Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 75
Текст из файла (страница 75)
(16) Такие степенные ряды Ф (з) и Ф(з) можно назвать обобщенными полииомами или полиномами бесконечно высокой степени. При этом необходимо, чтобы отношение не было равно постоян- Ф (в) Ф (е) ной или функции з' (где г — любое положительное целое число), так как для них не существует оригинала. При этом предполагается, что функция Ф(з) есть обобщенный полипом и имеет только простые корни з„з„..., зл, причем она не имеет нулевого корня (все полюсы Р(з) лежат слева от прямой а; см.
9 8). Если Ф, (з) и ~! (з) не являются обобщенными полиномами, но путем умножения на з ((!е((1) их можно привести к ним, то также можно пользоваться теоремой разложения. Пусть Фт(в).за = (а(з), ф,(з)за = Ф(з), где ()г~ (1, за+О. Тогда Ф (5) 1. 3 Ф! (е) 1. 1 5 Ф! (») ел Ф (е) л ел (е Ф! (е)1 е лл ( ел Ф (е) + лел тФт(е) Если вл есть корень уравнения фт(з), т. е. Ф,(зл) = О, то получим 1!ш () =1пп (14) .л Ф'(е) Ф! (') Если какой-либо корень з = О, то необходимо изображение Р (з) представить как отношение двух сходящихся степенных рядов относительно в, показатели степени которых должны быть натуральными числами, т. е.
ОСНОВБ) ИНТЕГРАЛБНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 493 (18) Если отношение двух целых трансцендентных функций можно привести к отношению двух сходящихся степенных рядов с показателями степени в виде натуральных чисел (обобщенных полиномов), то последнее условие можно распространить и на них. Итак, необходимое условие теоремы разложения заключается в том, чтобы изображение Р (з) могло быть представлено в виде отношения двух сходящихся степенных рядов, показатели степени которых суть натуральные числа, при этом постоянная ае должна быть равна нулю при Ь,+О. Полином Ф (е) имеет кратные корни.
Пусть Ф (з) — полипом и-й степени (н >и) имеет л корней, из которых некоторые суть кратные корни (з, =з„„= ... = з ), т. е. Ф ( ) = ( — ) (з — .) . ( — )' " ( — .) где й — степень кратности корня з (й — целое число, й> 1). Как и раньше, можно написать Ф (~) е л1 л е2 е лл (е ет) „+ Ц)'(з). (17) (8 — лт)" Коэффициенты Сы Сз,..., С„находятся обычным путем, т. е. для них применяют теорему разложения для простых корней. Таким образом, оригинал изображения Ю'(з) находим по соотношению (12). Остановимся на О изображении „. Определим коэффициент Р; для этого умножим (~ лт) обе части равенства (17) на (з — з )л, т. е.
ф (л) (~ ~т) Р + ( )л (т ( ) Ф (8) Пусть з -ь з , тогда будем иметь Р 11ш Ф (е) (8 — 'т)" Ф (е) С другой стороны, можно написать 1 ~1...~ 1 1 (г — е )л (А — 1)! так как известно (см. формулу (17) 5 21, что 1. (тл 'е л') = (л — *т) Таким образом, получаем Г, ( ) = 7. ' ~ „ ~ = ц 11п ( ~ , ~ ( ) ( ) е"]~ . (19) Отметим, что соотношение (19) можно получить совершенно строго из интегральной формулы для обратного преобразования Лапласа, так как оно представляет известную формулу Коши для нахождения вычета полюса з =з кратности й (см. 9 9).
Если й = 1 (простой корень), то соотношение (19) превращается в предыдущее (18). Применяя формулы (12), (13), (14) и (19) для нахождения оригинала функции, можно решить любое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. 494 Глава четырнадцатая н ен-Х (21) (л — 1)! а=! Соотношение (21) может быть получено как частный случай теоремы разложения (для кратных корней), если считать, что ф(з) имеет бесчисленное множество нулевых корней различнои степени кратности (от 1.
