Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

дг =- — 1 —, получим, что интеграл (16) равен г ' тегралу по единичной окружности: соз0 = 2 и еИ= следующему контурному нн- (г — 1)г 2Ь Г 2а ге( ге + г + ') где функция Г(соз Ь, з(п Ь) — рациональная функция от своих аргументов созй и з(об. Для вычисления интегралов этого типа следует выразить по формуле Эйлера сова и з)пй через комплексную переменную г= = е", после чего интеграл (15) преобразуется в контурный интеграл по окружности единичного радиуса.

Этот контурный интеграл по теореме о вычетах выражается через сумму вычетов относительно особых точек, лежащих внутри единичного круга. В качестве примера вычислим интеграл гх элнмннты теории Анллитичнских функиии и нн приложиния 548 Поды нтегральное выражение в этом интеграле имеет особые точки: полюс второго порядка в точке г =О, простой полюс в точке г = 1/ат — Ьт — а ь и еще один просто" и и' ат — Ь'+а полюс в точке г =— Внутри единичного круга лежат лишь первые две из трех особых точек (так как — ) !). Вычет в точке г = 0 ь 2а, )/а' — Ь' — а равен — — ' а в точке г= ь ь ат равен 2 ~у —,, — 1.

Получаем Рис. 18. 1О. Контур для вычисления интегралов типа (18) с точной ветвле. ния г=о Мп' О ~8 ~к (г' — 1)г а+ Ь сов,ь 2Ь 1 а г' г'+2 — г+ 1 ) Перейдем теперь к случаю, когда вычисление вещественного интеграла приводится к вычислению контурного интеграла от м но го з н а чн ой функции. Рассмотрим интеграл ) хв-' 7(х)с(х, о (17) где т(г) — рациональная функция, не имеющая полюсов на положительной части вещественной оси„1г — веществ нное число и хв 7(х) —. 0 при х-т.О и при х-в . Для вычисления интеграла (17) введем контурный интеграл ) ( — г)"-1 Дг)пг, с (18) где С вЂ” замкнутый контур, изображенный на рис.

15. 10. Подынтегральное выражение в (18) представляет собой многозначную функцию из-за наличия множителя ( — г)в — ', если г не является целым числом. Чтобы сделать функцию однозначной, на рис. 15.10 проведен разрез вдоль положительной оси, соединяющий точки ветвления г = 0 и г = . В разрезанной таким образом комплексной плоскости подынтегральная функция будет уже однозначной и остается лишь зафиксировать выбор определенной ветви этой функции. Для этого условимся, например, что на верхнем берегу разреза, на котором г положительно, аргумент отрицательной величины — г будет — я.

При обходе вокруг начала координат ПрОтИВ ЧаСОВОй СтрЕЛКИ аОГуМЕНт ПОЛуЧаЕт ПрИращЕНИЕ 2н И, СЛЕдОВательно, на нижнем бгрегу разреза, на который мы перешли, совершив обход точки г = О, аргумент — г будет — и+ 2я = н. Таким образом„ имеем, что — г = ие — ' на верхнем бгрегу разреза и — г = ивы — на нижнем берегу, где и — модуль г.

Тепгрь имеем для интеграла (18), запи- Глава пятнадцатая сывая его соответственно в виде суммы интегралов по верхнему и нижнему берегам разреза и по малой и большой окружностям: и Я )р ( — г) а — ' дг)е[г = 1р е — "р!' — '! и!" — ' ((и)с[и — )р етеь" — '! ир — ' ди)с[и+ с р р + )р ( — г)р †' дг) с[г+ ( ( — г)е †' ((г)е[г = ср сг = 2а1 . ~~~~ ~[ вычетов функции ( — г)!' — ' Г(г) ~относительно полюсов функции Г(г) (19) С помощью простых оценок нетрудно показать, что интеграл 1 ( — г)р — рГ(г)е[г обращается в нуль при р-+ О, ввиду условия г!" Г(г) — рО ср при г-вО; интеграл 1" ( — г)в — рГ(г)е[г, в свою очередь, исчезает при Я-. са так как г!" Г(г) -э 0 при г -и .

Таким образом, формула (19) примет вид е 0 — е — ! а ~ иа ' [(и)с[и + ерео ~ и!' — р[(и)е[и == 2я!' В [вычетов...), о о или окончательно (возвращаясь к прежнему обозначению для перемен- ной интегрирования) имеем ~![вычетов функции ( — г)" — !Г(г) ~ 1' = '-'[ мп . ~-'[относительно полюсов дг) о В качестве простого примера вычислим интеграл !е — 1 Нх (О < р. < 2), о удовлетворяющий всем условиям применимости формулы (20).

Подынтегральная функция Г(г) =, 1, кроме точки ветвления при г = О, ( — е)а ! ! е имеет простые полюсы в точках г = ! и г = — ! с вычетами 2 и е г соответственно. По формуле (20) имеем ОЪ 1" .= .( '+ о — ! — ! — ! х! „а ( е г !+хе Мана о а Ка Я та соз — ' = — созес — ' Мппа 2 2 2 (21) Теперь, ввиду особого значения теории вычетов для задач теплопроводности„на ряде примеров проиллюстрируем применение ее для вычисления специального класса контурных интегралов, связанных с обращением интегрального преобразования Лапласа, т.

е. к вычислению ЭЛЕМЕНТБ! ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 545 Рис. 1б. 11. Контур для вычис- ления обратного преобразования Лапласа от однозначных функ- ций Рис. 15. 12. Контур для вычисления обратного преобразования Лапласа от функций, имеющих точки ветвления г=о иг=оо (22) а — Пч где а — действительное число такое, что прямая тсез= а лежит правее особых точек функции Р(з).

