Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 74
Текст из файла (страница 74)
8. пусть оригинал функции есть 1(т) =- т зг ехр( — — 1!, где й > О. найдем 4т!' изображение этой функции: Р(з)=Ь[1(т)]=~а е "' г Г Ат= о 1 СО ~Вз [ ~'~ ~~АВ 4 — а тз ~ [ ( Ь з~„ 7. Найдем оригинал изображения 1 ]гз +1 1 Р (з) =, Прежде всего можно написать.' ]/ з — 1 Глава четырнадцатая 488 й /г )Г. где 0 = —, Ь = — '1с'е .
Последний интеграл равен —, так что 2 2 2 Р'т. Таким образом [ й е ' =е те (й>0, е>0). (18) 9. Если оригинал функции в формуле (18) умножим на ( — т), то от иэображения необходимо взять производную по з; — е ' = — е (19) Если й = О, то получим выведенную ранее формулу [ 1 1 1 10. В соотношении (18) оригинал функции интегрируем, а изображение разде- лим на з й с — е вс 2 г — ы с(8 = — э! е 88 у' сз — 3/2 е о е с5 —— 2 г — Ы 2 е сй=! — ег1 2 рсс В результате получаем одно иэ важнейших для задач теплопроводности соотиоше ний: Г ! — еУе1 й й с~ — е ~= ! — ег( =ег1с 2 (/т 2 ест (20) !1.
В соотношении (19) оригинал функции интегрируем, а изображение разделим иа з: е* 2 1ус с е сс— й 4» й — й ег1с = 2 )сст — е 4' — ег(с = 2 уст ! ег1с , (21) 2 3/т ~ Р'в 2Рст 2 )/с ~ 2 Т/т где св вс ! ег1с и = е — и ег1с и = ~ ег1с Ы8. =М' (22) — ас 2)сс 1 1 /сад й 4т ~ 4 + 8 )ег(с — 4 — е. с = 4т!зег1с — .(23) с — 4 2 ус с Следовательно, функция ! ег1с и обозначает интеграл от функции ег1си, взятый в пределах от и до оо. Аналогичным путем можно показать, что 489 ОСНОВБ1 ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА где ! !з ег1с и = ) ! ег1с Ю = — ~(! + 2из) ег1с и— 4 — ие ~ = 4 [ег1с и — 2 и ! ег1с и).
)/ (24) Применяя последовательно такой прием получения новых изображений, найдем следующее соотношение: 1 Г + Наз 1/г з г з = Ь ~ (4т) !з ег1с— 2 )/отЗ (26) где СО !" ег1с и = ~ !" ' ег1с Ее[1 и (и = О, 1, 2, 3, ... ). (26) Следовательно, !з ег1с и = ег1с и. (27) Для !" ег1с и существует общая рекуррентная формула 2т" ег1с и = !з-' ег[с и — 2и!" ' ег1с и.
(28) Можно показать, что г =1" ег1с и есть решение дифференциального уравнения г[зг г[г — + 2и — — 2иг = О. г)и' г!и (29) Из формулы (28) следует ! ! !з ег1с О— ! ! 2"Г(2 и+!) 2"П(2 и) (30) Е 3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ Дано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: которое можно переписать так: А„г (т) + А„, г (т) + ... -[- А,г' (т) [- А г (т) = р (т). (2) Для простоты вывода начальные условия примем следующие: г (0) = г (0) = ...
= г (0) = О. (3) Такие начальные условия необязательны; можно взять более общие условия (каждая производная от г при т = 0 равна постоянной), однако результат получим тот же. Применим способ решения дифференциального уравнения, рассмотренный в 9 3. Соотношения (25) и (30) имеют широкое применение при решении задач теплопроводности. Все соотношения между оригиналом функции и ее изображением, полученные нами в втой главе, приведены в сводной таблице в приложении. Глава четмрнадяатав 490 Применяя прямое преобразование Лапласа, получаем алгебраическое уравнение первой степени относительно одного неизвестного." А„з"У(з)+ А„,з"-ТЕ(з)+...
+ А,ЗЛ(з)+ А,Л(з) = бт(з), (4) где Ф (з) = Е (тр (ТЦ. Решение этого алгебраического уравнения имеет вид Е(з) = —, (' (в) ' (5) где г (з) = А„з" + А„, з '+- А,, за '-)-... + А,з+ А, — полипом степени п относительно з. Решение заданного диффере нциального уравнения получается, если применим обратное преобразование Лапласа: г(е) = Е ' ~ „()1.
(6) Нахождение оригинала функции по ее изображению может быть вы полнено быстро, если изображение функции совпадает с одним из рассмотренных выше изображений. В данном случае необходимо знать соотношение, которое позволяло бы находить оригинал функции, если изображение ее имеет вид —, где ф (з) — полином и-й степени от- Ф (в) ( (е) ' носительно з. Оригинал функции обычно находится и ри помощи интеграла по некоторому контуру в области комплексной переменной (см.