до и), Большинство задач по теплопроводиости, рассматриваемых в этой монографии, может быть решено, если для нахождения оригинала функции пользоваться только формулами (13) и (19). Поэтому формулы (13) и (19) являются основными формулами при решении дифференциальных уравнений теплопроводности, Приведем для иллюстрации несколько примеров, рассмотренных нами ранее. !.
В примере 1 5 3 изображение функции получено в ваде Аз+ )д Ф (з) Е(з) = зз — йе ф (з) ф (з) = — зе — йз = (з — й) (з + й) — полинам второй степени; он имеет два простых корня: зт=й, зз= — й, ф'(з)= — 2з. Применяя формулу (13), находим Ай+)) а Аь.— () П а(т) = 2й еа'+ е а' = Ась йт+ — з)!йт, 2й й т. е. то же самое соотношение (2) 5 3. 2. В примере 2 й 3 при решении дифференциального уравнения получено следующее соотношение для изображения функции: зз — з+ 2 Ф (з) г(з) = з (зз — з — 6) ф (з) — 6) = з (з — 3) (з+ 2) — полинам третьей степени; он имеет три корня: ез = — 2; ф' (з) = Зз' — 2з — 6. ф (3) = 5 (з-' — з а!=о, за=3, Тогда з 1() = й- 12(з)1=~, " е'"' = ф' (зл) н=! (27 — б — 6) (12 + Ч вЂ” 6) 3 15 5 2 + ( — 6) т.
е. получаем тот же результат. Частный случай теоремы разложения. Ограничим функцию Р (з) дополнительным условием, чтобы она была аналитической 1 1 функцией аргумента — при — < р. Тогда Р (з) можно разложить в з )з~ сходящийся степенной ряд: О) г(.)= ' + ' + ... =)', (20) а=! Функция Р(з) должна быть такова, чтобы ряд не содержал постоянной О„ так как она не имеет оригинала. Так как ряд (20) равномерно сходится при ~ — ~ (р,то можно при- 1 менить почленное обратное преобразование, в результате которого по- лучим ОСНОВЪ| ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 495 3. Найти по изображению оригинал функции соя)гт. По формуле (13) имеем 2 )«~= — [,.'„] =1 5 Зал~ ф (55) л=! где Ф (5) = з, ф (5) = 55 + йз = (я + й) (з — й), ф имеем (з) = 25; 55 = й, за = — й. Отсюда с начальными условиями у (О) = у (О) = г (О) = г"'(О) = О.
Решаем обычным способом: 1 2 5 У (5) — з 2 (5) + 52 (5) — У (5) = з — 1 з 1 25'У (з) — я'2 (5) — 25 У (5) + 2 (5) = — —, Эти уравнения перепишем так: з — 2 (5+ 1) У (з) — 52 (5) = —— 5 (з — 1)5 1 25У (5) — (з + 1) 2 (5) =— 55 (5 — !) Решая два алгебраических уравнения с двумя неизвестными, получаем ! У (я) = 5 (3 — 1)з 25 — 1 3 (ь)— 5 (3 — !) Для нахождения оригинала функции воспользуемся соотношением (19). Полипом ф (з) = 5 (я — 1)' имеет корни 55 = О, 55 = 1 (двухкратный корень). Тогда у (5) =, + 1пп [ — ( — з )] = 1+ -.з' — з" . Так же находим г (т) Дзп [ [ ззз]~ + Нгп ( [ 555]) Для усвоения техники вычисления обратного преобразования по формулам (12) и (19) читателю предлагается решить следующие задачи: 1.
