Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Сделанные замечания наводят на мысль о том, что полное исслевование связи между „псевдо-задачами" и физическими задачами Ы, в частности, связи между системой интегральных уравнений, полу ченных при формальном решении уравнения переноса, и более простыми уравнениями типа (22) прольет некоторый свет на основнуьй структуру теории переноса излучения, Система уравнений, определяющих з и К [гл. 1 уравнения (106) ьь (107)[, эквивалентна, таким образом, в некотором смысле одному уравнению (55).
Природа такой эквивалентности, впрочем, не совсем ясна. Главная причина гибкости интегральных уравнений, полученных нз принципов инвариантностн, становится теперь понятной: угловые распределения выходящих излучений могут быть сведены к Н-функциям, которые, как мы видим, связаны при помощи преобразования Лапласа с функциями источника более простыми, чем входящие в уравнение переноса. Характеристические функции % ([ь) определяют „псевдо-задачи" переноса, значительно более простые, чем исходные; тем не менее они дают нам основные функции, через которые выражаются решения физических задач.
Приведем пример. При исследовании задачи диффузного отражения и пропускания в случае угловой функции йе(1+хсозг)) (гл. Ч[, й 46 и гл. !Х, $65) было установлено, что решение для не зависящих от азимута членов содержит Н- или Х- н У-функции, для $ М Диффузия задержанного излучения сквозь газ 375 В 90. ДИФФУЗИЯ ЗАДЕРЖАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ СКВОЗЬ ГАЗ При исследовании задач переноса мы ограничивались до сих пор задачами, в которых поле излучения полагалось стационарным. В этом параграфе мы рассмо~рим первый пример связанной со временем задачи, возникающей при следуюньнх обстоятельствах. Предположим для конкретности, что слой паров ртути, освещавшийся с одной стороны Ртутной дугой в течение времени, достаточного для установления состояния равновесия, был внезапно изолирован от источника света.
Так как возбужденные атомы будут постепенно переходить в невозбужденное состояние (по истечении некоторой средней продолжительности жизни) излучая, то поле излучения в газе не прекратит своего существования одновременно с удалением источника освещения. Оно будет постепенно ослабевать, и задача состоит в том, чтобы исследовать процесс этого ослабевання.
При решении указанной задачи мы будем предползгать, что суще.твовавшее до удаления источника света устойчивое состояние является состоянием лучистого равновесия. Оно может быть описано моделью Шустера (гл. Х!1, Э 83), причем в газе будет иметь место определенный ход изменения плотности излученгя. Концентрация возбужденных атомов перед удалением источника света будет распределена в газе тзк же, как и плотность излучения [см. уравнения (69), (70) и (87)!. Процесс потери энергии возбуждения может быть вычислен с помощью коэффициентов поглощения и излучения Энштейна. Поле излучения будет иметь нестационарный характер, что нас н интересует. 90.1.
Уравнения задачи. Пусть индексы 1 и 2 обозначают соответственно нормальное н возбужденное состояния Рассматриваемых атомов. Коэффициентам Эпштейна Вмв А, и Вж мы будем придавать следующий смысл. В, У„есть вероятность, Рассчитанная на единицу времени, того, что атом, на который падает изотропное излучение интенсивности 1„г7ч, поглотит квант Ьи и пегейдет в состояние 2, Аз, — вероятность, расс"итанная на единицу времени, того, что атом в состоянии 2 самопроизвольно излучит квант 7ги и перейдет в состоиние 1, а Вг,/„ — веРоЯтность того, что этот атом совеРшит этот же переход под воздействием изотропного излучения 7„.
Определенные таким образом коэффициенты Энн:тейпа связаны между собой соотношениями Агг 2лие О, Вт Ч1 (58) Ввг = сг Ч,' гд- г7г и г)з — статистические веса состояний 1 н 2, а с — скорость света. Если и(ч) — атомный коэффициент поглощении для часзоты то Аи о (ь') г7ь' = В г —, (59) зтб Глаза ХчП. Разные задачи где интеграл распространяется на всю линию поглощения, соответствующую переходу 1 -+ 2. Мы представим приближенно соотношение (59) в виде Лч а (ч) Ьч = Вгч .
что эквивалентно предположению об однородности поглощения внутри линии, ширина которой равна Ьч. Пусть и, и и — числа атомов в единице объема в состояниях 1 и 2. л, н и. следует, конечно, рассматривать как изменяющиеся от точки к точке внутри газа и зависящие от времени. Подсчитывая усиление и ослабление пучка излучения на пути сЬ в газе, находим (см. гл. 1, 9 6) дчч — „' [нз(Аю+ Вз,ч'„) — л,В, У„) —, Йч (61) где величины, пропорциональные н и н„представляют число актов испускания и поглощения (в единицу времени) кванта Ь». Разделив обе части уравнения (61) на В, лч/4к и использовав (58) и (60), по- лучим / Д~ т 2ача ач — ' = — (л — л — ') 1.
+ —. — и . ада (, ' здч) ' с' ач (62) Это и есть уравнение переноса. Возвращаясь к условию лучистого равновесия, заметим, что число актов испускания, рассчитанное на единицу объема и на единицу времени, равно да лз ~ (Аю+ Вюуч) 4, (68) где интегрирование производится по поверхности сферы единичного радиуса. Соответствующее число актов поглощения равно , ~в„(„— ","'.
