Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Уменыиение жестноссни излучения ири риссеннии 349 При решении этой задачи мы предположим, что имеется бесконечная плоская поверхность, излучающая изотропно в восходящих направлениях. Спектральный состав излучения известен. Над излучающей поверхностью располагается атмосфера, состоящая из свободных электронов. Требуется найти измененное распределение выходящего излучения по длинам волн. При выводе уравнения переноса для задачи об уменьшении энергии излучения за счет многократного комптоновского рассеяния, мы будем предполагать, что в тех длинах волн, которые приходится здесь рассматривать, можно пренебречь зависимостью коэффициента рассеяния от длины волны и положить его равным классическому (томсоновскому) значению 8и е' и = — — М 3 нсосо (73) где' е обозначает заряд электрона, а Лсе — число электронов на еди- ницу массы.
83,1. Уравнение переноса н его приближенная форма. Для задачи, поставленной з предыдущем параграфе, уравнение переноса имеет вид ш ее 1е ' ' =7(т, йч Л) — — ) ) 7(т, р, Л вЂ” 7(1 — сов 4)))гКВ д~р, (74) с с о где (75) 7 = 31'тс = 0,024А, соз 6 = 1с1с'+(1 — йа)""(1 — йе)""-сов 3'> (76) а т — оптическая толща для и„измеряемая, как обычно, внутрь от границы. Вид функции источника, представленной вторым членом в правой части уравнения (74), определяется тем фактом, что, согласно (72), мы должны рассматривать излучение, имеющее длину волны Л вЂ” 7 (1 — соз 6), н направление (1с', в') для того, чтобы после рассеяния в направлении (и, О) оно имело рассматриваемую длину волны Л. Предположим теперь, что функция 7(т, р,', Л вЂ” 7 [1 — сов тз)) может быть разложена в ряд Тейлора вида д7(т н' Л) 7(„»,Л 7(1 соаЕ))=7(„~,Л) 7(1 созЕ)~~(','Ц+...
(77) и что достаточно ограничиться лишь двумя первыми членами разложения. (Ограничения, налагаемые на решение таким предположением, будут выяснены позднее.) Збо Глава ХП. зуругие аееирофизииееиие задачи В первом приближении можно положить ! а+,— — а,=! и Ле„,= — и,= ТГ3 н система (79) приводится к системе уравнений 1 д1„а ! дгю 2 д1 ~ 1 )1 3 дт 3 д! 3 дь 2 (80) ==+ — Т вЂ” „— + — Т== — (1, — 1-1 1 д1, 2 д1ю ! д1, 1 (81) "Ге 3 дт 3 дЛ 3 дЛ 2 Вводя переменныс х= — т и у=- — (Л вЂ” Лс), 3 3 2 27 (82) где Лс †некотор соответствующим образом подобранная постоянная длина волны, мы приведем уравнение (81) к виду )РЗ д1ь, 1 д1за д1 у 1 ( (83) 2 дх 2 Ыу ау 2 — =+ — '+ — = = — (1 — 1- ).
ТлЗд1 ! д1+л 1 д1 ! 1 2 дх ду 2 ду 2 (84) Требуется решить уравнения (83) и (84) при граничных условиях 1,(х„у) = известной функпии от т, например, ф(у) и 1,(0, у)=0, (8б) определяющих соответственно известное спектральное распределение восходящего излучения у основания атмосферы при х = х, и отсут- ствие излучения, йриходящего к атмосфере, при т=О. 83.2. Приведение к граничной задаче. Вычитая уравнение (84) из (83), получаем 2 дх( +л л) 2 ду( +л+ Уравнение (74) при этом заменится следующим: +1 31(!ьЛ)~!Г1()ьЛ)Т(1))дЛ)1Ф(78) д/(т,и,Л) 1 Г д1 (с, и', Л)1 -1 В и-м приближении уравнение (78) в свою очередь заменится системой 2и уравнений 1ь д' — 11(т, Л) — 2 ~~а111ел(, Л)+ 2 Т ~„а1(! — рпв1) ~дЛ' (79) (1= -1, ..., з-и). д дй всменвжение хсесисяосиси излучения ири рисссянии 851 дх(l+,+У-,)+ 2 д (с+,— У-,)=с+,— с „(88) или, подставив сюда значение (87) для 7,,+7, и )в,— ! „при- дем к эллиптическому уравнению де8 дзЯ д8 — + — =2— дха дув ду ' (89) которое приведется к более простому виду, если положить о = еиг" (х, у).
При этом получим (90) двУ дзУ дх' дуз —.+ — — ) =О. Возвращаясь к соотношениям (87) и (90), находим (91) )вг (х, У) = л ел~д +ф 3(у+д — )~ 21,„~Ч .— 3(.+ дУ~) вследствие чего граничные условия (85) приводятся к соотношениям [д + )с 3(с+ д )) =2е-еф(У) (92) ~'Ч 1/З(У+ЖЯ =0. (93) Теперь задача состоит в решении эллиптического уравнения (91) при граничных условиях (93). 85.3. Решение граничной задачи.
