Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

У (г, 2) введем неизвестную функцию дУ (О, н) Для определения функции (58) со У (г, 2) = ~ Ф(Ь) Ю~ е 1'+ 1 о) и, (г, л) Ир, (л). (59) о о 2 2 Полагая в последней формуле г= 0 и пользуясь тем, что и„(О,Л)=1, 2 получим у (О,) ~Ф(8),(О ) Е МЬ21с — О1,(р о о 2 (60) Если бы функция Ф(;) была известна, то функцию У(г, т) можно было бы определить по формуле (54): ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИПИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 469 Подставляя (60) в первое из условий (57), получим для функции Ф(т) интегральное уравнение Вольтерра второго рода Ф (з) + й ) К (т — Ь) Ф (Ь) >(Ь = х (з), о (61) где (64) 'С Ф СО дЧ~ д'и, г,Л д) " )ь ~р(г Ь)(г е — л'+го — о> ' ( ' ) о Ф х и.

(л,).)о(Р(л)= — ~ >(ь ~ ('>(г„ь) ж~л"ое-л*+('-о> х о о Х и„(г, Л) и„(Г., Л) >(р (Л); СО СО = Вш ~ (",>(г„ь) д(, ~ е-л'+ <'-о> и„(г, л) и„(г., л) >(р(л)— оо о 0 СΠ— ~ >(Ь ~ Я (Г., Ь) о(Г. ~Ло+о е л'+о(' о> и„(г, Л) и„(Г, Л) >(р (Л) о о о и предполагая, что плотность источника Я(г, т) удовлетворяет условиям применимости обобщенной формулы Пуассона (т е. Я(г, т) ограничена, кусочно-непрерывна по г и непрерывна по;), получим, что пер- К(т) = ~ е-л л'>)р (Л) о 2 й=с1йо, лл(т)= (62) Уравнение (61) может быть решено в явном виде с помощью преобра- зования Лапласа для некоторых конкретных видов ядра К (т) или же методом последовательных приближений.

Тогда, как уже упоминалось, функция У(г, х) определится с помощью формулы (54). Рассмотрим краевую задачу для уравнения с источником 4() —, =,, +()(, ) дТ д'Т при краевых условиях (38) и (55). Представим Т (г, т) в виде Т (г, з) = (7(г,о) + >' (г, х), где (7 удовлетворяет уравнению (3) при краевых условиях (38) и (55), а функция У является решением уравнения (63) при условиях У (О, т) соз а — ' з!п а = О, дР (о, т) Ь'(г, 0) = О. Функция (7(г, т) совпадает с решением задачи (61). Функция $' (г, х) может быть представлена в виде 'С ОР О )л (г,'с) = ) >(Ь 1 (;> (~ Ь) Ж ~ е — л'+г(' — о> и„(г, ),) и„(Г, Л) >(р (Л). (65) о о о Для доказательства этого утверждения следует показать, что функция )л удовлетворяет уравнению (63) и условиям (64).

Вычисляя производ- ные 470 «+2 ! (р,(Л, 2) = — ф'Лз У ! ( (Лг) 2 «+2 (« (68) Согласно (15) имеем М'(Л)+й((Ц= ' Т [ '+' 1 ) «+! («+2)«~<-а откуда по (32) определяем с(ро(Л). Теперь по формуле (44) имеем «+2 («+ 2) (« — О) Т(...) =,' ф«) ',+, [Ь. ,.„)',~ 1, («-)-2/ о (с — Ь)«+2 Аналогично можно получить, что при краевых условиях дТ (О, с) — = — ![«( с), Т (г, 0) = 0 (69) (70) (71) имеем ф, (2, л) = а 'г'лг У (72) (73) И (Л)+А)2(Л) = и согласно (54) ,«+2 («+2)* (« — О) ф (Ь) , , (1Ь. (с — а)«+2 о Т (г, 2) = ! — !'«+ й («+2)«+2 Г( ! [,«+2/ (74) вое слагаемое в выражении для производной — равно () '(г) ° Я (г„с).

дТ д)«д«)' Из сравнения производных — и — получаем, что У действительно дс дг« удовлетворяет уравнению (63). Проверка выполнения условий (64) еще более проста. Итак, для построения решений краевых задач для уравнения (3) или (63) необходимо знать решение обыкновенного дифференциального уравнения (5). 7. В заключение проиллюстрнруем, как с помощью развитой общей теории для уравнения (3) можно получить решения, приведенные в $ 1 — 5 (см.

также [9[): ()(2) = 2. (66) Рассмотрим, например, краевую задачу, когда Т(0, с) = )р (2), Т(2, 0) = О. (67) Собственная функция легко определяется из решения уравнения (5) при (1(г) вида (66) ! ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА При решении уравнений теплопроводности классическими методами для некоторых задач (задачи с переменными граничными условиями, с системой неоднородных тел и т.