98). В данной монографии этот способ нахождения оригинала не используется, поскольку от читателя тогда требовалось бы знание основ теории функции комплексного переменного. Для нахождения обратного преобразования вида (6) можно воспользоваться методом Ващенко-Захарченко. Таким образом, основная трудность при решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами возникает при нахождении обратного преобразования Лапласа, т. е.
при переходе от изображения функции к ее оригиналу. 5 б. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ г" (з) = —, Ф (е) 4 (е) где ф(з) = А, + Ага+ А,з'+ ... + Авзв есть полипом относительно з степени п, а (2) чт (з) = Вв + Втз + Вазе + ... + В„,з'" (8) есть полином относительно з степени т, причем и ~т. Случай т )тт не может иметь места, так как оригинал функции, соответствующей Теоремы разложения были впервые выведены Ващенко-Захарченко, причем в том виде, в котором они получаются при помощи преобразования Лапласа. Хевисайд значительно позже Ващенко-Захарченко получил теоремы разложения; последние имеют иной вид, поскольку преобразование в методе Хевисайда производится по Лапласу — Карсону. Метод преобразования по Лапласу — Карсону нам кажется менее удобным по сравнению с методом Лапласа.
Пусть изображение г" (з) функции г(т) можно представить как отношение двух полиномов ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 491 целой положительной степени 5, представляет некоторую разрывную функцию особого рода. Полипом Ф (5) степени п имеет п корней 5,, 5„5„, ..., 5„. Рассмотрим отдельно два случая.
Полином ф(5) имеет простые корни. Пусть все корни 5, 5,, ..., 5„ различны, т. е. (4) Тогда соотношение (1) можно написать так: Ф (3) Сз + Сз + „С„ Ф (з) 3 — 35 33 3 зл (5) Коэффициенты С„С,, ..., С„не зависят от 5, поэтому, если они будут найдены, то обратное преобразование ряда (5) не вызывает затруднений, так как известно 71[3Сел Найдем коэффициенты С„. Умножим обе части равенства (5) на (5 — 5,): Ф(3)(3 3) С +(5 5),( С + + С 1 (6) ф(3) [ 3 — 53 3 — 3„ Пусть 3-за„тогда все члены правой части равенства (6), за исключением первого, будут равны нулю. Левая часть равенства становится О неопределенной, т.
е. равной — , так как числитель и знаменатель О равны нулю. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя: С,=В ) (')' 'В1=Г ( ' ' " ('1 ") . (7) 3 33( Ф(3) ) 3 51 ( ~ (3) 5 Ф' (зд откуда С,= пп Ф (5) (3 — 55) Ф (53) Ф (5) Ф'(53) Аналогично для коэффициента С, получим Ф (53) Ф (зз) Вообще Ф (зл) Ф (53) Применим обратное преобразование Лапласа к ряду (5): 7(*) = 1. '[г(5)) =1.
'~ ) 1 = С,е"'+С,е'"+ ... +С„е'3 [ Ф (3) ~ Таким образом, для нахождения коэффициента С, надо в функцию <1> (5) подставить вместо 5 корень з„взять производную по 5 от ф (5) н подставить в ф'(з) вместо 5 корень 5, и, наконец, Ф (5,) разделить на ф'(5„). Аналогичным путем найдем коэффициент С,; для этого умножим обе части равенства (5) на (5 — 55) и положим 5-+ 5,: "'=С,+( — 5,)~ ' + ' + + '"1, (6) Ф(5) [3 — 35 5 53 3 — 531 492 Глава четырнадцатая е' + — е* + ... + — лел = т " е» . (11) Ф(е!) т1» Ф(ел) ет Ф(ел) е» Чн Ф(е») л т Ф'(ей Ф'(е ) Ф'( л) " Ф'( л) л=! Тогда получаем теорему разложения Ващенко-Захарченко л Г (т) = Е ' ~ ( ) 1 = ~~~, ( ') е*л' . 1 Ф (е) Л Ф' (е,) л 1 (12) Соотношение (12) отличается от теоремы разложения Хевисайда тем, что в последнюю вместо з входит оператор р, а вместо Ф'(зл) входит произведение р„Ф' (рл).
Кроме того, в формуле Хевисайда имеется до- Ф (О) полнительный член , что создает определенное неудобство при Ф (О) применении его к практическим расчетам. Обобщение теоремы. Теорема разложения справедлива и для случая, когда изображение Р(з) есть отношение трансцендентных функций Ф(з) и Ф(в). В теории функций комплексного переменного доказывается, что такая функция разлагается в ряд по .простейшим дробям вида (5). В результате получим то же соотношение (12): Ф (з) = а, + а,в+ а,з'+ .. Ф (з) = Ь, + Ь,з + Ьаз' + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
