Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 58
Текст из файла (страница 58)
! было показано (пп. 11.1 и 11.2), что для функций источника также могут быть выведены интегральные уравнения. Так, в простейшей задаче при постоянном полном потоке и изотропном рассеянии мы имеем интегральное уравнение Шварцшнльда — Милна [гл. [, соотн. (97)[ У()=Ц У(Г)Е,([г — т[) [д [16) Выходящее излучение выражается через функцию источника следующим образом: У(0, Р) = [ з' (т) е ' ~ —. (17) в з) Эта форма решения может быть также получена непосредственно путем Решения уравнения [1) в конечном приближении и исключения постоянных обычным способом. При использовании интегрального уравнения для Н(Р) последнее выражение приводится к следующему: е(0 Р)=е.о [1 — — юо ) — Ф[ь'[. Н[Р) 1 1 г Н[гу) 1 — ар.
( 2 .[ 1+вне (14) а Глава ХIИ. Разные задачи С другой стороны, было показано, что из интегральных уравнений, выведенных из принципов инвариантности, следует равенство Г(О И 4 РН® 1ГЗ (18) где функция Н(р) связана с характеристической функцией 1/2. Таким образом, мы видим, что нелинейное интегральное уравнение для функции Н(1с) должно быть как-то связано с преобразованием Лапласа уравнения (16). Мы исследуем сейчас природу этой предполагаемой связи. 89.1. Н-функция в консервативных случаях как преобразование Лапласа решения интегрального уравнения типа Шварцшильда †Мил. Связь между Н-функциями в консервативных случаях и решениями интегральных уравнений типа Шварцшильда— Милна выражается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть ср (й) =,'~ ~а„рог (19) — четный полипом от р, удовлетворяющий условию ! ! %" (р) сср = —,, 2' о (20) Далее, пусть У(0, й) = ~ $(т) е "в — ', о (21) где З(т) удовлетворяет линейному интегральному уравнению З(с) = ~:о П) ~ао~Еогю ( (1 — с ~) сгг. о (22) Тогда о о У(0, р) = сопз1 Н(сс), (28) где Н(й) — единственное решение нелинейного интегрального уравнения Н(р) = 1+ р:.Н(р) ) ~~ ), Чс (р.') ар,', (24) о ограниченное в интервале (О, 1). Доказательство.
Умножая (22) на е-чвс1с))с и интегрируя по и от 0 до со, получаем У(0, й)=) ~ $(Ф) ~Р ао1Еоз,с()1 —;/)е-'жссс —, (28) У(0 [с) =~ сй / — 'Э(с) ~~)~~а;Ео...(т — с)е Со+ о о -]- ~ ссс' ~ — '1(с) ~~~~аз.Еое„,(Š— т) е ьи. т о (26) Иаменив порядок интегрированна по 1 и т в (26), придем к соотношениис 7(0, 9) = ~ сй3(1) [ — е-Яо ~ а„Е.,;„,(т — й+ о с О с + ~ ссс'3(с) ~ — се-Мс Ч аосЕ„, (с — т). (27) о о Далее, СО О 1 Е-тСВЕ (т с) ~ Š— ~ф ] в „~О[ Е-Π— ГИ~ ~ с ОЭ 1 [ссосесда ~ ~ еяр ~ ( + ) ~ е ов ~ И ссссс (23) о с о и аналогично с 1 — — =1"— с[с „, „, Е (с т) ~" [е-сс е-и "] гни'. (29) ос'+' .] и — и' Уравнение (30) можно записать также в несколько ином виде Цо, + — [с ~ ж(" ), Ф[сс] = о с 1 = ~ 7(0, [с)ср([с')И[с'+[с ~ ~~,[У(0, [с) — 7(0, ьс');с/[с'.
(31) о о Подставив последние выражения в (27) и использовав (19) и (21), получим 1 с 7(0, 9) =1(0, [с) Г ~ и, фс'+ Г И, [[с7(0, 9) — [с'7(0, р.')] фс'. (30) о о Глава Х!П. воление задавя 370 С другой стороны, Н(р) удовлетворяет уравнению 1см. гл. Ч, ур. (75)1 1 1 ве( е) ч ч" ( ') Н(~л)~1 — р ~ ~,е7о'~=1+8 ~ ~ —,1Н(и) — Нф'))о7в'. (32) о о Вспомнив, что в консервативных случаях 1гл.
о', соотн. (16)$ имеет место равенство ~ Н(р)%.(и)48=1, о (33) мы обнаруживаем эквивалентность уравнений (31) и (32). Справедли- вость теоремы теперь очевидна. 89.2. Связь между Н-функциями и преобразованиями Лапласа решений интегральных уравнений типа Шварцшильда — Милна в неконсервативных случаях. В неконсерватнвных случаях связь между Н-функциями и уравнениями типа Шварцшильда — Милна выражается следующей теоремой. Теорема 2. Пусть гр('р)=.5,паров — четный полипом от р, удовлетворяющий условию в .~ ~) ' 2' о Далее, пусть трансцендентное уравнение г 1=2 Г 1н,), вв'и ,/ 1 — Сыно о (35) имеет корень О < йв(1. Рассмотрим решение интегрального уравнения (36) l 10, и) = ~ ~ ~(т) е — чя — ' о (37) может быть также представлена в виде У,О, р) = сопз1 Н Ох 1 — Лн' ',38) которое ведет себя как е"' при т-+ со (можно показать, что такие решения сунгествуют).