1. Пусть Р(з) =,+Ь (Ь> 0). Единственная особая точка Р(з) — это простой полюс в точке з = = — Ь. Для вычисления Т(т) рассмотрим интеграл )г Р(з)еззг(з с по контуру С, изображенному на рис. 15.11 и состоящему из отрезка мнимой оси и левой полуокружиости Са радиуса )т. Вычет подынтеге" ральной функции ь в точке з = — Ь равен е — ь. Следовательно, а+га е" 1 е'" Г е" — да= ) дз+) а+Ь ) а+Ь ~ а+Ь лз 2п(Е-Ьо с а — га с -, а тч (23) Устремим )с-+, тогда интеграл по отрезку мнимой оси перейдет в искомый интеграл (22), а интеграл по полуокружности обратится в нуль согласно лемме )(хордана. Окончательна, из (23) следует а+Газ 1 Г т(т) = гк1,) а -1- ь г(з (24) з/з 19 Заказ № ачо функции Т(т), заданной в интервале т > О, по ее изображению Р(з).

Итак, будем вычислять контурный интеграл 546 Глава пятнадцатая 1 2. Р(з) = . Особые точки: простой полюс при з = Ь' и точ)/а (з — Ьз) ка ветвления при з = О. Рассмотрим интеграл 1 ~ е" е(з ~ )/з (з — Ьз) с (25) по контуру С, показанному на рис. 15.12. Комплексная плоскость з разрезана вдоль отрицательной части вещественной оси, чтобы выделить в подынтегральной функции однозначную ветвь. Внутри контура С, состоящего из отрезка, параллельного мнимой оси, левой полуокружности Сю верхнего и нижнего берегов разреза и малой окружности С,с центром в точке з = О, имеется одна особая точка — полюс з = Ь' с вычееб» том ь .

Интеграл (25) представим в виде а+ба зт б'т 1 3 2тн д )/з (з Ьз) Ь ти д )/з (з — Ьз) с а — бн 1 ~ е" 1 ( е'" + —.) б.+ . 1 Ь— 2и) д )/з (з Ьз) 2з( д )/з (з Ьз) с ср,/ я и 1 е и'ли 1 ~ е вди +— 21и й )/и ер /з(и ) Ьа) 2п),) )/и е "'М(и ( Ьз) ' р р (26) где в двух последних интегралах было положено з = ие' — на верхнем берегу разреза и з = ие —" — на нижнем. При рс-и интеграл по Ся, согласно лемме /Кордана, обращается в нуль. Оценим интеграл по С, при р-+О, полагая з = ребр: р о 2а(,) )/3 (3 Ьз) р о 2т) .) )/ еРр/з( езр Ьз) ср р е Теперь (26) запишется в виде «) бе = Г(т) + — ) б(и.

Ь " 3 )/и (и+ Ьз) о (27) Последний интеграл может быть выражен через интеграл вероятности. Введем для этого новую переменную и = гз, имеем 2 Г е о Функция 7(т) удовлетворяет, как нетрудно убедиться непосредственной проверкой, дифференциальному уравнению ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФРНКТ(ИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 547 1 при условии 1(О) = —. Решение этого уравнения имеет вид ь ' ьУ еь " еь " 2 ()- о Окончательно формула (27) запишется ь* Т(~) = „ег! (Ь)l с ). (28) — ьУс 3. Р(з) = с . Особая точка — точка ветвления при з = О. Контур тот же, что и в предыдущем примере.

Так как внутри этого контура с разрезом функция Р(з) не имеет особых точек, то 1 — ьУс +и с(з = О. с (29) Легко проверить, что интегралы по левой полуокружности при )т-и и по малой окружности с центром в точке з = О при р-иО исчезают. Равенство (29) можно переписать теперь ввиде суммы интегралов вдоль мнимой осн, один из которых равен Т(т), другие определяются по берегам разрезов. Полагая на верхнем берегу разреза з = ие', а на нижнем з =- ие — ", имеем СО со — ььу и — и Мти — ии 1'(с) + . ) с!и+ —. ) с(и = — О, 1 1" с 2 1,);)҄— 2иь',);)Т„ о о т.

е. о (3О) Чтобы вычислить этот интеграл, введем новую переменную интегриро- вания г = )' и, тогда 0 +аи + и т(с) = — ) е '* созЬгс(г = — ~ е — '*'сов Ьгс(г =- — ) е — '*'+"'дг; 2 1 Г Г о — СО ОЭ и 1Ь полагая здесь г = = + —, получим )Т 2с ь~ — — + о е — "' с(х ьз е 1 Пс) =— (31) 4. Р(з) =!и . Функция !п имеет точки ветвления при с+о о+о з = — р и з = — ос.

Бесконечно удаленная точка не является точкой ветвления. Действительно, если описать замкнутый контур, обходящий вокруг обеих точек — р и — а в положительном направлении, то 1п(з + р) и !п (з + о) получают одно и то же слагаемое 2ссь', а разность 1п(з + р)— — !п(з+ ч) Р(з) не изменится. Таким образом, функция Р(з) будет од1Ви Глава ллтиадяатая 548 нозначна в плоскости с разрезом, соединяющим точки а = — р и а = — а. Для вычисления оригинала г(а) рассмотрим интеграл по контуру, изображенному ни рис. 15.13. В области, ограниченной этим контуром, функция г" (з) однозначна и не имеет особых точек, следовательно, интеграл по этому контуру, состоящему из отрезка мнимой оси, левой полуокружности и верхнего и нижнего берегов разреза, соединяющего точки — р и — а, равен нулю.

Характеристики

Список файлов книги