Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 56
Текст из файла (страница 56)
перехода к оптическим толщам порядка единицы. Отсюда вытекают некоторые интересные астрофизические приложения, рассмотрение которых, однако, вывело бы нас далеко за пределы данной (синги. $86. РАСШИРЕНИЕ ЛИНИЙ НРИ РАССЕЯНИИ НА СВОБОДНЫХ дЛЕКТРОНАХ В 8 85 мы рассмотрели ослабление излучения за счет многократного комптоновского рассеяния, при котором каждый процесс рассеяния увеличивает длину волны по закону (72).
Однако если квант света рассеивается на движущемся электроне, то изменение длины волны уже не выражается формулой (72). Вместо этой формулы мы имеем соотношение ') (тс — р ) —, — (тс — р соз 8 — р„з!и 9) = — (1 — соз ту), (105) Лч связывающее частоты т и т' падающего и рассеянного квантов с углом рассеяния кг и количеством движения рассеивающего электрона () См. 01 гас Р. А. Мч Мон.
(Чо(. Еоу. 5осч 85 (1925), 825 (соотн. (6)). Ьч дб. Расширение линий при рассеянии на электронах Зби» р=(р, р„, р,). Выражение (105) написано в предположении, что направление падающего кванта совпадает с осью х и что плоскость рассеяния есть плоскость ху. Член, содержащий ач/с, в правой части (105) необычен для квантовой теории и характеризует эффект Комптона. Левая часть этого выражения, которая не содержит Ь, представляет классический эффект Допплера. В классическом приближении уравнение, связывающее ч, ч, В и р, имеет поэтому вид ( )* /ч —,— сов й)р.— р„з!п В = тс ( —, — 1), (106) ч» ) х е или с достаточной точностью (~ р ~ (~ тс) (1 — соз И) р, — р гйп й = тс( —, — 1) .
(107) Пусть излучение с интенсивностью У„в частоте ч, распространяющееся внутри телесного угла аег, падает на элемент массы ат, содержащий Мес1т свободных электронов, которые имеют мгксвелловское распределение скоростей, соответствующее температуре 7; Рассеяние падающего излучения повлечет за собой перераспределение по частотам; именно, электРоны с количеством движениа Р = (Ра, Рв, Р,) будут рассеивать в направлении (ч излучение частоты »', определяемой из уравнения (107). В рассматриваемом классическом приближении можно предцолагать, что рассеяние излучения на свободных электронах будет происходить в соответствии с законом Томсона.
В элементе массы «1т содержится (108) электронов с колнчествамн движения, заключенными между (рги р „р„) и (ра+е(реп р„+зрю р,+е(р,). Пусть в результате рассеяния на этих электронах вознйкает излучение в интервале частот (ч', ч'+е7»'), Распространяющееся в направлении Й. Если падающее излучение принадлежит интервалу частот (ч, »+б»), то очевидно, что не все дифференциалы д», И»', е(ра и Нри могут быть заданы произвольно, они должны быть связаны между собой соотношением (107). При сделанных предположениях полное количество лучистой энергии, Рассеиваемое в единицу времени в направлении чч, внутрь телесного угла 4ег', в интервале частот (»', ч' + «7»'), будет равно да' У» аьч да ° а, «7т ° — (1+ созг ()) — ° ф (ч; «') еЬ', (109) где а, обозначает коэффициент рассеяния Томсона (соотн.
(78)), а .~.со '-ч» 1рг лрг+рвГгчпнт др 6 (110) 1'лаза ХП.,/(ругие аетрофизичеекие задачи В выражении (110) производная др /д» вычисляется по формуле (107) и выРажаетсЯ чеРез», »' и Ря) аналогично и сама составлЯющаЯ Ра должна зависеть от этих же величин. Следует заметить, что в выражении (109) анизотропность рассеянного излучения определяется угловой функцией Релея. Поэтому формула (109) справедлива только для падающего неполяризованного света; использование этой формулы для света, рассеянного более одного раза, строго говоря, неправильно.
