Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 82

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 82)

е. те особые точки, которые являются центром некоторого, достаточно малого круга, в котором нет других особых точек функции. Вблизи такой точки аналитическая функция может быть разложена в ряд Лорана с кольцом сходимости, у которого внутренняя окружность вырождается в точку. Если разложение (13) 5 3 содержит конечное число членов с отрицательными степенями (г — Ь)'1, т. е. имеет вид то в точке Ь функция имеет полюс А1-го порядка.

Если же ряд отрицательных степеней в лорановском разложении бесконечен, то точка Ь называется существенно особой точкой функции. В качестве примера рассмотрим функцию ! е — 1 е ет — 1' (2) При г — --2я!ич (и = О, ~ 1, ~ 2, ...) числитель дроби аналитичен и отличен от нуля, а знаменатель обращается в нуль. Таким образом, в точках г = О, !- 2ят, -~ 4 ! и т. д. функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы). Далее, при г = 1 знаменатель аналитичен, а числитель имеет изолированную особую точку, в которой он представляется рядом — 1 1 Вл с П Если разложение в точке Ь совсем не содержит членов сотрицат ельными степенямн (е — Ь), то этот ряд есть ряд Тейлора и функция аналитична в точке Ь.

поэтому и все разложение функции (2) будет содержать бесконечное число членов с отрицательными степенями (г — 1), поэтому функция (2) при г = — 1 имеет существенно особую точку. Аналитические функции с изолированными особыми точками можно классифицировать по типу и расположению в комплексной плоскости их особых точек. Прежде всего покажем, что функция, которая не имеет никаких особенностей (в том числе и в точке з — ), равна постоянной величине. Более точно это утверждение, называемое теоремой Лиувилля, формулируется так: если Г(г) — аналитическая функция при всех значениях г и ~Г" (г)~ <М для всех г, где М вЂ” некоторое положительное число, то Г(г) является постоянной. Действительно, оценим производную Г' (г), определенную согласно формуле (12) Е 2 как ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФРИКЦИИ И ЕЕ НРИЛОжЕНИИ бйб где контур С выбран в виде окружности радиуса тс с центром в точке г. Имеем оценку таким образом, Так как функция Т(г) аналитична и ограничена во всей плоскости, то радиус окружности )т может быть выбран сколь угодно большим.

Устремляя гс-ь, получим, что )'(г)= — 0 при всех г, т. е. ~'(г) является постоянной. Таким образом, все нетривиальные аналитические функции обязательно имеют особые точки (возможно, на бесконечности). Рассуждениями, аналогичными приведенным при доказательстве теоремы Лиувилля, можно показать, что единственной функцией, аналитической при всех конечных значениях г и возрастающей не быстрее, чем ~ г( при г -ь , является многочлен степени ~( лт, Многочлены являются частным случаем целых функций, т. е. функций, аналитических при всех конечных г. Например, часто встречающимися целыми функциями являются ег, з)п г, соз г, г'„(г)/г' имногие другие. Все эти функции не имеют особых точек прн конечных г, а в бесконечно удаленной точке имеют существенную особенность (это лег! ко показать, введя новую переменную г' = —, и разлагая упомянутые функции в ряд Лорана вблизи точки г' = О).

Далее, функции, единственными особыми точками которых в любой конечной части комплексной плоскости является конечное число полюсов, образуют класс м е р о м о р ф н ы х функций. Нетрудно показать, что единственной мероморфной функцией, не имеющей никаких особых точек, кроме конечного числа полюсов, включая и бесконечно удаленную точку г = , является рациональная функция, т. е. функция, представляющая отношение двух многочлепов. Примерами трансцендентных мероморфных функций являются 1д г (простые полюсы лежат на действительной оси в точках (зг + т! ) к, и;; О, тн 1, ... 1, Г (г) П (простые полюсы в точках г = — и, и = О, 1, 2, ...) и вообще ыпг отношениелюбыхдвухцелыхфункций(1дг =- н т.

д., при этом нули соз г целой функции, стоящей в знаменателе, являются полюсами соответствующей мероморфной функции) . Итак, по характеру особых точек и их расположению в комплексной плоскости однозначные аналитические функции, имеющие изолированные особые точки, могут быть подразделены на следующие классы: а) функция не имеет никаких особых точек — это постоянная; и Функция Г (г), как известно, может быть определена при нег>0 интегралом ОР е 'И ток о бЗЕ Глава пягиадцахая б) функции, единственная особая точка которых расположена в бесконечности, — это класс целых функций.

