Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(21) о о В последних формулах использованы обозначения К (Л) = Ь соя 5+ 4 а; 4 (з+ 2) 2. (Л) = Ь 51 п з+4 я. 4 (з+ 2) (22) 4. Выше были 'приведены некоторые сведения о свойствах собственных функций уравнения (8). Вопрос о возможности разложения функций по собственным функциям уравнения (б) в полубесконечном интервале 0 (г ( можно исследовать, рассматривая задачу Штурма— ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 463 Лиувилля для уравнения (5) на конечном интервале О < г ( 1 с краевыми условиями и(О, Л) сова — и'(О, Л)з(па = О (23) ('-"- — ') и (1, Л) соз р — и' (1, Л) з! п р = О ~О <8 < — ). (24) Рассмотренные выше решения и„(г, Л) уже удовлетворяют условию (23), а из условия (24) определяются собственные значения Л .
Как известно, для любой непрерывной на интервале (О, 1) функции Т(г) имеет место равенство (равенство Парсеваля): ) 7 (г) сс (г) с(г = ) Р (Л) с(рс(Л), (25) где Р,(Л) = ) сТ(г) Т (г) и„ (г, Л) с(г, о (26) Рс(Л) = 1 2( о;л чл о и (27) СО с"(г) = ~Р (Л) и„(г,Л)с(р(Л) о (28) при условии, что последний интеграл сходится равномерно в любом конечном интервале. Для завершения изложения сведений о задаче Штурма †Лиувнл в полубесконечном интервале наметим способ построения и приведем выражение для функции р(Л). Используя асимптотическое выражение (16) для функции и.(г,Л), нетрудно показать, что при 1- с с сТ(г) и' (г, Л) ссг = л 'м ( ) ( ) ) )с'д(г) с(г, (29) о о где М(Л) и У(Л) определены согласно формулам (15). На основе извест- Можно показать 14б, 3851, что существует монотонно-неубывающая функция р(Л), являющаяся пределом функции р,(Л) при 1 — ь .
В формулах (25) и (26) можно перейти к пределу 1 — ь, если существует То(г) д (г) с(г. Таким образом, соотношения (25) и (26) сохраняют свою силу и в случае полубесконечного промежутка (1= ), Из равенства (25) при 1 = легко получить 464 Глава гринадяатал ных свойств собственных значений Л„, определения (27) и оценки (29) при 1- получаем, что р,(л+ь) — р,(л) = ) Ч(г)и~(г,Л„) Иг о л«л„<л (- л Л+Ь Лвд Л (ЗО) где в последнем равенстве (асимптотическом) сумма преобразована в интеграл. Отсюда окончательно имеем для функции л+ь Лв дл р()'+ й) !'()') = ) !)и (л) -~-лп(~) л (31) Лв НЛ !ЛР ()') = Мв(Л) ! л!«(Л) (32) Приведем также асимптотические оценки для функции р(Л) при ЛВ случае, если в условии (23) а+О, из формул (15) и (14) имеем М«()) + Ж«()) ж а»збп» а т. е.
(р (л) = (33) или Лв+' (Л) (в + !) ав в! пв и (34) Аналогично при а = О имеем Лв»в (в+3) Ьв (35) Из приведенных результатов [в частности, формулы (32)[ уже не! дв посредственно следует, что спектр оператора — — [см. уравнение в(г) дав (5)] при выполнении условий 1 — 5, накладываемых на функцию д(г), непрерывен, т. е. собственные значения Л заполняют всю полубесконечную прямую (О, ). Подчеркнем особое значение 4-го свойства функции д(г) в вопросе о непрерывности спектра, так как интеграл ОЭ )~ д (г) е(г играет роль длины «эквивалентного» стержня. Поэтому при выполнении 4-го условия, когда «эквивалентный» стержень бесконечен, граничное условие (24) оказывается несущественным. В случае же СО сходимости интеграла ~)Г 4(г) йг мы имели бы аналог задачи на конечном интервале для обычного уравнения теплопроводности, спектр собственных значений был бы дискретным, а условие (24) было бы существенно и после перехода !— ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ КОЭФФИДИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 465 5.