Однако в первом приближении, в котором мы будем решать уравнение переноса, более тонкие исследования не меняют результата. Возвратившись к формуле (110), мы легко проверим, что, согласно равенству (107), имеет место соотношение 5 + 5 2 ~ + те(» — ч') 5!и 6~5+ тгег(» — ч')5 1 — соэ чч с " 2»'(1 — соэ 6) ) 2»'5(! — соэ 8) др те (112) дч ч'(1 — соэ 6) ' Отсюда -тс" ! — чч!ч/4ьт ч~ !1 — сов Е! ч'(! — соэ О) (2ет/гТ) '-" ~ Х ./ ( '11 — соэнв,рв+ 2 '(1 — соэн) ) +р") 2т/гТ1 (113) Интеграл, стоящий в правой части, без труда вычисляется, и мы получаем .1\ ' ф (»»ч) — ~ ' ! е-то'!ч- ч!/411'чг !1-соо э) (114) '145аТ»'з(1 — соэ О) а также 3(9,9 )=,б, ) И' ) 4" (1+сова(з)Х о -1 в 1» ~' у~чу( в в ч) вие ' то» ! ч-ч!в/моте !1 — сов е) (1 10) 4иаТ»в (1 — соэ 9) э 1) Заметим, что для этого требуется заменить ч ва ч' н наоборот.
Таким образом, если падающее излучение монохроматическое, то „линия", рассеиваемая в направлении Й, имеет „ширину" — Г"'' — 5 Ла (1 — соз Й)~ 4/г Т (115). при Т=10000', Л=4000ев и Р/=е/'2 эта и!ирина равна 10,4А. Комбинируя (109) н (104), мы можем написать выражение функции источника для излучения частоты»'), распространжощегося в направлении (!в, вэ): г. +! З 8й. Расширение линий ири рассеянии на злексиронак 357 где созте определяется по формуле (76). Соответствующее уравнение переноса для плоско-параллельной атмосферы представляется в виде 'й"' =7(т, Р ) — 3(т, р, ) (117) Р "(Т') =7(,, )— — — Сра' Г й '(1+СОЗЗСУ) Г ( ' ' ) Е-(е'-етд'-ееез1, (118) 3 ~' с (' с (' йаст с, р/, ас где вместо и введена переменная яссе~'й и — яе "=( — )' 4А Т/ яе (119) здесь те — некоторая должным образом выбранная постоянная частота.
(Если речь идет о линии поглощения нли излучения, то в качестве т может быть принята частота центра линии.) Уравнение (118) должно быть решено при граничных условиях 1(ты й, а) =1~~~ (а) 7(0, — р, а) 0 (О (Р <1), (120) выражающих соответственно заданное спектральное распределение восходящего излучения у основания атмосферы (при т=т,) и отсутствие излучения, приходящего к атмосфере, при т = О. Решение этой задачи, которое будет дано ниже, принадлежат Мюнху.
86.1. Преобразование Фурье для уравнения (118). Применяя к уравнению (118) преобразование Фурье по отношению к а, т, е. умножая обе части на ес"<ДГ2я н интегрируя по а от — оо до +оо, Б связи с уравнениями (116) и (117) рассмотрим следующую задачу. Бесконечная плоская поверхность однородно излучает в восходящих направлениях прн заданном спектральном распределении. Над этой излучающей поверхностью расположена атмосфера, состоящая из свободных электронов, при температуре 7'. Требуется определить измененное спектральное распределение выходящего излучения.
Для большинства практических приложений получается достаточно хорошее приближение, если заменить е и е' постоянной частотой „центра" линии тв везде, где не входит разность (ч — «'); пределы изменения (» — ч') можно положить равными — со, '+со. После такой замены уравнение переноса (117) примет вид Глава Х//. Другие аеиграфагзичееиие задачи получаем дч да (ч, (а; Е) 2 +1 — — ) 4/оо' ) а/)4' (1+ сова чт) Р', о -1 (аЕ и4и/(а )а ") е-(1- )/(1-ооав) (!21) / )Г2и / ~ги (1 — сов 6) где е/' (т, (1; Е) =,— ) Е"Е/(т, й, а) 4/а (122) — преобразование Фурье функции У(т, )4, и).
Интегрирование по и и и' в многократном интеграле, стояшем в правой части (121), может быть выполнено; результат интегрирования выражается через функцию Я (т, ) ', Е): 4 со, +оо лае( Е На'/(а, Н', а') Е-(а' -а)'/(1 — ооа Е) 1/2и ~ геи (1 — соз 8) е(а'еУ(т (41, ) Г иа е-4(«'- ц-(а'- )'(1- в) ')Г2и У )Ги (1 — соа 6) =е т,,и ( Е-Е (1 оо 9)/4 У (Ч (аь $), (123) Используя интегральное представление Г (х) = — ~ е*"'ч' созна'а/е' о (12б) функции Бесселя порядка и для чисто мнимого аргумента, мы легко можем вывести соотношение РЬ.
