Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Рассмотрим уравнения, которым удовлетворяют функции фп>(т, <ь) и ф<г'(т, 9), соответствующие двум различным собственным значениям в«> и й<з>. Имеем ) =ф'"(т <) — ">Ф">(т) с<в<1> (ч, <с) — ф<в> (т 9) д,<з>9<а> (т) ! ! (79) ! р — (ф"'(' <")ф"'( > — р))= = а~мФЮ (т) фп> ( ° <А) — е<'>1<'>(ч) ф<2>(т, — <ь). (80) Проинтегрировав последнее уравнение по; от — -., до +т„мы убедимся, что величина (фц'( р) ф"'(т — <)!'ч стоящая в левой части равенства, тождественно обращается в нуль (т. е. для всех — 1 ~(и~(+ Ц вследствие граничного условия (74). Следовательно, (а<в>ф<з> (т) ф<'> (с, р) — а<'>ф<'> (т) ф<а>(т, — р)! а<к= 0 (81) ( — 1ч.
<с <+1). Интегрируя это соотношение по <ь от — 1 до +1 и вспоминая определение ф, получаем ьч (ш<а> ()<<>! ~ ~~<2> (ч) ф<!> (т) нт — '> (82) откуда следует ортогональность функций, соответствующих разным собственным значениям. Доказательство полноты системы ф<еч> (;) не столь просто, и мы ИФ будем приводить ЕГО.
Однако если предположить, что полнота Следует заметить, что второе из уравнений написано для — <ь, но мы никак не ограничиваем область изменения >ь. Умножая первое из уравнений (79) на ф<в>(-., — и), а второе на ф<'>(т, >ь) и вычитая одно из другого, получаем Глава Х!1). Развив задача имеет место, то любая непрерывная функция 1(т), определенная в интервале ( — т„+ т,), может быть представлена в виде ряда по фаз) (т): 1 (т) — ~~~~ п1а)ф)ив) (т) з1= 1 (83) Коэффициенты пои) разложения определяются по формуле аси) = ) 1[,)ф)ви) 00ди (84[ [ф(1в) [ч)[влч с помощью фундаментальных решений ф<а>(т, )в), ф)а)(т) и 11 )(т) общее решение уравнений (69) и (70), удовлетворяющее граничным условиям (72), может быть представлено в виде 1(1, т, )в) = ~ и<ви) ехр [ — (йыхви) — 1) 1/асв1) [ фни)(т, )в), .1 (1, т) = ~ а)а)ехр [ — (й)а) — 1) 1)йби)[ф)") (т), [85) Л)(1, т) = ~ о<а)йии>ехр [ — ( ои> — Ц11йии)[У"')( ), а=1 1 (О, т) = ~~'„~ а <а)ф)а) (В) ив=1 (86) действительно представляло собой разложение средней интенсивности в решении уравнения переноса р.
' ~ =-1(т, )1) — 1(т) (,1=И, 1(0), (87) удовлетворяющем граничным условиям 1(+-„, [ )в) — 1(О) И 1( —;„— [1)=О (0()в (1). (88) где а)а) — произвольные постоянные. Чтобы завершить решение, мы должны определить такую последовательность значений постоянных а)а) в (85), которая позволит получить распределение возбужденных атомов в слое в момент 1=0, а именно, распределение, которое имело место в момент, когда был удален источник света. Коэффициенты а) > должны быть, следовательно, выбраны так, чтобы разложение р М. Диффузия задержанного из гучения енеозь газ Воли коэффициенты а150 определены таким образом, то решение (85) удовлетворяет всем условиям задачи и, следовательно, является иско- МЫМ РЕ1ПЕНИЕМ. '141 1 нч Рй нс = фд 2 а лУаидфг 0= 1 °, ~П), (89) где обозначения имеют свой обычный смысл.
Так как й ) 1, мы ищем решения (89) вида ф.=Т.е-ег" (Ту — — сопз1; /= ь-1, ..., +-и) (90) и находим, что соп51 Ту= 1+,й (ф= — 1 — и) + (91) и, далее, что характеристическое уравнение для Й имеет вид — Х а 1=в аянг ' 5=1 (92) Уравнение (92) имеет 2п корней, разделяющихся на пары ') (93) /г„= — й, (о= -1, ..., -и). Общее решение для фг принимает теперь вид Ьн -15 я ф = ~1 ' . (ф= 1, ..., -+-П)в), (94) я= — И где й,(и= -1, ..., -+-и) — постоянные. Удобно ввести в решение (94) вместо экспоненты с мнимым показателем степени синусы |т ....,...„„....,-в-.** ь*- ..ы;-.„1..— чисто мнимые. Это обстоятельство нн в какой мере не влияет на ход рассуждений.
) Сумма в правой части не содержит члена, соответствующего е = 0 1см. соотн. (93)1, 90.3. Форма решения в приближениях конечного порядка. ййы покажем теперь, как описанная в п. 90.2 общая теория может быть применена к практическому решению задачи в приближении конечного порядка. Рассматривая сначала задачу об определении основной системы ортогональных функций, мы должны найти, какие условия должны быть наложены на нч для того чтобы уравнение (77) имело нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям (74). В п-м приближении мы заменяем уравнение (77) системой 2п линейных уравнениИ Глава Хььь.
