Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так, согласно формулам (2) и (20), (т — 1) 0л ьо(т) = ) Ел(г)!е-' — )Е,(г)! ~й= о =Е (т — 1) — ~ гЕ (г)Е„(г)ей (33) о и аналогично (» — 1)0„(т)=Е (-., — 1) — ~)Е ЯЕ„(()юй. о С другой стороны, интегрируя по частям, получаем 0„(т) = тЕл(т) Е~(т)+ ~)Е„ЯЕ, ()) ей+ о +~ )Еи,())Е„(() й. о (34) (Зб) н 0„м(т) = ~ е ")и„(т,е) —. (30) 1 Эти интегралы можно представить в более удобной форме, если ввести выражении (20) для Е„. Так, Бибииаграфинесние злменанн» Из соотношений (ЗЗ) — (35) следует, что (ел+ и ) Он, нл(т) = тЕи(т) Ем(т)+ Ел(т' )+ Г„(т, 1).
(36) функции 0„„, (т) нельзя таким же путем привести к известным функцияи. Можно, однако, вмвести рекуррентную формулу, которая будет приводить все эти функции к 0„(т). Так, используя рекуррентную формулу (22) для ли-функций, получаем 0„„,(т) = ) — !(е наГи 1(т, з) — — е "+Е„(т)~, Г,ы ! 1 или О„н,(с) = — б„, „... (т) — Е „(с)+ — Еи(т).
(37) 1 1 Последнее соотношение можно представить в более симметричной форме: Еи (с) ' Елн (с) (39) Остается рассмотреть 011(т). С помощью некоторых весьма трудоемких преобразований ван де Холст показал, что 011(с) = 2 [Е, (т)+(!от+ !) Е,(с) — тЕ1а (с)[, (40) где Е(" (т) = ) Е, (!) †. (41) Повидимому, эту новую функцию Е, (т) нельзя привести к обычным ео интегрально-показательным функциям. Ван де Холст дал следуюп(ее разложение ее в ряд, удобное для вычислениИ при т (1: з! 1 Ес (с)= 2 (!пт+ !) + !2 с+21. 2! Зл 31+...
(42) НИ Б ЛИ ОГРАФИЧЕС КИ Е ЗА МЕЧ АН И Я 9 92. Полное изложение наиболее классических разделов теории интегрально- показательных функций можно найти в книге Нильсена; 1. Ы!!а ел (Ч., Тиеог!е без 1и!ей!а!!оден!Ьглиз, 1е1рс!я, 1996. В втой связи следует указать также иа следующие работы; 2.
9(Ь! 1(а нег Еа 9(а(зон О. Мобегп Апа!Уз!з, 4 !Ь. ес(., Сащьг!бйе, 1927, сЬ. ХЧ1, [Есть русский перевод. См. Уиттекер Э. н Вассс о н Д., Курс современного анализа, М.— Л., 1934, — Прим. рад.[ Вследствие симметрии 0„, „, относительно индексов, нз формулы (37) можно получить — ()+ Е () (ЗЗ) Приложение 1 3. Кпгпапо11 Ч., Апп. б'Азггорйуз., 10 (1947), 282, 329. Наиболее полные таблицы интегрально-показательных функций составлены Плачеком. 4. Р!а с хе К О., Тпе Рппсбопз Е„(х), На1!опа! Кезеагсй Соппс(1 о1 Сапаба, Агопг1с Епегду Рго)ес1, СЬа!К йгтег, Оп!апо, 1947. В таблицах Плачека протабулированы первые 20 интегрально-показательных функций с точностью и подробностью, достаточными для всех практических целей.