д.) встречаются большие трудности. Решения часто получаются в виде интегралов или рядов, которые мало пригодны для практического использования. В последнее время в теплофизике с большим успехом применяются операционные методы, которые позволяют получать не только точное решение, но и ряд приближенных решений с заданной степенью точности. Операционными методами можно с таким же успехом решать задачи, в которых искомая функция терпит разрыв непрерывности, а такие задачи в тепло- физике встречаются довольно часто.

Операционные методы решения некоторых задач применялись очень давно в качестве подсобного математического аппарата, призванного облегчить получение уже известных результатов. Дальнейшее развитие этих методов показало, что они являются самостоятельными математическими методами, обладающими известными преимуществами перед классическими при применении их к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Символическое, или операционное, исчисление как самостоятельный математический метод было впервые создано профессором Киевского университета М. Ващенко-Захарченко. В своей монографии «Символическое исчисление и его приложение к интегрированию линейных дифференциальных уравнений», вышедшей в 1862 г., автор дает систематическое изложение операционного исчисления и выводит основные соотношения и их применения к решению дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами.

В работе Ващенко-Захарченко впервые выведена теорема разложения, которая обычно приписывалась Хевисайду, и рассмотрен случай кратных корней. Теоремы разложения Ващенко-Захарченко формулируются следующим образом: если )". (Р) — целая рациональная функция от оператора дифференцирования Р, то имеет место соотношение )" ~ (Р) х =, (Р— а1) зх+ —, (Р— аз) 1х + ... + —, (Р— а„) зх, (1) ! 1 1 )'(а1) 1 )' (а~) ~ ' 1'(аа) Глава четырнадцатая 472 где а, и», а, ..., а„— простые корни уравнения Г(х) = — 0 (случай простых корней). В этой же монографии автор выводит теорему разложения и для кратных корней.

Таким образом, мы с полным правом должны считать проф. Ващенко-Захарченко создателем операционного исчисления В конце прошлого столетия Хевисайд применил метод операционного исчисления к решению некоторых электротехнических задач. Им был введен оператор р, действие которого по определению следующее: р (~в„— "„",) = ~,в„,' „ (2) В этом определении оператора р величина, стоящая под знаком факториала (обозначим се через и), удовлетворяет функциональному уравнению Г(л1) =тГ(т — 1), Г(0) =1. (3) В случае, если т — дробное число (О < т <1), т! = Г(лг+ 1), (4) где Г (т + 1) — гамма-функция; если лт — целое и положительное число, то Г(т+1)! = т! =1.2 3....

и. Например, х" х" р Уа(1)=р и Щ ~1~ ,,~8~ — 2 ~ггг— Если а — целое число (положительное или отрицательное), оператор р производит такое же действие, как оператор О. Никакого строго математического обоснования своего метода Хевисайд не дал. Необходимо отметить, что идея дробного дифференцирования принадлежит создателю Московского математического общества А. В. Летникову, который в своей работе «Теория дифференцирования с произвольным указателем», опубликованной в 1868 г., задолго до Хевисайда применил метод дробного дифференцирования к решению дифференциальных уравнений '1. Операционный метод решения дифференциальных уравнений заключается в том, что в уравнении Х ° ды+ии(х ч) ти дттдхи 0 т,и операция дифференцирования по времени заменяется оператором р, и уравнение приобретает вид Х ег'и (х, и) а„ры „' =0; ы,и (6) 11 Дальнейшей разработкой этого вопроса занимались Н.

Я. Сонин и П. А. НекрасЬв (работы опубликованы в журнале «Математический сборник» в 1868 — 1888 гг.). зто уравнение рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение по переменному х с параметром р. Строгое обоснование операционного исчисления было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным пре- ОСНОВЬТ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 473 образованием Лапласа ) Г(т)е Р'г(т и операционным исчислением.

Окао залось, что при преобразовании Лапласа оператор дифференцирования заменяется операцией умножения на некоторую комплексную величину. Впервые строгое обоснование было дано Эфросом и Данилевским в монографии <Операционное исчисление и контурные интегралы», вышедшей в 1937 г. Эфрос и Данилевский установили ряд новых соотношений и правил операционного исчисления, а предложенная Эфросом теорема является эффективным способом для нахождения начальных функций по изображениям.

Большой вклад в развитие операционного исчисления внес В, А. Диткин, который дал обоснование операционного исчисления на основе современных математических представлений. Таким образом, операционное исчисление в настоящее время является вполне совершенным математическим методом. Успех операционных методов состоит в том, что эти методы в большинстве случаев являются наиболее прямыми методами; они значительно сокращают технику вычисления.

Во многих случаях, когда решение классическими методами получить наиболее трудно, операционными методами оно получается наиболее просто. Пользуясь операционными методами, многие проблемы, представляющие исключительные трудности, можно быстро и эффективно решать, что имеет большую ценность для инженера и физика. Нахождение температурного поля твердого тела в задачах теплопроводности связано с решением дифференциальных уравнений с разнообразными краевыми условиями. Необходимо иметь способы эффективного решения этих задач с целью практического использования.

Характеристики

Список файлов книги