Разные задачи и косинусы. Получим ф,= ~та,, (А,(Совй„т — й,у2в1ььФ„т) + « + В«(в1п й,т+ й«1ь„сов й„т)1 (7' = -1, ...,:~.и), (95) где А«и В«(а =1, ..., и) суть 2и постоянных. Используя (9о), легко находим н ььь(т)= — ~1 а,.фа — — = ~~ (А,созй«т+В«япй;.) (96) ар.ф,= — — ~ — ( — А«ядй„т+В сов й„т). (971 2(оь — 1) кт 1 Если ввести обозначения дают теперь « «Ь ~А„соз11„усов(9 .+й„-.,)+~В„с во«нз1ьь(о„у+й„.,) =О, «=1 =1 ~А„сов о,~сов(окг+й„ть) — ~В,соз О„~в1п(9„~+й„ть) = О.
« †«=1 (101) Система уравнений (101) эквивалентна следующим уравнениям: ~~~~А„соко ~сов(9„+й„ть)=0 (7'=1, ..., и) «=ь ~,В„соко«.яп(9«+й,т,)=0 (7'=1, ..., и). ««т Таким образом, либо А«~ОьВьО и!)соко«сов(99+йть)()Оь (102) 1ио„у=й,1ьу; О„= — 9„(а=1,, и; /= -1, ..., -и), (98) то решение (95) удобно будет представить в виде ьеу=.~~А„соко ~сов(о„у+й,т)+ «=1 +~'„В„сов о ~Яп(о„у+й«т) (7'= -1, ..., -и). (99) «=! Граничные условия [см. соотн.
(74)! ф„(+т,)=ф ( — т,)=0 ((=1, ..., и) (100) ф Ж даффузан заоержанносо азлуненсса сквозь еа) либо Ла= — О, Ва,а 0 н ]]сов На,з(п(':„;-]-(сакс)]] = О. (103) Обозначим через (в,л» и ю(ь,ссс) [са = 1, 2, ..., со) значения ач которые обращают в нуль определители (] СОЗ Оа СОЗ [йа.+Сгатс)!] И ,') Спайа; З(и[8 а+Сват ):). Пусть соответствующие корни уравнений [92) булут )О~''л» и се~„'ю~ (а =1, ..., а; си=1 2, ..., со). (104) [105) Послеловательности чисел Л„и Ва [а =- 1, ..., а и (ю) (а» 2, ..., со), вычисляемые из уравнений см = 1, а=1 и а=1 л [10 с) а=1 нормированы.
Общее решение для средней интенсивности и число возбужденнык атомов при с' ) 0 может быть теперь представлено в виде з' [1, т) = .ес а ю в»фс'""'» [т) ехр [ — [сй ' — 1] (ссьс" "' ) + сл.— -1 +'С~~ (О,есс)с(о,ас)» [ ] (О,л» 1]([ (О,ю)] ел=1 и )(([( ) ~1 (в,ссс) (в,ю)с(е,лс) [ ) [ ]-(в,сл) 1]1~-(в,есс)] (О.сл)-(ь,ел) с(, ю) [т) екр [ (ю( .ю) 1] ( Ос(ь,сл)) [108) ю=с 'Сое,„„„„. Ос аа с с н в п.
90.2. с точностью до постоянного множителя, мы определим однозначно из условия, что функции ') 384 Глава Х!УУ: Разные зада ш Чтобы завершить решение, мы должны определить коэффициенты а('"'> и и('и'> в (108) из условия, что разложение О У(0 ) ~~~~~ (а(е,ее>ф(е,и>( )+а(о,ое>ф(о,ео>(т)! (109) ее=( при != 0 представляет собой разложение по ф(('и'> и ф(о о'> средней интенсивности в момент прекращения освещения. Для этого требуется решить стационарную задачу, т.
е. в настоящем нашем приближении систему уравнений е(>В 1 мч й — =У: — —,~ а1 (7=:! ... ( и) дд с граничными условиями у„в(+ т() =У( > и 1 д( — -.,) = 0 (7' = >, ..., и). (111) Обычными методами мы находим, что (о>, '= Х;",: +~(т+ ')+' (/ = -(-1, ..., и), (112) где Й(>(а= -1, ..., -п:,1 и >е(>= — >о >„) ~и и а(О>е „, — Л,(~,+(еэ)+7.„=0 () =1, ..., ).
(114) а(о> и= — и в Из (112) получаем еи У (т) = -' ~>'„аеуз = ~,от+ 7.„+ '~ 7.„е "« ', е=- -и что является разложением функции у(т) по ф(' >(т) и ф(о и>(т), 'определяющим коэффициенты а(е "> и а(" > в решении (108). Определением этих коэффициентов завершается решение рассматриваемой задачи. — корни характеристического уравнения (см. гл.
!!1, соотн. (7)! и ад (118) а постоянные Е,(а = (-1, ..., -п..~. 1), 7.о и Е„определяются из условий !см. соотн. (111)! (о> и + ! + р..а('> 9 9/. Перенос излучении е атмосферах 99,9, Решение в первом приближении. В первом приближении (а = а, = 1 и )с+1 —— — Р 1 = 1/У 3) уравнения для характеристических корней и собственных значений, выведенные в п. 90.3, принимают вид А=1+ 3 Ао, (КО=А/)/З, (116) (К А-., = — (и О = — АДг3. (118) Каждое из этих уравнений имеет бесконечное множество корней. Обозначив их через А(' ) и /е('~)(лс = 1, 2, ..., со) соответственно, мы получим следующие нормированные собственные функции: соо а(е ю а(о,т) [.,+ ОгЗ/(во+3)[» [., + Огз/(во+3)[" ' Решение стационарной задачи в первом приближении имеет вид (119) 1 /(о) ( ч-~1/У"3 ~ * 2 1 ч1.( 1/ЪСЗ / У() = — '7("(1+ (129) 1(егко определить коэффициенты разложения функции е'(т) в ряд по собственным функциям (119).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