Прежде чем перейти к исследованию краевых задач для уравнения теплопроводности (3), приведем обобщение формулы ( О, если х.лежит вне [а, Ь]; т( + ) если х=а; 2 , если х=Ь; 2 т( + )+т( 1 если х ле- 2 жит внутри [а, Ь]. (ь — х']* 1 ' е 1пп ] ~р (х') Ых' = в-. 2]/к у'. а а Эта формула утверждает, что если у(х) — ограниченная функция, кусочно-непрерывная по х и непрерывная по 1„то (О (а <Ь< ) ь ОЭ 111П [ 1'(Х',з)д(Х')НХ'~ Е-"+ 1' В1и. (Х, Л) и. (Х', Л)Ь[р(Л) = в- О о 1 О, если х лежит вне [а, Ь]; — Т(а+О, з) при х=а; 1 2 — 7(Ь вЂ” О, з) при х=Ь; 1 2 ~( + ' )+~( ' ), если х лежит внутри(а, Ь). 2 (36) 6. Перейдем к основному вопросу настоящего параграфа — рассмот- рению краевых задач для уравнения (3).
Пусть Т (О, т) соз а — ' ' а[п а = 0 дТ (О, т) дг (37) (о<. < — ', ), Т (г, 0) = Т (г). (38) Из обобщенной формулы Пуассона (36) непосредственно следует, что решение этой краевой задачи имеет вид ь 5+2 Т(г, т) = В)~(Г) д(Г) Ж)е 'и„(г, Л) и„(Г„Л)ь[р(Л), (39) о (40) Т(0, т) = ср(з). Будем искать Т(г, т) в виде суммы Т(г, т) = У(г, т) + Г(г, з), где функции У н У удовлетворяют уравнению (3) и условиям и(О,;) = р(), (Т(г, О)=0, Ъ' (О, т) =- О, Ъ' (г, 0) = Т(г). (41 ) (42) где и. (г, Л) — собственные функции краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения (5) при условии (23). Пусть при прежнем начальном условии (38) задано неоднородное граничное условие первого рода Глава тринадцатая Из рассмотрения краевой задачи (37) — (38) следует, что функция 'т'(г, т) является ее частным случаем, если в условии (37) а = О.
Таким образом, функция )Г(г, и) определяется формулой, аналогичной (39) 'т'(г т) = ~ 7'(С) д(<) <(< )е-и+'" ио(г,Л) ио(~ Л) <(ро(Л), (43) о где и,(г, Л) — собственная функция уравнения (5) такая, что ио(О,Л)=0, див (О,Л) = 1, а ро (Л) — соответствующая и,(г, Л) функция р(Л) (см.
27). Остается найти функцию У (г, и). Покажем, что она определяется формулой и, (г, Л) = — д — ч (г) Р~ ф' ~.~ 1 < —, (ЛБ) + ..., (45) в я+2 Л где многоточием обозначены члены высшего порядка малости по г. Из формулы (45) очевидно, что в интеграл в правой части формулы (44) вносят вклад лишь большие значения Л, поэтому для «ро(Л) можно воспользоваться асимптотической формулой (35), т.
е. подставить ее в (44): ,(р,(Л) =(Л'„+ „, )бЛ, (46) где многоточием в скобке обозначены члены асимптотического разложения, растущие не быстрее, чем Л'+', при Л— Итак, подставим в интеграл асимптотические соотношения (45) и (46), тогда при г- 0 интеграл (44) примет вид СО 4 Ч (г) ои4 ~ <р (Ь) М ° ~е "'+ <' ото Ц Л< Ь о о х У ~ — (ЛЯ) г Лом<(Л+ .. в-<лп Л (47) В работе [4б) строго показано, что все последующие члены асимптотического разложения, обозначенные в формуле (47) многоточием, исчезают при г — О.
