Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Уравнение переноса в виде (17) основано на предположении, что излучение состоит из двух составляющих: составляющей, обусловленной консервативным изотропнмм рассеянием с коэффициентом рассеяния о„, и составлшощей, обусловленной тепловым излучением и соответствии с законом Кирхгофа при коэффициенте поглощения х, Иногда бывает полезно обобщить уравнение (17) на случаи, когда часть теплового (кирхгофовского) излучения также связана с коэффициентом о„').
В этих случаях мы пишем Глава Х««, другие аетрофизичееиие задачи При таком представлении В„ уравнение переноса принимает вид 1ВП1 ~л — =« — — (1 — 1,) ~ «(«, и~)е1и~ — Л~В(о1+ «~, (24) -г где для удобства отброшены индексы з. 84.1. Решение уравнения переноса (24) в и-и приближении. В л-м приближении мы заменяем уравнение (24) системой линейных уравнений 1В и (25) где приняты обычные обозначения.
Однородная система, связанная с системой (25), была рассмотрена в гл. Ш, п. 26.1. Чтобы получить общее решение уравнений (25), остается только указать, что функции лвш У,=ВЮ1-)- («+1ее) («= — 1, ..., -~-л) (26) 1+ являются частными решениями этих уравнений. Таким образом, реше- ние интересующей нас задачи будет иметь внд 1+ еЧ 1 1+ И1а„1 ВО1 где «г„(и = 1, ..., л) — положительные корни характеристического уравнения и 1=(1 — Л) '~~ (28) 1 — Н«аа ' з=1 а 5е (и = 1, ..., и) суть и постоянных интегрирования, определяемых из граничных условий У е= О, (29) -.=О, «=1, ..., л.
84.2. Исключение постоянных и выражение решения в замкнутой форме. В задачах о переносе в полубесконечных плоскопараллельных атмосферах граничные условия, из которых определяются постоянные интегрирования, и закон углового распределения выходящего излучения почти всегда могут быть выражены через одну и ту же функцию. Так, в рассматриваемой задаче граничные условия и выходящее излучение У(0, и) могут быть представлены в видо. В(9;) =-0 («=1, ..., л) (301 4 ог.
Теория образования линий поглощения 343 ЛВП! 7(О, р)=,, В( — )), (31) где о (9) = 1)„а — р. + Ва 1+ ат) В(0) Ла!а Л Вп! (32) Имея в виду граничные условия (30), мы 'можем написать В(9)=( — 1)!а+1!г! ... )ги — ~'()ь — с), (зз) Еа=( — 1)н+'Й! ... Йи П " ( — — с) (а=1, ..., и). (34) Легко показать, что корни характеристического уравнения (28) подчиняются условию й, ... й„р, ... р„ = ~ГЛ !).
(35) Соотношение (ЗЗ) может быть поэтому приведено к виду В Ы = — Л"Н( — И Ь вЂ” с). (36) Чтобы определить постоянную с, поступим следующим образом. Прежде всего, положив р,=О в выражениях (32) и (36), получим и (37) а=1 Далее, вычислив ~~~,Е, в соответствии с формулой (34), будем иметь «=1 «=1 = ( — 1)"+1 )г! ... )гпу (0), (38) где г(я)=~~) " ( — — с)Й,(х). «=1 (39) 1) Это соотношение может быть установлено так же, как в гл.!И н Х (сиота. (36) н (58) соответственно), где с — постоянная, а Р()ь) и )т1(!ь) сохраняют свой обычный смысл [см. гл.
!И, 9 25, соотн. (54) и (55) и гл. Х, соотн. (55)!. Далее, согласно соотношениям (32) и (33), Глава ХП. Другие аетрофизичееиие задачи 344 Определенная таким образом функция у'(х) представляет собой полином степени (и — 1) от х, принимающий значения ( — — с )Р Яй) (40) при х=1/й„(а=1, ..., л). В соответствии с этим должно иметь место равенство ~ (х) = (х — с) Р (х) + й (х) (Ах + С), (41) где А и С вЂ” некоторые постоянные, которые могут быть определены из условия, что коэффициенты при ха+' и х" в правой части должны быть равны нулю.
