Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Это следует из известного асимптотического поведения 1,Я и 1(„(я) при л-+со. Далее, обращение в нуль всех величин при л= О приводит к условию [см. соотн. 1149)) г(о+!уз( -г)ф(л) + О (л +О). 1153) Так как К„!л) расходится при я=О, условию (153) можно удовлетворить только положив сз = О. Функция ф принимает теперь Таблица ХХХЧ Решение для сферической атмосферы, в которой хя г-' йвХ йвК ьа7( 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 22 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 0 0,0002322 0,0018377 0,0061122 0,014237 0,027265 0,046111 0,071559 0,10426 0,14475 0,19345 0,25067 0,3166! 0,39146 0,47522 0,56792 0,66950 0,77985 0,89876 1,0261 1,1616 1 3051 1,4563 1,6148 1,7805 1,9529 2,!319 2,3171 0 0,000! 605 0,001 2825 0,0043092 0,010158 0,019718 0,033844 0,053357 0,079047 0,11167 О,!5195 0,20059 0,25824 0,32557 0 40317 0,49165 0,59158 0,70352 0,82800 0,96556 1,1167 1,2819 1,4616 1,6564 1,8667 2,0930 2,3356 2,5951 0 0,0002 500 0,0020097 0,0068154 0,016238 0,031890 0,055420 0,088512 0,13288 0,19026 0,2624! 0,35109 0,45813 0.58523 0,73429 0,90703 1,10524 1,33072 1,58525 1,8706 2,1884 2,5405 2,9286 3,3545 3,8197 4,3259 4,8749 5,4682 0 2,8 0,00025 2,9 0,00 200 3,0 0,00675 3,1 0,01 600 3,2 0,03125 3,3 0,054 00 3,4 0,08575 3,5 0,128 00 З,б 0,18225 3,7 0,25 000 3 8 0,33275 3,9 0,43 200 4,0 0,54925 4,1 0,68600 4,2 0,84375 4,3 1,02400 4,4 1,22825 4,5 1,45800 4,6 1,7148 4,7 2,0000 4,8 2,3153 4,9 2,6620 5,0 3,0418 5,1 3,4560 5,2 3 9063 5,3 4,3940 5,4 4,9208 5,5 2,5081 2,7048 2,9068 3 1137 33254 3,5414 3,7617 3,9858 4,2136 44448 4,6792 4,9165 5 1565 5,379! 5,6440 5,8911 6,1401 6,3909 6,6434 6,8975 7,1528 7,4095 7,6672 7,9260 8,1856 8,4461 8,7072 8,9690 2,8719 3,1664 3,4791 3,8103 4,1606 4,5303 4,9199 5,3297 5,7603 6,2! 19 6,6852 7,1804 7,6979 8,2383 8,8019 9,3892 10,0006 10,6365 11,2973 11,9835 12,69 54 13,43 36 14,19 85 14,9905 15.81 00 16,6574 17,5333 18,4381 6,1075 6,7944 7,5304 8,3172 9,1564 10,0494 10,9979 12,0033 13,0671 !4 1910 15,3763 16 6246 17,9373 19,3159 20,7618 22,2766 23,8617 25,5184 27,2484 29,0529 30,9334 32,8914 34,9283 37,0454 39,2 443 41,5263 43,8928 46,3453 5,4880 6,0973 6,7500 7,4478 8,1920 8,9843 9,8260 10,7188 11,6640 12,6633 13,7180 14,8298 16,0000 17,2303 18,5220 19,8768 21,2960 22,7813 24,3340 25,9558 27,6480 29,4123 31,2500 33,1628 35,1520 37,2193 39,3660 41,5938 392 Глава ХШ.