Поэтому остается показать, что интеграл (47) при г-+О оказывается равным тр (т). Заметим, что множитель ц ч (г) 1м4 при г-т-Остремится к единице, как это следует из 3-го свойства функции <)(г) и второй формулы (8). т Э У(г,т) = ) тр (Ь) <К Ь ~е — ми <' о> ио(г, Л)<Яро(Л).
(44) о о Для доказательства достаточно убедиться, во-первых, что функция У удовлетворяет уравнению (3). Это легко проверяется непосредственной подстановкой формулы (44) в (3). Во-вторых, из (44) очевидно, что У(г,т) — эО при н-+0 (г+0) и, таким образом, второе из условий (41) выполняется. Остается показать, что интеграл, стоящий в правой части формулы (44), при г-+ 0 имеет пределом <р (я). Из формул (11) и (8) получаем, что при г-~ 0 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИПИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 467 Интегрирование по Х в (47) может быть выполнено (см. [7)), в результате формула (44) примет вид вез+2 ехр «(в + 2)в в(С вЂ” З) 1 «+3 «р в+3 Ь (з+ 2)з+о з) а+2 (48) Покажем, что функция (з+2)'с ~ Р(с, с)— 3+3 Ь (з+ 2)з+з 0 в+3 з+2 имеет при г- 0 ($-вО) пределом Ь(е — 0) в смысле обоб;ценных функций.
Для этого нужно показать 110а), во-первых, что при любых действительных ев и ев (с (т,) интеграл ')г" (е, 11 «(с ограничен сверху постоянной, не зависящей от тм с и 1. Действительно, так как функция Р(с, 1) неотрицательна, то Се+2 з «в+оп з+3 в+2 Во-вторых, 'при любых св и ее, отличных от нуля, должно выполняться вв ( 0 при ес( сз( 0 11«п ) Р (е, 1) «(с = или 0( сс(со, о ч 1 при е ( 0 ( с,„ что также легко проверить. Таким образом, доказано, что формула (44) действительно является решением уравнения (3) при условиях (41). Рассмотрим краевую задачу с граничным условием второго рода ",",' = ~() (50) и начальным условием (38). Будем искать Т(г, с) в виде Т (г, е) = = У (г, е) + в' (г, е), где функции У и )т удовлетворяют теперь условиям = «р(), У(г,О) = О, (51) аг — О, $'(г, 0) = 7(г), (52) а также уравнению (3).
ч вв в ( ~)с(< ( )~ = Ь(з+2) в+' о о при е>0, (49) при е(0 468 Глава тринадцатая Функция У (г, 2) является частным случаем решения (43) при а = — и 2 имеет вид св сс У(г, т) = ) 7'(1) с) (() Ж ) е — и~~и. (г, Л) и „(с.,Л) с(р. (Л)„(53) о о 2 2 2 ди„(О, Л) где и,(г, Л) — решение уравнения (5) такое, что, = О,р (Л)— 2 2 соответствующая и, (г, Л) функция р(Л). Совершенно аналогично можно показать (см. (44)), что функция (7 определяется формулой (7 (г, ) =- ) Ф (О) с(6 | †"+'1 †'1 и .
(г, Л) о(р . (Л), (54) а о 2 2 удовлетворяющей уравнению (3) и условиям (51). Перейдем к построению решения уравнения (3) при неоднородном условии дТ (О, с) Т (О, 2) соз и — д 21п сс = ср ('с) (55) (и+ 0 или а~ — ) и при начальном условии (38). Для этого представим Т(г, н) в виде суммы Т(г, 2) =- (7(г, 2) + У(г, 2), где функции (7 и Ъ' удовлетворяют уравнению (3) и условиям и(О, ) ° —, з(п.=О; д() (О, с) (7(г, 0) = 7'(г), (56) У(0, ) соз — ' 21па = ср (с), дУ (О, с) (57) Функция (7 (г, т) дается формулой (39).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
