Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Эти коэффициенты представляются в виде /(о)о(в Л (о т), а(в. т) 1 л("'"'[ч(+ )гЗ/(М+3)[»' ,1(о т) ч1 1 1 (121) /(о) (о(в а(о,т) /с(о,т)ч соо /г(о'"') (с, + 1/'Огз) [л(о т)[о [., + 1/3/[ло+ 3) [ы ' $91. ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ В АТМОСФЕРАХ, ОБЛАДАЮШИХ СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ В втой книге мы ограничились задачами переноса излучения в плоско-параллельных атмосферах, главным образом имея в виду возможно более полное исследование и разъяснение роли основных принципов (таких, как принципы инварвантности) в теории переноса излучения; плоско-параллельная геометрия является наиболее подходвщей для этой цели. соз (О + /ет1) = 0 и Мп (О + /ет1) = О. (117) Уравнения (117) могут быть представлены также и в следующем виде (д Ат( = с(д О = ус 3//е Глава ХШ. Разные задачи р д' + д'" — хрг(г, р)+ — хр ] 1(г, р) гг]в'.
(122) -в После замены интегралов суммами уравнение (122) в л-м приближении переходит в систему 2а уравнений вида д! 1 +Рв~тд11 рв — + ( — / = — хртв+ аг г 1др4=,в + — хр ~ аД(1= 1, ..., -п), (123) 1 где обозначения имеют свой обычный смысл. Здесь сразу возникает вопрос о том, какие значения нужно придавать производным (д1/д]в)е-в в точках гауссовых делений, Этот вопрос имеет общее значение. Именно, гауссова и другие формулы квадратур устанавливаются с целью наиболее точного вычисления интегралов при заданном числе точек деления. Мы задаем по существу обратный вопрос, каковы аналогичные формулы для дифференцирования? Не рассматривая этот вопрос с более общей точки зрения, укажем, как можно освободиться от явного включения производных в уравнении (123). Пусть 1;]в (]в) = — ]Р~, (р) — Рв „(]в)] = Р] (р). (124) Отсюда следует, что дС)в — = — Р,(р) и ф(='-1) = О.
др (125) Рассмотрим теперь интеграл +г д "гв®а ~~' (~=' " 2"). -1 Интегрируя (126) по частям и используя (125), получаем (126) Развитые методы приближенного решении можно непосредственно распространить и на атмосферы, обладающие другими геометрическими свойствами. Однако не столь же просто выяснить, какими должны быть в этом случае общие принципы, которые играли бы ту же роль, что и принципы инвариантности в плоско-параллельных задачах. Тем не менее представляет интерес указать хотя бы на один пример применения приближенного метода решения, основанного на замене интегралов конечными суммами, к атмосферам, отличным от плоско-параллельных.
В качестве такого примера мы рассмотрим атмосферу, обладающую сферической симметрией н рассеивающую консервативно и нзо тропно. Уравнение переноса для такой атмосферы имеет вид [гл. 1, уравн. (136)] э 95 Перенос излучения в ат кос)1)ера.г +г (127) Заменяя интегралы в каждой части этого равенства соответствующими гауссовыми суммами, имеем +и .)- о аА)())е)(д 1 = ~~л асР)(рс)1с (1=1, ..., 2а).
(128) в=-в Ф )=-и 1)аы получили 2п уравнений для выражения производных в гауссовых точках деления через значения функций в тех же точках'). Уравнения (123) и (128) вместе дают возможность привести уравнения переноса к эквивалентной системе линейных уравнений в конечном приближении. Для того чтобы непосредственно найти решение, представляется удобным преобразовать эти уравнения следующим образом.
Умножив (123) на авР)(рв) н просуммировав по всем 1, получим „вЂ” у аси)Р)(рв)1)+ — у а Р)(ре)1) — — — хр у а)Р) (р ) 1с+ + — хр ~~„а111 ~~~~~авР)(и)) (1=1, ..., 2л) ). (129) Использовав известные выражения полиномов Лежандра, найдем, что уравнения (129) для 1=1, 2, 3 н 4 имеют вид а 2 ) — ~~~ а;и)1в+ — ) аср)1)+О, — 1 агр,)1)+- у а;(391 1)1, = — хр ~ а)ти)1о д жч в 4 'кт х — 1 акис(5р; — 1) 1е+ — у асрс (Зрс — 3) 1е = 5 сч х = — 3 хр у а;(Зр) — 1)1н — ~~> аср; (7р; — 3) 1; + — ~~ а; (359; — 30ис + 3) 1г = = — хр ~~1 агре(79; — 3) 1ь (130) ')3, еш)),)=О ) = )...., ). вня (128) нельзя использовать для выражения функций через производные. ) Систему уравнений, совершенно аналогичную написанной, можно иолучнть, разложив 1(г, и) в рхд вида хи-г 1(, н) =,~, — 2(2г+1)Р (н)Ф (р). 1 г=о Исследование показывает, что оба метода аналогичны друг другу во всех деталях, включая также н используемую рекуррентную формулу Глава ХШ.
