Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Но так как большинство интегралов, встречающихся на практике, не вычисляются в конечном виде, то особое значение имеют различные методы асимптотических оценок; некоторые из этих методов также приведены здесь. Весь материал, содержащийся в главе, излагается возможно более элементарно и доступно.
За дополнительными сведениями и строгими доказательствами читателю следует обратиться к специальным руководствам [38а, 25а]. $4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим функции комплексного переменного г = х + [у. Как известно, такая переменная может быть изображена двумерным вектором, имеющим компоненты х и у вдоль соответствующих координатных осей. длина этого вектора — модуль комплексного числа — равна )Гхз-[- у', а угол с положительным направлением оси х отсчитывается против направления вращения часовой стрелки и равняется агс[ду!х.
Если известен закон, по которому, задавая значение переменной г, можно определить одно или совокупность значений другой комплексной переменной ш, то говорят, что задана функция ш =- Г (г), однозначная или многозначная соответственно. Совокупность значений, которые принимает независимая переменная г, называется областью определения функции.
Задание функции комплексного переменного и =- ~ (з) равносильно заданию двух функций действительного переменного и = — и+ (о, где и = и (х, у) и о =- о (х, у). 524 Глава лятяадпатая Приведем несколько простейших примеров функций комплексного переменного и = г' = хз — у' + 2(ху; сп=гг=ха+ ум). се = е' = е' (соз у + 1 з!и у); се = )l г.
Из всех функций комплексного переменного оказывается целесообразным выделить довольно узкий класс функций, называемых аналитическими. Аналитические функции можно определить, если рассмотреть производную функции ~ (г) в некоторой точке г. Производная определяется как предел отношения У (го + Л г) — Р (го) при ььг -ь О, если этот предел существует. Однако, в отличие от функции действительного переменного Г (х), здесь приращение Ь г = Ь х+ Иу представляет собой вектор и может стремиться к нулю самыми разнообразными способами.
Можно, например, положить ьь у = О, а потом переходить к пределу ЬхьО вдоль действительной оси и т. д. Если однозначная функция )". (г) = и+ (и имеет производную в точке г и эта производная определяется единственным образом, т. е. не зависит от способа перехода к пределу Ьг -о О, то такая функция называется аналитической в точке го. Выведем условия, с помощью которых в каждом отдельном случае можно установить, является ли функция аналитической в какой-либо точке.
Для этого выпишем подробно определение производной: у ° 1 Ч (го + Л г) — У (гоИ (г) =!пп ьг О Лг (Ф й)" Ф вЂ” ':)" < = 1пп ьх О, Лх+гау ьу О Перепишем формулу (1) в следующем виде: ью,. ди .Лу ду ду ди . до +ь дк дк — +ь дх дх (2) ~' (г) = 1!пт ьх О 1+ь— Лх ьа О Зависимость производной )"' (г) от направления, по которому она вычисляется, определяется отношением Ь уИ х, которое и обозначает тангенс угла наклона вектора ьь г. Этой зависимости не будет только тогда, когда знаменатель формулы (2) и сомножитель числителя, заклю- П Комплексно-сопряженную величину будем обозначать чертой сверху.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 525 ченный в квадратные скобки, равны между собой, т. е. если выполняется равенство до ду ди дх + ди ду до дх Приравнивая друг другу в последнем равенстве вещественные части, а затем мнимые, получаем до ду ' до дх ' ди дх (4) ди Эти условия, необходимые для того, чтобы функция Т (г) была аналитической в некоторой точке, называются условиями Коши — Рим а н а.
Эти условия не только необходимы, но и достаточны, если проди ди до до изводные —, —, —, — непрерывны в рассматриваемой точке. дх ' ду ' дх ' ду Точки, в которых условие (4) не выполняется, называются особыми точками функции. Например, у функции Т (г) = 1/г не существует производной в точке г =- О. У функции Т (г) = — 1'г — 1 такой точкой, как легко проверить, является точка г = 1, где соответствующая производная обращается в бесконечность, а функция )' (г) = г г неаналитична повсюду. Е 2.
КОНТУРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Пусть иа некоторой кривой С (рис 15.1) задана функция комплексного переменного Г (г). Разобьем контур С на конечное число участков с концами (г, гт],..., [го, гь„],..., (г„„г„] и т. д. Обозначая через произвольную точку на й-м участке, составим, по аналогии с теорией интегралов от функций действительного переменного, сумму ) Т"(г) а1г. с (2) Если функция Т (г) кусочно-непрерывна, а контур С можно составить из непрерывно примыкающих друг к другу дуг, имеющих непрерывно изменяющуюся касательную (кусочно-гладкий контур), то интеграл (2) всегда существует. Контурный интеграл обладает свойствами обычных вещественных криволинейных интегралов. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; интеграл от суммы функций равен сумме Предел этой суммы при и-~ в предположении, что длины всех участков стремятся к нулю, называется интегралом от функции Т" (г) по контуру С и обозначается символом 526 Глава аятнадцатая Рис.