Разные задачи вид ъъ в ф =1„(г) ) гэК„(г) в(г+ Къ (г) ) г!э)1ь(г) ъуг, (154) в о и решение, выраженное формулой (149), оказывается определенным до конца. По формулам (145) можно теперь определить Х и У =ЗК вЂ” Х. Получим 1,— (н+ъ))(н-ъ) гэф (г) в(г+ " г(ъъэъ))(ъъ-ъ)~ '(3 (и — 1)в,! 4(л+1) о )в-(ъъъ-ъ)'(и-ъ) ~ ~ г)ъф(г) чг 7 (и — 1)ъ о г(нчь))ъ! -ъ) ф(г)-) г!нщ)/! -ъ)~. (155) 3 (л — 1) 4(а+1) Для случая л= 2 (ч = 3,5 и 9 = 0,5) были выполнены вычисления по предыдущим формулам. Результаты вычислений приведены в табл. ХХХь). Для сравнения даны также значения У, вычисленные в первом приближении. Из таблицы видно, что второе приближение дает поправки поРЯдка 10о7о.

БИБЛИОГРАОИЧЕСКИВ ЗАМЕЧАНИЯ $88. Использованный в этом параграфе метод решения является новым. Решение той же задачи при рассеянии с угловой функцией ъоо(1+хсов0) можно найти в приложении !11. 6 89. Этот параграф представляет собой лишь первую попытку исследования задачи, требующей гораздо более внимательного н полного изучения. Вопросы, принадлежащие к тому же кругу идей, разбираются в следующих статьях: 1. Р ! а с г е 1ъ Съ., 8 е ! й е! %., РЬув. Реч., 72 (1947), 550. 2. Р1 а с х е К Съ., РЬуз. Печ., 72 (1947), 556. 3.

М а г К 1., Р!ъуа. )!еч., 72 (1947), 558. 4. М а г з Ь а К Е., РЬуз. Реч., 71 (1947), 688. 5. () а ч1 во и В., РЬуж реч„71 (1947), 694. 6. 1 е Са1пе Л., РЬук Ееч., 72 (1947), 564. Следует сослаться также на старые классические исследования: 7. %!епег )Ч., Нор1 Е., 8йх.-Вег. й. Ргеизз. АКай. РЬуа.-Ма!Ь. К!. (1931), 696. 8. Нор1 Е., Ма!Ьешайса! Ргоййешз о1 Еай!а!!че Ейи!11Ьг1аш, СашЬ))ййе, 1934. й 90. Диффузия задержанного излучения через газ как задача переноса лучистой энергии впервые была рассмотрена Мнлном. 9. М1 ! п е Е., з.

1опйоп Ма!Ьеш. Бос., 1 (1926), 40. В этой статье Милн вывел основные уравнения [уравн. (69) и (70)), ио затем сразу перешел к нх исследованию в приближении Шустера — Шварцшнльда Библиотрафичееяие замечания 393 (см. гл. П, 6 20). Общее исследование математической задачи, данное в тек- сте, является новым. Полученное в п. 90.4 решение в первом приближении по существу совпадает с решением Милна. Изучение той же физической задачи, только при несколько иных предпосылках дано в следующих статьях: 10.

Кенту С., Рпуг. Реч., 42 (1932), 823, 11. Но! з !е1п Т., РЬуз. Веч., 72 (1947), 1213. а 91. В атом параграфе изложение построено в соответствии со статьей; 12. С Ь а п й г а з е К Ь а г 8., Аз!горйуз. 1., 101 (1945), 95. См. также 13. 1) п 6 его!1! А., Ащгорйуз. Л., 107 (1948), 247. Более ранние работы, посвященные задаче лучистого переноса в атмосферах, обладающих сферической симметрией, принадлежат следующим авторам: 14. Мс С ге а )Ч., Моп. Но!. Воу. Аз!г, Бос., 88 (1928), 729.

15. К о з ы р е в Н. А, Моп. Хо!. коу. Ащг. Бос., 94 (!934), 430. 16. С Лап 6 газе К Ь а г 8., Моп. !чо!. Еоу. Аз!г. Бос., 94 (1934), 444. 17. О г а1! о п Е., 8ос. Аз!гоп. !гайапа, 10 (1937), 309. Позднее этим вопросом занимались следующие авторы: 18. В о ! Ь е )Ч., Яз. 1. Рйув., !19 (1942), 493.