Разные задачи где Го — постоЯннаЯ; это есть интегРал потока. СледУет также заметить, что в и-приближеиии ~ авРоа (/ьв) уо — — О, (132) так как по определению р, являются корнями Ре„()>). 91.1. Решение в первом приближении. В первом приближении мы рассмотрим два первых уравнения (130) и, помня, что а+ а „* 1 и р„= — и, =1/У'З, получим 1ГЗ Го (133) и — — (1 +! ) = — =(! — ! )= — — —, 1 >Г хр «а Ро 3 аг +~ ~ тГЗ +~ ~ 2 го Таким образом, (134) и у„т+у,— 2 Ро —,+сопа1, 3 г хр>/г го (135) где г = /с' есть радиус атмосферы. Постоянная интегрирования в урав" некии (135) может быть определена из условия ! , = 0 при г = /1').
Решение для функции источника принимает вид и >' Для бесконечно протяженной атмосферы следует потребовать, чтобы у+, и ! стремились к нулю при г -«со. Решение (136) для ! сведется тогда к следующему: у= — Го) = — Го) — > 3 Гхр>/ 3 Г >Го — 4 ).о=4 ! (137) т о где ч — радиальная оптическая толща, отсчитываемая от г = оо внутрь.
91.2. Уравнение для второго приближения. Во втором приближении мы рассмотрим все четыре уравнения (130); при этом в последьем из иих обращается в нуль член, содержащий 1/г, так как во втором приближении рв представляют собой нули Р,(р). т) 3 первом приближении удобнее положить у= Р/2 при г = Р; тогда при />о//то в (136) появляется вместо ТГЗ/4 множитель 1/2. Первое из уравнений (130) сразу же интегрируется и дает —, Р= Х а, «у, =-Р:-а, 1 1 2 (131) 3 УД Перенос излучения в ае4мосферах 389 Написав , е у ~3 иеуо Н 2 г а444474~ К= 2 ~г ае!4474 7.
= — т а4!4474 и М = — Г ае!4474, 2 ее4 (138) получим уравнения Н= —.Рог-Я; 35М вЂ” ЗОК+ЗУ= О, — + — (ЗК вЂ” з) = — хрН, 4!К ! Нг г а' 4 5 3 — (57. — Н) + — (51. — ЗН) = — — хр (ЗК вЂ” у ! г 3 — (?М вЂ” ЗК) = — хр (71. — ЗН). 44 лг (139) Если ввести величины Х= ЗК вЂ” У и У= 55 — ЗН, (149) г К = — з! — а4г — — го з! — й — — — Х = — — хр'г' гХ 1 гхр ФХ 2 7 4 о.~ ге ' 44г г 3 4е!' 4 5 Ге + У вЂ” — хрХ+ — '. аг г 3 гз ' (141) Эти уравнения вместе с интегралом потока Н= го/4ге представляют собой основные уравнения задачи во втором приближении.
91.3. Решение уравнений во втором приближении в случае хр е -«(и ) 1), Пусть хр = сг-" (л ) 1), (142) где с — постоянная. Оптическая толща т, отсчитываемая от г=сю внутрь, в этом случае равна т= ) арса=се-иев!(и — 1). Из соотношений (142) и (143) получаем хрг = (и — 1) т и т = Я/г)" (143) (144! то уравнения (139) примут более удобный вид. После элементарных преобразований получим Глаза ХУУ/. Разные задачи 390 где )с — радиус, при котором в=1. Используя соотношения (142)— (144) и измеряя интенсивность в единицах РвЯЯ, приводим уравне- ния (141) к виду К= "Х вЂ” + ч<п+тр(п '1, п — ! ! т 4(и+!) с аХ 2 7 — + ат (и — 1) т 3 Х= — У (145) (146) дУ 4 5, (в — и)/(и-1) 1'= — Х— (и — 1)т 3 п — 1 (147) 2(п+3) Х 35Х 7т ' ", (148) (и — !)вчв 9 3(и — !) которое после подстановки з=йч, й = )/ 35!3 = 1,9720 Х= ? ув-~~+в!тет-т!з(а+тля(п-т)ф (з) 3(и — !) (149) примет вид гв — +г — — (г +» )ф = — г авф т(Ф в " !+в Нзв дз (150) где п+5 3 — и 2(и — !) ! 2(п — 1) (151 ! Уравнение (150) есть уравнение Ломмеля для чисто мнимого аргумента ').
Решение етого уравнения имеет вид с, е ф = 7„(г) ~ я~К„(г) т(г+ К.,(г) ) я~У„(я) Нг, (152) где 1„(г) и К„(я) (в обозначениях Ватсона) — фундаментальные реше- ния уравнения Бесселя для чисто мнимого аргумента, а с, и с — не- которые произвольные постоянные. Пределы интегрирования в (152) могут быть определены следующим образом. т) См. %а!вон Ст., Ттевйве оп т!те Тйеоту о( Вевве! рвнс!!опв, СашЬт(дде, 1922, 5 !07. (Есть русский перевод.
См. В в т с он Г. (4., Теория Бесселевых функций, 34., !949. — Прттм, ред.) В уравнении (145) мы подобрали пределы интегрирования так, чтобы не придти к противоречию с тем условием, что в бесконечно протяженной атмосфере все величины должны обращаться в нуль при г = тмт, т = О. Исключив 1' нз уравнений (146) и (147), получим дифференциальное уравнение амХ 2 в(Х атв (п — !) в ат б 9П Перенос излучения в атмосферах 391 Прежде всего, так как ни одна из величин не должна стремиться к бесконечности по показательному закону при г-+ со, нужно потребовать, чтобы с, равнялась со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