Следует указать еще на таблицы Хеммеда: 5. Н а гп гп а б А., РК41оз. Ман., Бег. 7, 88 (1947), 515. Здесь прогабулированы пять первых интегрально. показательных функций с семью десятичными знаками в интервале (0,1), через каждую сотую. 6 93. Функции Р впервые были введены в явной форме Кингом: 6. К1п й 1., РК11оз. Тгапз. шоу. Зэс. 1опбоп, А, 212 (19!3), 375. Затем они были использованы в следующих работах: 7. Натяги ай А, Спаргпап 8., РЫ!оз. Май., Зег. 7, 28 (1939), 99.
8. чап бе Н п!з! Н., Аз!горЬуз. Л., 107 (1948), 220. 9. С Ьа п бга зе К Ь а г 8., Азггорйуз. 3., 10З (1948), 92. й 94. Функции Он м(т) и Он м(т) были введены и изучены ван де Холстом (8). Они встречаются также в работе [9). ФУнкцнн Еу нечетных поРЯдков 7 = 1, 3 и 5 и интегРалы Он м (т) н О„вг (т), при гл = 1, ... 6 и и (т были протабулированы в следующих работах: 10. С Ь апбгазе К К аг 8., В геен Р., Азггорйуз.
Л., 108 (1948), 92 (см. приложение к втой статье); С Ьа п4 газе К К аг Я., Аз1горпуз. Л., 109 (!з49), 555. Функции Рз и Р» также были вычислены зтими авторами, но зги вычисления не были опубликованы. Наконец, следует указать на следующую важную сводку: 11. Ее С а1пе Уо А ТаЫе о1 !п!ейта!з 1пчо1ч(пй гйе Рппспопз Е„(х). Наг!опа! Кезеагсй Сэипс)! о1 Сапата, А1огп1с Епегйу Рго)ес1, Сйа)К Ючег, Оп1аг1о, !947. ПРИЛОЖЕНИЕ П 3 95. ЗАДАЧА ТЕОРИИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В гл. Ч1И, и.
59.1, мы столкнулись со следуюшей задачей: определить два полинома з(х) н У(х) так, чтобы выполнялись равенства з (ху) = Хуг( — ху) т(ху) = Л з ( — ху) (У' = 1, ..., а), (1) где ху (/, ..., и) суть л различных значений аргумента, а Х (/ 1, ..., и) — заданные и чисел, среди которых нет одинаковых. сли Р(х) = г(х) + г(х) 0(х) = з(х) — г(х), Р(х) ="уР( ху) О(,)= — Л,а( —;) (7=1, ..., л). (2) то (3) Иа соотношений (3) можно непосредственно вывести некоторые следствия.
1) При достаточно общем выборе (ху) и (1у), л представляет собой наименьшую степень полинома (не равного тождественно нулю), удовлетворяюшего условиям задачи. При укаэанных условиях Р и 0 определяются однозначно с точностью до постоянного множителя. 2) Можно построить полиномм степени, большей и, удовлетворяющие условиям (3). Так, если Р и Π— полиномы степени п, удовлетворяющие условиям (3), то аР+ ЬРО (где а и Ь вЂ” постоянные)— поливом степени и+1, который также удовлетворяет условию, налагаемому на Р. Аналогично аО+ЬРР удовлетворяет условию, налагаемому на О.
Получим теперь формулы для полиномов степени и, удовлетворяю'ц у ° ° '). >в,„,,~„„~„„„„„,~ „„г„„,„„,ч„. драсеквром (Ав1горвув. Л.,!06 (1947), 152, см. в особенности 9 4 втой статьи). Выражения Р н 0 были получены в втой статье косвенным способом. Приведенное здесь более прямое решение принадлежит Кестельману. Приложение П 402 Пусть Г (х) = ~~.', а~х', у=о из условий, налагаемых на Г, следует, что (4) ~ ау 11 + Л,( — 1)~~'!хе = О (ю' = 1, ..., и).