1б. 2. Односвязная (а) и двуксвяз- ная (б) области Рис. 1б. 1. Разбиение контура С на участки интегралов от слагаемых; при перемене направления обхода контура интеграл меняет знак. Если контур С представляет собой замкнутую кривую, то за положительное направление обхода этого замкнутого контура принимается то направление, при котором внутренняя область, ограниченная этим контуром, остается слева.
Область, ограниченная замкнутым контуром, является односвязной, если граница области состоит из одной связной части (рис. 15.2, а), или более точно, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно стянуть в точку путем непрерывной деформации, не задевая границу области. Пример многосвязной области приведен на рис. 15.2, б; здесь контур С', лежащий внутри области, не может быть подвергнут описанной деформации без того, чтобы не задеть границу области. Докажем теперь, что если Г (г) — аналитическая функция, непрерывная внутри замкнутого контура С и на самом контуре, то ) Г (г) т(г=О.
с Это важное утверждение называется т е о р е м о й К о ш и. Докажем эту теорему для случая, когда контур С ограничивает звездообразную область, а производная Г' (г) (которая существует, так как функция Г" (г) аналитична) ограничена внутри контура и на контуре С. Область является звездообразной, если в ней существует такая точка г,, что любой луч, выходящий из этой точки, пересекает границу области лишь один раз. Примем точку г, за начало координат. Рассмотрим интеграл йт(),) =) ) ) ()~г) Й (0(). (1). с 11ужно доказать, что 1в (1) = О.
Продифференцируем %" (),) по )л 1Р' ()) = ) ~ () г) т(г+) ~ г~' () г) с(г. с с (4) 528 Глава пятнадцатая с) вольной деформации контура, если только при этой деформации контур не выходит за пределы области аналитичности 3 зт подынтегральной функции, т. е, не пересекает нн одной ее особой точки. Соблюдая это правило, можно непрерывно деформировать путь интегрирования в кон. турных интегралах, выбирая контур, наи~з более удобный для их вычисления. Рнс. )5. 4.
Независимость ) 1(г)дз от Заметим также, что может быть допути интегрирования внутри области казана [38а) теорема, обратная теореме аналитичности Коши: если функция 1(г) непрерывна н однозначна внутри некоторого замкнутого контура С и ) 1" (г) т(г = 0 для любого замкнутого контура, лежащего внутри С, то 1 (г) аналитична внутри С. Эта теорема дает, таким образом, интегральный признак аналитичности функции, эквивалентный условиям Коши †Рима. Перейдем теперь к выводу весьма важной для приложений интегральной формулы Коши. Рассмотрим интеграл 1(з)дв с (8) по некоторому замкнутому контуру С, внутри которого и на котором функция 1 (г) аналитична. Точка г — произвольная точка внутри контура.
Как было показано выше, контур С можно деформировать, не меняя значения интеграла. Заменим С окружностью малого радиуса р с центром в точке г; тогда, полагая г' = г + резв, получим г (г) = ( ~ 1 (г + р е* т ) т( р, о (9) и, переходя к пределу (р-+ 0), находим Р (г) = 2 и( 1 (г), т. е. 1 (г) = —. ) —,— е(г . 1 (г') 2вт " з' — г с (! 0) Формула Коши дает возможность исследовать различные свойства аналитических функций, в частности, позволяет вычислить значение функции 1 (г) в любой точке внутри контура по ее значениям на контуре.
Таким образом, значения аналитической функции в различных частях комплексной плоскости не произвольны, а тесно связаны между собой. С помощью интегрального представления аналитических функций, даваемого формулой Коши, можно доказать, что производные этой функции также аналитичны в той же области, что и функция 1 (г). Дейст- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 529 вительно, при выполнении условий, в которых была выведена формула Коши, имеем )'(г) = 1!ш ) (г + а г) — ) (г) = ! 1 ( 1 »» 0 Ь» 0 с ! !" ) (г') 2 « ! ) (г' — г)» с Возможность предельного перехода под знаком интеграла может быть доказана из условия аналитичности (и, следовательно, ограниченности) функции Т (г) на контуре С.
Вычисляя аналогичным образом высшие производные, получим формулу для п-й производной, выражающую ее значение в любой точке внутри контура через значение функции на контуре: (12) 5 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ Рассмотрим бесконечный ряд, члены которого являются функциями комплексного переменного г, заданными в некоторой области О. Область, во всех точках.
которой этот ряд ~, иг(г) г=! сходится, называется его областью сходимости. Как и в случае функций вещественного переменного, введем понятие равномерной сходимости ряда с переменными членами (1). Равномерная сходимость ряда (1) в некоторой области означает, что ряд сходится одинаково «хорошо» во всех точках этой области. Приведем точное определение равномерной сходимости: ряд (1) называется равномерно сходящимся в некоторой области О, если при любом заданном положительном г существует положительное число й(, одинаковое для всех г в области г», такое, что а -(- »» иг(г) <г (2) « =»+! при и ) Л' и произвольном целом положительном т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