Тогда интенсивность 8 В9. сеяно мемеду Неруннпиями и решения.ии Н(Я вЂ” единственное решение соответствующе~ о Н-уравнения, ограниченное во всей полуплоскости 7с(г) ) О. Д о к а з а'т е л ь с т в о. Как и при доказательстве теоремы 1, мы установим сначала соотношение (30). Подставив зятем выражение 7(0, р) нз (38), получим О о 3то уравнение легко привести к виду г Н(в) ~1 — и ( (и ~, с7и'~ =— о ,, НСо )г78 +й ) " ',,;Н(й) — Н(р')~е19'. (40) С другой стороны, так как — 1/й есть полюс функции Н(р) ~саь замечания, предшествующие соотн. (106) в гл.
У), можно написать г 1 1 Р ч ( 1 ) Н а и( — 1ей) ' + Л,) — 1)Л+ И« о (41) Уравнение (40) приводится поэтому к уравнению (32), которому Н(Я удовлетворяет в общем случае. Справедливость теоремы теперь очевидна. Из теоремы 2, в частности, следует, что если У удовлетворяет интегральному уравнению 2 йо .1 у (г) Ег ( ) г — т ) ) гй, о (42) то „выходящее излучение", определяемое формулой (37), представится в виде (38), где 7о есть теперь положительный корень уравнения (4).
Уравнение (42) представляет собой интегральное уравнение задачи, исследованной в з 88, и только что установленный результат согласуется с решением, полученным в й 88 (соотн. (15)). 89.8. „Псевдо-задачи" в теории переноса. В п. 89.2 мы внделн, что в консервативных случаях Н-функция непосредственно связана с преобразованием Лапласа функции 1(т), удовлетвогшощей линей"о".У интегральному уравнению (22) с симметричным ядром. Выясним теперь, существует ли уравнение переноса, функцня источника котоРого удовлетворяет интегральному уравнению (22) в том же смысле, Глава Ху!й Разные задаЧи 372 при отсутствии цадаюп1его внешнего излучения.
Так как ь1 ф= ~ У(т, р)% (р) рф,= соп51'), -1 (44) то задача с постоянным полным „потоком" Ф имеет смысл. Функция источника, соответствующая (43), имеет вид д(т)= ) У(т, р)Ч'(р)Ыр=~~.',аву ) т'(т, р)разор. (46) Из соотношения (см. гл. 1, соотн. (91) и (96)] / У(т, р)рзУеКр= ) 5(1)Ет „(!1 — т!)гй (46) следует, что ~(т) удовлетворяет интегральному уравнению О 3(т) = ~ ..у(1) ~~~атуЕту т(~1 —;~)Ж, в (4?) которое совпадает с уравнением (22).
Из теоремы 1 можно теперь сделать вывод, что закон потемнения в задаче с постоянным полцым „потоком" Ф выражается функцией Н(р)Я). В неконсервативных случаях, когда характеристическое уравнение (33) имеет корень 0 < йв е' 1, уравнение (43) допускает интеграл вида ееа у (т, р) = соп51 1 1 —,ар ~ (48) г) Это соотношение легко может быть получено из уравнения (43) иутем умножения его на Ч'(р) и интегрирования по р в пределах ( — 1, 1) с учетом четности функции %" и условия консервативности (20). з) Этот результат может быть также непосредственно установлен путем решения уравнения (43) в приближении конечного порядка обычным способом.
Из полученного выражения !(О, р) должны быть исключены постоянные интегрирования и долвкен быть осуществлен переход к пределу бесконеч- в каком функция источника задачи с постоянным полным потоком и изотронным рассеянием удовлетворяет уравнению (16). Мы увидим, что такое уравнение существует, хотя и не представляет в общем слу,(ае какую-либо реальную физическую задачу. Рассмотрим „уравнение переноса" 1 р ' =У(т, р) — ~ У(т, р') чг(и')е(р' — г 4 89. Связь мемеду Н-функциями и реиеениями 373 и если мы рассматриваем (как н в $ 88) решение при отсутствии падающего излучения, удовлетворяющее условию еа ив 1(т, и) -+ сопз1 при т -а со, 1 — Ли то соответствующее интегральное уравнение для $(т) снова имеет вид (47). Угловое распределение выходящего излучения снова (как н в й 88) определяется функцией Н(1а)/(1 — 7ей).
Как уже было указано, уравнения вида (43) в общем случае не представляют подлнннмх физических задач. Тем не менее решение таких „псевдо-уравнений" переноса связано с реальными физическими задачами. Так, в задаче с постоянным полным потоком при релеевском рассеянии мы показали (гл.
Ч1, $ 45), что угловое распределение непосредственно определяется Н-функцией, выраженной через характеристическую функцию 'У Ь) =,3 (3 — в'). (50) при постоянном полном „потоке" +1 Ф = — ~ 1 (т, и) (3 — 1ав) р, вша. 3 -1 Из тождественности законов потемнения для решений „псевдо-уравнения" переноса (51) н истинного уравнения переноса (гл. 1, соотн. 102) вытекает следующий вывод. Уравнение переноса (102) гл. 1, соответствующее релеевской угловой функции, приводит к системе линейных интегральных уравнений для е'(т) и К(т) (гл. !, соотн.
(106) н (107)). Если е' н К представляют собой решения этих уравнений, то выходящая интенсивность выражается равенством (52) Г(0, и) = — ) е-"гв((3 — 1аа) У( )+(Зй — 1) К( )! —,, (53) о что совпадает с точностью до постоянного множителя, который может быть вычислен, с выражением 7(0, й) = ) е ти $(т) —, О (54) Закон потемнения к краю в этой физической задаче совпадает, таким образом, с соответствующим законом в „псевдо-задаче", связанной с уравнением ;1 р, * =1(т, й) — —. ) 1(т, и')(3 — р')евши', -ь Глаза ЛУП.
Разные заЬЬаал 374 где ь (т) есть решение уравнения Э Д (т) = ! 6 ~ $ (!) [ЗЕ, ([ь' — т [) — Ез ([! — т [
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