(5) е е Определитель системы (и+1) уравнений, представляемых формулами (4) и (5), Р(х) = ![Ьа4[! где Ь, ° =хе и Ье у —— [1+Л» ( — 1)~!х~ ~ (6) (1~(у <и+1; 2~(1~(л+1) будет удовлетворять требуемым условиям. Пусть Р— перестановка чисел 1, 2, ..., (и+ 1) и пусть Р,— „образ" е'. Рассматривая строки (1) в порядке 1, 2, ..., (п+1), мы можем выбрать элементы Ры Р, ..., Р„е, в различных столбцах. Тогда будем иметь Р(х)=~~'„[Р]х ' ' И (1+Лг „( — 1)~е) хее,', р е=е (7) Р(х) =сер Ц Л, (ПЛ,=1, если 7.=0), (8) где ~в=~[Р[ " 'П х,'.е,'0( — 1)' р еЕ~ Таким образом, р =( — 1)'Х[Р[х" 'Пу" "' '. р ю (1О) где [Р[ равно + 1 или — 1 в зависимости от четности или нечет- ности перестановки.
Сгруппируем теперь члены Р(х) в соответствии с содержащимися в них множителями Л„..., Л„. Пусть 7. обозначает любую из 2н возможных систем чисел, выбранных из 1, 2 ... п, а 7.' — систему чисел, выбранных из 1, 2, ..., и, но не принадлежащих Е (А илн 7.' может не содержать ни одного числа).
Тогда, согласно (7), будем иметь ф 95, Задача теории интерполяции 403 где у = — х, если и ~1., у,„=+ х, если т~1.', (11) и 1 есть число членов в 1.. Отсюда следует, что 1» »2 уи и = Ть П(» ув)> (12) ф 1 у уи-1 у уи-1 Ть =( — 1)"" В произведении (13) мы разделим пары (г, е) на три класса в соответствии с тем, пТинадлежат ли А одно, два нли ни одно из чисел г, е.
Пусть 31 обозначает произведение тех множителей у,— у„ для которых пара (г, г) принадлежит к первому классу, т. е. пусть 3 = П(у — у,)= П (х.+х,) (гва) У>в вЕЬ,УЕЛ' У ИЛИ Вчп где а(г, е) =(г — е))~г — е ~. (14) Пусть П (.—,) уйжвйв у>в йо — — П (ху — х,). уйь', вйв' у)в Тогда будем иметь (15) П (уу — ув) = Майо (16) 1<в<у<и Если Ь содержит 1 членов, то 3 имеет 1(1 — 1)/2 множителей, и 323о = ( — 1)*~:1 и-') П (х„— х,) = ( — 1)ч-1 и-1»< у)в УЕЬ и вбей или учи' и вЕЬ' П (л1 хв) х ф (ху — х ) в(г,е) Уч,лчв (17) Ь=( — 1)' у ув 1 Уи У„ где — ( )' П Ь~ У ) (13) 1~2Су~а Приложение П Таким образои, 3.3.3о= ( — 1)'"'"-"Д(.
— ) Д (";+„"') (13) е > у вЕж, вЕь Соединяя (12), (13), (16) и (18), получаем дъ=( — 1)чв><>-'>Д(х» — ху) Д(х,+х) >Е в>у вЕЪ ХП(,— ) и („+„;). (19) где з<в> обозначает последовательность чисел: > в~в>=+1, ( — 1)" в, — 1, ( — 1)", +1, ( — 1)" ', — 1, ( — 1)", (21) Аналогичное выражение для 0 будет иметь вид 0(х) = ~ е>в> Д ( " в) Д 1в(хв+х) Д (х„— х), (22) еЕпч вЕЪ " в вЕЬ вЕж где в)в> †последовательнос чисел: а(в> +1 ( — 1)" — 1 ( — 1)" " +1 ( — 1)" — 1 ( — 1)" ' ... (23) Исследуя последовательности (21) и (23), мы видим, что члены л, л — 2 ... в Р и 0 совпадают, а члены и — 1, л — 3 и т. д. имеют противоположные знаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
