/а, и 1/ссе Выражение для теплового потока при теплопередаче через стенку (2.30), пользуясь понятием полного термического сопротивления, можно переписать в виде туры на внешних поверхностях многослойной стенки Т„и Т )„!), можно записать для удельных тепловых потоков в каждом из слоев следующее." = — (Т„, — Т,); Л, 1 д = — (Т„, — Т„,); Л, (2.33) )п !) = — (Т»п — Т» !.+!)).
б„ Напомним, что в этой системе нам авданы лишь температуры Т ! и Т» )и 4!), остальные величины пока неизвестны. Перепишем уравнения (2.33) в следующем виде: д — = Т~ — Т„; б, Л, д — = Т., — Т.;! о, Л! (2. 34) бп () — = т.„— Т„,„„. Л» Производя почленное сложение, найдем — + — + ° ° ° + — „-) = Т ! — Т )„4!), (2.35) б1 б1 . бп 1 1 )и откуда »1» )и+!) ч ~ б1!Л1+ б1/Л1+ + бп(Л» ' или, что то же, »!» )и+!) Ч= » ~' б;/Л! )-! где ! — номер слоя. Очевидно сумма, стоящая в знаменателе, есть суммарное термическое сопротивление многослойной стенки.
Иногда при расчете многослойной стенки вводят в рассмотрение эквивалентный коэффициент теплопроводности Л,„„который равен коэффициенту теплопроводности фиктивной (однослойной) стенки, толщина которой равна суммарной толщине исследуемой и многослойной стенки Х 6! при условии, что разности температур )=! на границах однослойной н многослойной стенок одинаковы, а количества тепла, проходящие через них в единицу времени, совпадают. 32 Таким образом, для воображаемой однослойной стенки Лакв 17 аа1 — 7 к (к+и) ~' б~ к-~ (2.36) ~; б; а=! Лакв— ~~ биЛа К=1 (2.37) Эквивалентный коэффициент теплопроводности дает возможность сравнить теплопроводящие свойства многослойной стенки, составленной из разнородных материалов, с однослойной стенкой, выполненной из однородного материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