19. МагзпаК В., РЬуя. Веч., 71 (1947), 443, 20. Р ! а с г еК О., Ч о ! К о !1 О., Хо!еа оп 1)!Йпз!оп о1 )чеп!топя тч!!Ьопг СЬапйе о! Епегйу, Ха!!опа! ВеяеагсЬ Сопле)1 о1 Сапайа, 1)!ч!з!оп о1 А!ош!с Епегйу, МТ вЂ” 4, СЬарл Речет, Опгагго (1943). 21. Р1а с те К О., Ч о!Ко!! О., Сапай!ап 1. о1 Везеагсй, А, 25 (1947), 276. 22.

А и б а р ц у м я н В. А., Бюллетень Ереванской Астрономической Обсерватории, УЧ) 6 (1945), 3. В статьях [18[ †[2 рзссмзтривается задача о переносе лучистой знергии в однородных сферах. Основное внимание направлено на бесконечные одно- родные сферы. Особо следует указать на статью В. А. Амбарцумяна [22[, в которой с помощью ряда остроумных преобразований задача о бесконечной однородной сфере приводится к задаче о плоско-параллельной среде.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 в 92. ИНТЕГРАЛЬНО-ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Интегрально-показательная функция л-го порядка Е„(х) для положительнего вещественного аргумента определяется формулой Е (х) = ) е-*' — = ) е- 'е~ "-' —. <1Г г ДИ 74 Гг Р (Мы ограничимся только положительным значением интеграла для и.) Определенные таким образом функции Е„(х) подчиняются рекуррент- ным формулам: лЕ„,(х)=е- — хЕ„(х) (и)~1), (2) Е,'(х) = — е-в/х. (3) Е,',м(х)= — Е (х) (п>1) и Первое из этих соотношений получится, если написать лЕв,~ (х) = — ~ е ег — 1 всН -хг ~ г (4) Е„(0) = ) — „= (л ) 1). в Часто приходитсв иметь дело с интегралом и проинтегрировать последнее выражение по частям.

Второе непосреяствеиио получается при дифференцировании первого. Полезным является также соотношение Е 92. Интесрально-нокаеательнме функции хс+с хс+ г ~хсЕн(х)с1х= + Ен(х)+( + + Ен,(х)+... + в хсо и Е +(С+ !) (!+2) ... (С+ и) с( )+(С+ !)(!+2) ...

(!+ и) ~ Х ~ х'+" 'е асах, (6) о Входящий сюда интеграл является элементарным. В соответствии с формулой (2) все интегрально-показательные функции могут быть приведены к первой интегрально-показательной функции Е,(х) = ~е-нс — = е! е с —. Ж г с' с и (7) Для болыпих значений х легко получить асимптотическое представление Е,(х). Именно, продолжая процесс Е,(х) = — е! „— (е ') — = — + ) — (е ') —,, гс( асс е н гс( о!с 3 с(с с х х Ж получим е хг 1 2 6 ,()= — „! — — „+ — — „-,+" 1 (8) При х=О функция Е,(х) имеет логарифмическую особенность, и соответствующее разложение в ряд может быть получено следующим образом: СО с Е,(х)= ~е ' — „+) е ' — = о(С ас! с Ж со 1 1 а = () е-' — — ) (1 — е-') — ~+ ) — + ) (1 — е-') —.

о н о Отсюда имеем -с с(с Е,(х)= — 7 — !пх+ ~ (1 — е-г) —, о (10) где 7 = 0,5772156... — постоянная Эйлера — Маскерони. Интеграл в выражении (10) может быть разложен при х-+0 в сводящийся Путем многократного интегрирования по частям и использования соот- ношения (3) приведем последний интеграл и виду 396 Приложение 1 ряд, в соответствии с чем получаем Е,(х) = — 7 — !пх+ ~1~~( — 1)" е —. е хн (11) Наряду с Е,(х) часто бывает полезно использовать функцию Е! (х) = [ ев — ( — со ( х ( + со). е[г (12! Для положительных значений аргумента интеграл (12) следует пони- мать в смысле главного значения Коши Е!(х)=!!ш ~ [ ев — + [ ее — ~ (х) 0). (14) й 93.