Отсюда получим а Я А= и С= (~1г — ~ — +с) (42) т=1 «=г н, следовательно, У(0) =( — 1)а+' и, ...,гас+ „( ~ай.— ~~~ — + с) (43) еа а т=г е=! и (см. соотн. (35) и (38)) Е,= с (ГЛ+ ~1 — — ~~~ р~ — с. (44) Подставив последнее значение ~.'„Е, в формулу (37), найдем а а «=1 Я=1 (45) Наконец, подставив это значение с в (36), придем к выражению Это и есть искомое решение в замкнутой форме. 84.3. Переход к пределу.
Из теории Н-функцнл, развитой в елдой, следует, что точное выражение для интенсивности выходящего нзлу- Я П 5 (р) = — Л"Н( — й) ~й — ( —" — + ~ «вЂ” — ~~В йт)~. (46) в=в Формула (31), выражающая закон углового распределения выходящего излучения, принимает теперь вид и и У(0, р)= Н(р) (1г+ — ~ —,+ ~й — — ~~1 р~). (47) «=г Э 84. Теория образования линий новлощвния 345 чения в рассматриваемой задаче должно иметь вид л ВВп) 1+.ч ВШ) 1(О, р) = — Н(1)(р+ — 1,7-+д), (48) где Н()«) — решение уравнения Н® =1+ — (1 — Л) .Н(р) ~ бр ограниченное во всей полуплоскостн Я(в) ~~ О, и (49) 7) = 1!ш (~ — — ~ )«1). «=1 7'=1 (50) «7о = 1 (51) Н-функции, протабулированные в гл.
77' (табл. Х1), в равной степени применимы поэтому и в настоящей задаче. Чтобы до конца определить решение, нужно еще вычислить 7) по формуле (50). 84.4. Вычисление 11ш (~~'.,й,' — ~р)). Точное решение. Рас- 77+«7 «=! 1=1 смотрим функцию зЫ= ~„'", +1, (52) «=. ! где я„(а = 1, ..., л) — положител..ные корни характеристического уравнения (28), а 1,(а=1, ..., и) суть я постоянных, определяемых из условия з(р; = 0 (! = 1, ..., и). (53) ) Отсюда следует, что (см. соотн, (35)! ,()=( 1) й, ...
й, — =ЛчН( —,.). рь) "А'(в) Кроме того, согласно (52) и (54), — В«(1(й„) (54) (55) Рассмотрим теперь сумму ~~ й„=( ) 1 ' ' ' 7! сГ В«(!/й«) л« (56) «=1 Таким образом, точные Н-функции, характеризующие задачу образования линий поглощения, совпадают с Н-функциямн задачи диффузного отражения полубесконечной плоско-параллельной атмосферой при альбедо 346 Глаза Хгд 11руеие аетрофизичеевие задачи Легко видеть, что суммирование в правой части представляет собой частный случай (е = 0) суммирования, выполненного в п. 84.2 (соотн.
(38)). Имеем поэтому (см. соотн. (43)) в в в Х вЂ” ';=1 — Хк. (57) Так как з (р,,) = 0 (! = 1, ..., л), то суммирование в формуле (58) можно распространить и на отрипательные значения е: Ха!~!ге( р!) = Х аФез( р!). (59) Подставим в последнее равенство выражение з( — 9,) по формуле (52). При этом получим ев в +в в ) перез( — р!) = ~~~ иере(~~Л " + 1) = «аере « —" —, (60) е=! е= — в «=! е= — в «=-! или, изменив порядок суммирования, получим ~~!!чрез( — ~ е)= ~~~~1, ~„"е~' = « —" «„ае(1 — ). (61) е=! «=! е= — в «=! Е= — в Используя уравнение, определяющее характеристические корин (соотн. (28)), и помня, что ~~~~~а! — — 2, получаем в в гг -ч аг!«ез ( — и!) = — (2 — — ) вув —" = — — э — ", (62) 1 — л)Аа,= 1 — лАл,' е=! «=! «=! откуда (см.