Граничная задача, сформулиРованная в п. 85.2, может быть решена особым методом, основанным на теореме Грина. В результате решения получаем ') у(0, у) = — ' Г ' ~(»((р — д'9)+'р(р+ч)) 7~8 (94) (рв+ 5вчв) ~/ ~1 ( вв >В 1 не Нр .С 1 ТТ ВО йоу. Зос. Ьопдоп, А, 192 (1948), 508. Поэтому мы можем написать у 1 у" 3~~~~ у) 7 +7 дЗ(х, у) Из последних уравнений непосредственно вытекает сохранение интегрального полного потока излучения. Сложив (83) и (84), получим, далее, Глава ХП.
Другие астрост[изичесиие задачи 1 Г е 'За %' Щ [р + (! — Зге) ст[ г(х,, у)== [ ., ф, 1Г 6 ~ (1 — Ф) (р — Фч) (96) где йс (р) = — ~ есзае — У ф (у) Ыу Гс 2и (96) р = [с 8 (1 + ~а) сЬ (х, ~Г 1 + ~а) + 2 з[ч (х, ~/ 1 + ~а), (97) (98) Ф (у) = 8 (у) где 3(у) есть 3-функция Дирака.
Так, если Уч,(0, у; 8) обозначает решение для выходящего излучения в случае, когда поверхность х=х, излучает монохроматически в длине волны Х [см. соотн. (82)], то решение, соответствующее поверхности, излучающей с заданным спектральным распределением ф(у), представляется в виде Можно было бы думать, что предположение о монохроматичности излучения поверхности несовместимо с нашим разложением 7(т, 9, Х) в ряд Тейлора [см. соотн. (77)1и однако это не так. Способ приведения решения при произвольной функции ф к решению для случая (98) есть математический прием, непосредственно связанный с решением граничной задачи, сформулированной в п. 85.2, и не имеющий отношения ко всему предыдущему. Однако ваше прежнее предполог жение относительно г(т, [г, Ч означает, что имеющие физический смысл решения могут быть получены только после „размазывания" интенсивности 1+~(0, у, 3), согласно формуле (99), с помощью относ сительно гладкой функции ф(у).
Имея в виду это замечание, прододжим исследование основного решения 1+,(О, у; 3) нашей задачи. При ф(у) = 3(у) очевидно, что [см. соотн. (96)[ 85.4. Спектральное распределение выходящего излучения. Из линейности уравнения переноса н, в частности, уравнения (91) следует, что решение для произвольной непрерывной функции ф(у) может быть получено из решения для случая 3 35.
Уменьшение жесткости излучения ири рассеянии 353 н формула (94) приводится к виду Г "и — 1'4)+6(р+ч)) 2и,) (ре+ яздз) ~/ ~ + есз (1оо) или, что эквивалентно, Г(0 ) 1 (' (Р— Ззй)сов ЗУ+ (Р+ о) 3 з1о ЗУ (Р'+ а') )'1+ Р Иас, естественно, больше всего интересует распределение выходящего излучения по длинам волн. Согласно (92), можно написать ~, (' У) = 2 "~а'+)~з(У+ 3у)], ПО2) или, если принять во внимание (93), /„(О, У) = УЗе (7'+ —,'~) (1оз) Подставив сюда выражение (101) для 7'(О, у), найдем после некото- рого преобразования членов, что р г 3 Г (РсозгУ+гчз~огУ)г' 1+Р /3 ( (4 /„,(О,у; )=- — ее Г (ре+ Зечз) о где (следует напомнить) р и г/ определяются по формулам (97). При заданных к, и у выходящее излучение можно получить, вычислив интеграл (104).
Результаты таких вычислений для к,= 1, 2 и 3 приведены на фиг. ЗЗ. При рассмотрении этих результатов нужно помнить, что у измеряет сдвиги длин волн в единицах, равных 2/3 комптоновской длины волны, а значения лы для которых проведены вычисления, относятся к оптическим толщам, равным соответственно 2/3, 4/3 н 2. Из фиг. ЗЗ мы видим, что вычисленные распределения приводят к ограниченным интенсивностям также и в фиолетовой части спектра. Точное решение уравнения переноса (74), конечно, не дает этого.
Очевидно, что ошибка возникает при переходе от уравнения (74) к уравнению (78). Площадь, расположенную слева от у = О, можно Рассматривать как меру погрешности, вносимой нашим приближенным методом в решение уравнения переноса (74). Однако следует заметить, что даже при т, = 2/3 доля фиолетовой части спектра в полной интенсивности остаетсЯ меньшей 15о/о. В свЯзи с этим необходимо обратить внимание также и на то обстоятельство, что на полученные спектральные распределения переход от точного уравне- Глава ХУА грузие астрофизические задачи ния (74) к приближенному (78) меньше влияет в области больших сдвигов длин волн, чем в области малых.
Действительно, если ". отлично от т„то при больших 5АГ( обстоятельства становятся более благоприятными для использования ряда Тейлора (77), чем при малых. г1есколько неожиданным результатом вычислений оказывается сравнительно большая вероятность достаточно больших сдвигов даже после 0,2 о,( о -( 0 ( 2 3 а 5 3 г ы 3 (О и Фиг. 33. Ослабление излучения за счет многократного комптоновского рас- сеяния. Спектральное распределение выходащего ивлученнк Г+ (О, у, и после прспусканив монохроиатического потока иалученив сквозь слой свтьческой толщи 2(3, а(3 и 2. Абсциссы обозначают сдан~и длины волны по отношению к единице, рваной 2'3 комптоновской длины волны (0,0(ЫА), ординатм — уходсщне интенсивности по отношению к интегральной восходвщей интенсивности у основание атмосферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