ФУНКЦИИ Р1(в, [в) В гл. Ч!11, $ 60 [соотн. (118)[ мы ввели функцию 1 Ра(е, р)=[в / —,~1 — ехр( — г( —,— — )Це![в', (15) е где у — целое число ) 1. Эта функция связана с интегрально-показательной функцией Е~. Введя новые переменные е = 1/[в и е' = 1/[ве, (16) получим другое выражение для этой функции СО Р1(т, е) = [ .

[1 — е-в!"-в![ не-' е'е (е' — е) 1 (17) Так как в е-е!в'-е! ле [1 е- !в'-в![ 1 к — е е (18) то формуле (17) можно придать вид Ов ~о Р (т, е) = ~ — ~ ейе е!и в> = [ иве егв — е-ев' в 3 (19) Для отрицательных значений аргумента Е1(х) с точностью до знака совпадает с Е,(х): Е!( — х)= — Е,(х) (х) О). (18) з УЗ.

Функции Р ро И! 397 откуда находим (21) в виде (о з) !!гп ~ ~ + ~ ~( )(1 евв-ввв)<язв е о-во и найдем после некоторых элементарных преобразований, что в-г -о Р,(т, з)= — ~ — !п(з — 1)+е"Е,(т)+!!по ( ) + Яе'е «~, (26) (27) Таким образом (см. соотн. (14)), Р (т, !в) !о~ !и(! 1)+е4аЕ,(т)+ Е!~ — — т)~(0<!в<1). (28) Аналогичным способом получим Р, ( о, 1) = 7+ !и -. + е'Е, (т). (29) в Рв'(т !в) = ~ ецаЕ Я ото. о Из соотношения (20) может быть получена пРи~одищаа Ра(т, !в) к Р, (т, !в). Так, из выражения ~ф(т1 р)= !А ~ Е1(!), евЬ,Ц о мы получаем, интегрируя по частям и применяя (3), (5) и (20), Р,(т, !в) = !в~Р.,(т, !в)+етвЕ~(т) — — ).

В соответствии с (22) достаточно рассмотреть только 1 Р,(т, !в)= ) — ",~1 — ехр( — т( —,— -Яо!!о'! (23) а причем, однако, следует различать случаи р <О, 0<р<1 и !в 1. При !в <О не встречается трудностей в приведении (23) к Е,(т). Получаем Р, (т, — !о) = !в ~!и (! + — ) — е-таЕ, (т) + Е, ( — + тЛ(р~ 0). (24) Вычисление интеграла (23) при 0< !в< 1 и !в=1 требует некоторого внимания. Так, рассматривая случай О < !в < 1, представим интеграл [см. соотн. (17)! Ш Рг(т, з)= — ) ( — — —,)(! — евв ™)в7з' (з)1) (26! в Приложение ! 398 й й4 ИНТЕГРАЛЫ бл (о) и бл ж(о) В гл.

ЧШ, п. 60.1 мы ввели интегралы 0л (т)=) Ел(т, — а) — „, 1 Оо о СО 0 ео(т)= ~ — ) е(ге — '"Ел(г)= ) гйЕл(()) — е " о или О., „, (т) = 1 Е„Е Е,л (() й. о (31 ) Аналогично 0„,„(т)= — ~ Ел())Е (т — ()~й=~ Ел(т — ()Е (()гй. (32) о о Из (31) и (32) видно, что 0л (о) и 0„л,(т) симметричны относительно» и лг; поэтому предположение, что г»)~ ».)~1, не приведет к уменьшению общности. Функцию 0„,„(т) можно выразить непосредственно через интегрально-показательные функции.

Характеристики

Список файлов книги