(64) Разделив обе части последнего уравнения на Вцн получим после некоторых преобразований ( ° ) а,'~ 2Ь»зач 2дчв ач дач адч) ' сз ач а сч ачАччдг' где Уа кзк обычно, обозначает среднюю интенсивность излучения Уравнения (62) и (66) были впервые выведены Милном.
Разность между числом поглощений и числом испусканий должна быть равна скорости возрастания числа атомов в возбужденном состоянии. Таким образом, (65) 6 Юд. Ли~Рфузия задержанного излучения сквозь гоз 377 В большинстве задач, представляющих практический интерес, мщкно пренебречь числом нз по сравнению с л,; поэтому последнее можно рассматривать как постоянное и не зависящее от времени.
В этом приближении уравнения (62) и (66) принимают вид сУ„2яче о, иг иге ив с" оч ог (67) Обозначив 2дчв д, иг М = — — ' — '-' сг ого1 (68) и измеряя время в единицах 1/Аз| (т. е. принимая за единицу среднюю продолжительность жизни в возбужденном состоянии), получаем уравнения 9 И Ид ™ ~ = У(1, ч, 9) — М(1, т) (69) и )+ дс (70) Здесь мы отбросили индекс ч, написали уравнения для плоско-параллельного слоя и ввели в слое нормальную оптическую толщу т.
В частной задаче о диффузии задержанного излучения сквозь плоско-параллельный слой оптической толщи 2-., ( — -., ~( т ~(+ т,), при условии что граница т=+т, освещалась излучением интенсивности У(0) до момента времени ~=0, а затем внезапно была изолирована от источника излучения, граничные условия для решения уравнений (69) и (70) принимают вид 7(1 ( ~ ) 7<о>) 1<О, О<й<1, ы (71) ) 1) О, 0 (р <1. (72) 7(с, +с„+9)=0) (~ — ты Эту граничную задачу мы и должны решить. 90.2. Общий метод решения. Граничная задача, сформулированная в конце и.
90.1, может быть решена способом, англогичным тому, которым пользуются при решении подобных граничных задач в теории теплопроводности, Сначала мы ищем ряд фундаментальных Решений уравнений (69) и (70), разделяющихся по переменным 1 и т и удовлетворяющих граничным условиям (72) при 1) О. Эти решеПия позволяют определить полную систему ортогонзльнмх функций 378 Глава ХУП. Разлмв забавсс 1(С, т й) — е — <в-пс,' ф(с >с) с 7 (>, т) = 1 е-"- '>"'" / ф ( , р) Ф = -<а -О с>'ф (т) (73) ><<(< т)=е-< '>П в(с> и удовлетворяющие граничным условиям (см. соотн. (72)! ф(+т„+>с)=ф( — -. > — >с)=0 (0(>с~(1). (74) В выражении (73) св) 1 есть некоторая постоянная, пока не определенная.
Следует заметить, что, записывая решение в форме (73), мы предполагали, что Гв) 1. (75) Строго говоря, это должно было бы обнаружиться при последующем анализе. Однако мы заранее сделали такое предположение, так как из физических соображений очевидно, что ни прн каких обстоятельствах поле излучения не может ослабевать быстрее, чем уменьшается количество возбужденных атомов, а за единицу времени мы приняли среднюю продолжительность жизни атомов в возбужденном состоянии. Для решений вида (73) уравнения (69) и (70) принимают вид =ф(-., >с) — т(т); ф(т)==в(с). (76) а>Ф( < > 1 Соответственно с этим мы должны выяснить, могут ли, и в каком случае, уравнения вида ~~„'"~ =ф( И вЂ” ф(т) ( >1) (77) иметь решения, удовлетворяющие граничным условиям (74).
Легко видеть, что при произвольных значенгях Гв задача имеет только триг виальное решение ф(т, >в) = О. Можно, однако, показать, что имеется бесчисленное множество значений св< > (ш = 1, 2, ..., со), для котов рых существуют нетривиальные решения ф<'в> (-, >с) и фвв>(т). Важное ц в настоящих обстоятельствах решающее свойство функций <<в'>(т) ф<в'>(с) в интервале ( — тд, +-.,), по которым можно разложить любую (непрерывную) функцию, определенную в интервале ( — т„+ с,).
Далее, рассматривая решение при < (О, мы замечаем, что ни одна из величин не зависит от времени и что условий (71) достаточно для однозначного определения решения. Решение У(>, т) †=(т) для < ~~ 0 представляется тогда в виде ряда по ф<'"> (т). С помощью такого разложения можно сразу же продолжить решение для У на с) О. Следуя описанному пути, найдем сначала решения уравнений (69) и (70), имеющие вид 4 й<>. Лыв>фузын задержанного излученык сквозь газ состоит в том, что онн образуют ортогональную систему в интервале ( — ч, + т1): ф<™м >(ч) ф<нн>(ч)а<т = 0 (нг, чь и,). (78) Ортогональносчь функций ф<ч'> (т) может быть доказана следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