Частный случай целых функций, единственная особая точка которых при ~г~ -а является полюсом и-го порядка, представляет многочлен п-й степени относительно г; в) функции мероморфные, которые при всех конечных ~г~ не имеют никаких особенностей, кроме полюсов. Если бесконечно удаленная точка ие является существенно особой, то в этом частном случае имеем простейшую мероморфную функцию — рациональную, т. е. отношение двух полиномов. Кроме перечисленных классов однозначных функций, имеющих изолированные особзяе точки — полюсы и существенно особые, в приложениях столь же часто встречаются многозначные функции, которые имеют специфические неизолированные особенности, так называемые точки ветвления.

При обходе по некоторому контуру вокруг такой точки функция приобретает значение. отличное от исходного. Рассмотрим, например, функцию 1/ г . При обходе точки г = О вдоль окружности с центром в этой точке и радиусом и значение функ ции ~l г = )Г и и' ~ изменяется от р' и при 0 = О до — )Г и при 0 = 2я. Таким образом, точка г = О является точкой ветвления функции )Г г Аналогичными рассуждениями легко убедиться, что точка г = также является точкой ветвления функции )л г . Вообще, точки ветвления существуют всегда попарно.

Многозначность функции может быть устранена, если ограничиться некоторой частичной областью ее определения. Тогда можно сказать, что в этой области определена ветвь функции. Например, для функции 1 — зв г совокупность значений, определенная формулой 1 и е при — и < 0 < и, является ветвью функции в области, которая получается из всей плоскости разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси от точки г = О до г =, являющихся точками ветвления этой функ- 1 — ав — 2 ции.

Совокупность значений, заданных формулой — р' и е, будет другой ветвью функции в той же области. Рассмотренная функция )Г г имеет две ветви'>. Аналогично получаем, что функция г", где — „— рациональное вещественное число, имеет п ветвей, если дробь — не сокращается. Из функций, имеющих точки ветвления бесконечного порядка, наиболее важной является 1пг. Бесконечное множество его ветвей определяется формулой 1п г + 1 (О + 2 я и) ( — я<0<я).

Каждое и = О, 1, 2, ... дает ветвь 1пг. Точки ветвления г = О и г = Если определить функцию га, где а — иррационально, как и'1"', то, зная свойства функции 1пг, нетрудно убедиться, что функция г будет иметь бесконечно много ветвей. П Число ветвей функции не зависит от способа проведения разрезов, соединяющих точки ветвления.

элементы теории «(нллитических эункиил и ее прилол(гния бзт С наличием у функции точек ветвления связан вопрос о возможности ее единственного аналитического продолжения, если первоначальное определение функции имеет смысл лишь в ограниченной части комплексной плоскости.

Например, степенной ряд 1+ г+ г'+ непосредственно определяет функцию — лишь внутри круга (г~(1, а ин- 1 теграл Рис. 15.6. Схема построения степенного ряда для аналитического продолжения функции 1(«) О« е — «и — «) ах о определяет ту же функцию, но уже во всей полуплоскости Ке г ( 1. Возникает вопрос о способах выполнения аналитического продолжения функции, заданной первоначально в некоторой части комплексной плоскости, а также об условиях, когда процесс аналитического продолжения будет давать единственный результат'. Если, например функция задана степенным рядом с конечным радиусом сходимости, то, по крайней мере, теоретически процесс аналитического продолжения может быть выполнен с помощью следующего построения. Пусть функция т" (г) в точке г, задана степенным рядом с радиусом сходимости )с„ равным расстоянию до ближайшей от г,— особой точки функции т" (г).

Тогда в любой точке (обозначим ее г,), лежащей внутри круга сходимости (г — г, ~()со и отличной от г„также можно вычислить все производные и построить ряд (рис. 15.6) то все точки, определяемые уравнением ге = 1, также будут особыми. с некоторым радиусом сходимости )ст, равным расстоянию от г, до бли- жайшей особой точки, которая, вообще говоря, отлична от упоминав- шейся ранее. Строя теперь степенной ряд с центром в некоторой точке круга )г — г,((гст и т. д., можно получить значение функции т(г) во всей комплексной плоскости. Однако, как видно из приведенных рас- суждений, процесс аналитического продолжения был бы неприменим, если особые точки плотно заполняют границу первоначальной области определения.

Характеристики

Список файлов книги