у" (т)+Зу'(т)+2у(т) =4; у(0) =2; у'(0) =О. Отз. у (т) = 2. й га, ( — й) Т(т)= зг '+ е '"'=совет. 2й 2 ( — й) Сз 4. Найдем обратное преобразование Ь 5 1 [,,1 =-[ —;,'5,']=-[,;.,]' =' ф (5) = 5 (я+С)' — полипом четвертой степени; он имеет корни зз = О, яя = — С(трех- кратный корень). Получим Е(О) 1, | 1 Гсз „Ъ ! 1(т) =, -(- — Пш ~ — [ — е"Л=! — (! -(-Сз+ — С'тз) е~'. ф'(0) 2! з -С!бья ( з Я 2 б. Найти функции у (т) и г (т), которые удовлетворяют следующей системе диф- ференциальных уравнений: з з з 5 уз (т) — гл (т) + г' (т) — у (т) = з' — 2, 2ул (з) — гз (т) — 2у' (5) + г (т) = — т, Глава четзсрладцатая 496 2. уе ( с) — 2у' (е) + у ( с) = 1. Отв.
у (з) = (Сс+Сс с) е'+ 1. 3 3. у" (з) + у (з) = Зяп с; у (О) = 1; у' (О) = — — . 2 3 Отв. у (с) = (1 — — с) созе. 2 4. уе (з) +л у(с) =амп(те+а); т+л; у(0) = у'(О) =О. а Отв. у(е) = (теозаз!илс+лмпасозле — лз!п(те+а)). л (тс лс) 6. у" (с) — тсу(з) = ает'+ Ьел"; у(0) = у' (О) = О. Отв. у (с) = —,1 (тее~' — зь тз) + ° ((лс — л) е ~" + 2т' / 2т (тз — лз) -!- (т -(- л) ет ' — 2те"') 6. у (с)+у(с) =зсп стп2с.
Отв. у (с) = ~у(0) — — )! соз с + — сов Зз + ~ у' (0) + — с~ Низ. 16) 16 ь 4 1 7. у"'(с)+у(с) =1+ с+ — сс; у(0) =у" (0) =О; у'(0) = — 1. 2 Отв. у (с) = 1+ з + — за+ — е ' — — е с" ~ воз — е )/3 + 2 3 3 ~ 2 1 + !/3 3!п — )тз ) . 2 8. у" (е) + у (с) = с соз 2 с. 6 1 4 Отв. у (ч) = у (О) соз з + у' (О) з1 п ч — — Ып с — — е соз 2с + — Ып 2с. 9 3 9 й 7. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Линейное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого являются полиномами относительно е, можно преобразовать в линейное дифференциальное уравнение для изображения функции, коэффициенты которого будут постоянны относительно з.
Решение такого преобразованного уравнения проще, чем решение оригинального уравнения, если степень полиномов ниже степени исходного уравнения. Если коэффициенты дифференциального уравнения для оригинала функции — полиномы первой степени, то дифференциальное уравнение для изображения функции будет линейным уравнением первого порядка, которое решается обычными мстодамн.
Трудность возникаст при псрсходе от решения для изображения к решению для оригинала, т. е. при нахождении оригинала функции по ее изображению. В качестве примеров рассмотрим два дифференциальных уравнения Бесселя, решения которых были использованы в задачах по теплопроводности. 1.
Дано дифференциальное уравнение Бесселя первого порядка дзг (с) 1 дг (с) + — — !ссг «) = О (1) 6 за с де с начальными условиями г(0) =1, г'(О) =О. Перепишем уравнение в ином виде: (2) ' за" (с) + г' (с) — Азег (с) = О. ОСНОВБ! ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА АВУ Воспользуемся при преобразовании соотношением (1) э 4: б Ь (сг» (т)] = — — — ]гз2 (р) — з] = — — 2з2 (г) — зэ2' (з) + 1, с(з Ь (та (с) ] = — — 2 (з) = — 2' (з); сгз тогда 2з2 (з) + ззЕ' (3) — 1 — з2 (3) + 1 — Йзд' (з) = О, (зз — йз) 2 (з)+г2(з) =О, (4) Получаем дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, которое решаем обычным методом: с(2 гс]з зз ьз С 2(з) = ]/зз )ср где С вЂ” постоянная интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