соотн. (54) и (57)) следует в ~)„аеиеН(р!) = ( « — — ~~ гг!), (63) илн 1 — Л «ч 2 'ИГЛ аы У,рчн(ре). !«! (64) Но отношение 7„/7е„может быть выражено такмее через Н(и). Рассмотрим ~ ае1«ез ( — йе). (58) е«! Ю 84. Теория образования линий логлои(ения Перейдем теперь к пределу при н-+со. При этом Н(9)-функции обрагцаются в решение уравнения (49), ограниченное в полуплоскости )7(я))~0, и н и 1 Иш (~ — — ~) )07)= ' ) Н()е)(ее)() ==а,. (65) а=1 1=1 0 Точное решение для 7(0, (е) принимает, таким образом, вид у (о 84.6. Точные формулы для остаточной интенсивности.
Таблица моментов фуннции Н(р). Мы найдем выражение для интенсивности Урмии (О, ()) в непрерывном спектре, если положим Л-+1 и о-ьО. В пределе получим Н01) ~ 1 (Л = 1) (67) и В(0) (68) [Это решение для случая Л= 1 может быть, разумеется, получено непосредственно из (24).] Остаточная интенсивность г в линии имеет вид л% и О.) Г 1+ еч В(') 1 — л 1+ее р.+В(~))В(~) ~ Л В(1) 2 )гЛ ) Далее, согласно (66), выходящий поток оказывается равным Г(0)= — В ) ав+ — а +='а)), (70) 2Л И СО Г 1+ еЧ В(0) 1 — ).
0Л 1+ еЧ в ). В(') 2 ~ГЛ где ав — второй момент функции Н(()). Остаточная интенсивность )т' в выходящем потоке имеет поэтому вид Л% ( 1+ел В(0) 1 Л 0) 17 = (а + — а,+ ' а)). (71) (и п)~ л Вп) 2 Тгл Чтобы упростить использование решений (66), (69) н (70), мы даем ниже таблицу первого и второго моментов функции Н(р) для различных значений )..
Вычисленное изменение остаточной интенсивности г((е) как функции Л иллюстрируется табл. ХХХ1Ч, в которой даны значения г в центре диска (()= 1) для случая 0=-0 и В(0))'В(1)= 2)3. для срав"ения приведены также оста)очные интенсивности в выходяп(ем потоке (снова для случая е =- 0 и В')В 1') =- 2!3), 348 Глава ХП. Другие асжрофизические задачи Таблица ХХХП! Первый и второй моменты функции Н (р) Первый момент Первый момент Второй момент Второй момент и, 0,7 0,3 Т а б л и ц а Х ХХ1 т' Остаточные' интенсивности в центре диска (9 =1) и в выходящем потоке в = 0 н В(в)/В('1 = 2/3 г (1) $85.
УМЕНЬШЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ МНОГОКРАТНОМ КОМПТОНОВСКОМ РАССЕЯНИИ Хорошо известно, что когда квант света рассеивается на свободном электроне (покоящемся), длина его волны увеличивается на величину 8Г = — (1 — соз И), л тс (72) где чт — угол рассеяния, й — постоянная Г!ланка, гп — масса электрона и с в скорость света. В связи с этим в теории переноса излучения возникает задача о том, как изменяется вследствие многократного нолептоновсного рассеяния излучение некоторой длины волнй при прохождении сквозь атмосферу, состоящую из свободных электронов. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1.0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,500000 0,515609 0,533154 0,553123 0,576210 0,603495 0,636636 0,678674 1,0000 0,9390 0,8766 0,8124 0,7458 0,6760 0,6018 0,333333 0,344357 0,356787 0,370985 0,387466 0,407030 0,430922 0,461423 1,0000 0,9481 0,8939 0,8369 0,7762 0,7109 0,6391 0,8 0,85 0,90 0,925 0,950 0,975 1,000 0,3 0,2 0,15 0,10 0,075 0,050 0,025 0 0,2 0,15 0,10 0,075 0,050 0,025 0 0,735808 0,774376 0,8253 ГВ 0,858734 0,901864 0,964471 1,154701 0,5208 0,4281 0,3746 0,3104 0,2722 0,2264 0,1650 0 0,503218 0,531645 0,569449 0,594404 0,626785 0,674134 0,820352 0,5580 0,4616 0,4036 0,3340 0,2919 0,2412 0,1735 0 э 85.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