! ' Е)= ~1+ !аз)" + — (1 — (а') (1 — иеа)1Уо( — 1а У ! — (ав )Г1 — (а'г) -)- (~ вг 1 ',4 Таким образом, применение преобразования Фурье позволяет при- вести уравнение переноса к виду 4.1 !1 д' ' — — е/ (т, !1; Е) — у ~ р()1, (а'! Е) е/ (т, )а'; Е)4/!1', (124) -1 где Ва р()4, (а'; $)= — ) (1+совета)е Е'(1 оо'вр44/()о'. (125у о а 86. Расширение линий ари рассеянии на электронах 359 [ 2р[" (1 — [ )*ь(1 — [."-) 31, ЯЕв) '~ — рв.
У[ — [.')-[ + — (1 — [се)(1 — [с ) се[ 4 Ез к~1 — йе ° с 1 — 9 )) е-пс — ээ Ш. (121) Граничные условия, при которых должно решаться уравнение (124), представляют собой преобразования Фурье граничных условий (120). Так, +со У (т 9 Е) — сеш>(Е) — ~ ее еУВ> (а),Уи В'(О, — 34 Е)= — 0 (О ~[с~~1). (128) — ' "~ =„— [М(Е)0„+[У(Е)В,[ — —,,' = И,— [М(Е) Я „+М(Е) Д,[, (129) [с 3 где [см. соотн. (121)[ М (Е) = 2 [1о[ б Е')+ 3 г [, 3 Е',[+ 3 1'(б Е,[) е Е) =-,'С (-. ) — З ус(3Е'~+ ув(3 Е )~ -е~. (130) Общее решение уравнений (129), очевидно, должно иметь внд В+„(т; Е) =А(Е)е+х +В(Е)-х, где А(Е) и В(Е) — произвольные функции и у у (Е) = [ [ 1 — М (Е)]в — 3[в (Е) ) 'ь усЗ .
Граничные условия (128) позволяют определить А(Е) и В(Е). (132) 88.2. Решение уравнения (124) в первом приближении. Уравнение (124) относится, очевидно, к уравнениям того вида, к которому применимы наши стандартные приемы решения. Ограничиваясь первым приближением [ур. (80)[, получим систему уравнений Глава ХО. Лруеие аевврофизичеееив задачи Находим — '(1 — м+х!М'з) А (Е)— ,<о>(Е) (1 — М) зй уев+(у)'$Г3) сь уч~ — —,' (1 — М вЂ” Ц $/3) 8(Е) 2 у <о> (Е) (133) (1 — М) ей уч, + (уу'ЕГЗ) сй уч, Формулы (131) и (133) полностью определяют еуч,(т; Е) и Я, (ч; Е).
В частности, получаем 3У „,(О; Е) = =- ~ е'"Ч„(0, а)вКа = О(Е; т,) ф1~1 (Е), (134) 2в где О(Е; ч)— у/~ 3 (1 — М)ейучг+(у)1ГЗ) с уч1 (135) Из свойства обратимости преобразования Фурье следует в соответ- ствии с Формулой (134), что у„, (б, .) = — '= ~ е-вчьО (Е1 т,) ~ <о> (Е),ЕЕ (136) 1' 2з Это выражение и представляет собой решение для выходящего излу- чения, Можно, кроме того, показать, что О(Е; ч,)-+е ' К' при Е-+ ч-оо. (13У) Приведем теперь выражение (136) к виду — .~-а 1 (б и) = в ~ е ел~<о> (Е) гхЕ -(- = Г е "Ц О (Е; т ) — е ь Кв ) 3г ~о> (Е) в(Е, ЕГ2и или У+в(б, и)=е "гз)~о>(а)+ 1 ( е вы(О(Е;т,) — е-' Уз]гу~о1(Е)Ф. 2в l (138) у 8о.
Раниирение линий ири рассеянии на электронах 36! Второй член в правой части соотношения [188) может быть преобразован следующим образом: Г е-ем[0(с; -.,) — е- Уе[ Г'о'(Е)суЕ= ~Г2~~ ! г — В[0($; -.,) — Е- Уз[ Е-ЕЫ ~ сгрэеысуСО>(8)— — СФ (Р) ~ С!ее[0(сэ; С,) — Е-' УЗ[Е-ММ-3 = Х Ую'®й( — Р; )Ф'), (189) где 2 ~ е-с ![0(Р тс) — е — чУс[с[с (14О) — СО Решение с+с(О, и) принимает теперь вид У„(О, а) — е-' УсУЮ! (а)+ ~ У!о!®Ь(а — ~; с,)ф.
(141) Выражение выходящего излучения (141) допускает следующую простую интерпретацию. Первый член представляет прошедшую через атмосферу без рассеяния часть излучения, которое приходит к границе атмосферы т = тс снизу [см. соотн. (1)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
