Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 68
Текст из файла (страница 68)
д. Повторяя этот процесс несколько раз, можно получить решение с любой наперед заданной степенью точности. Для упрощения положим с( = сопз1; тогда (8) можно переписать в следующем виде: )ехр [ — ) Ч (9) ) ехр[ — ~ ~~ — дч 1 о о где Л* = — =Л*(0). Л Ло (10) х Ло Здесь т1 =, ао = — (Ло соответствует начальному значе2у'ах' о ст нию температуры Т,). При постоянном значении коэффициента теплопроводности (Л=Л,= — --сопз1) соотношение (9) переходит в решение 0=ег1 1, (11) 6 = 1 Л(~ ) йТ' д Лв(то) т, (12) которое является первым приближением для начала расчета.
Используя (11) для равных интервалов изменения ч1, найдем соответствующее им значение 0,. Следует при этом иметь в виду, что уже при т1.= 3,0 с точностью до пятого десятичного знака ег1ч1 =! и, следовательно, в материале устанавливается стационарное распределение температуры. Тем самтям определяется целесообразный интервал изменения т1. Для каждого из найденных значений 0, оцениваются значения Л' по формуле (10). Подставляя эти значения в (9), по любым формулам численного интегрирования (если интегрирование нельзя осуществить непосредственно) определяем для выбранных ч1 новые значения 0,. После этого процедура расчета повторяется снова для получения приближений 0„0„... до тех пор, пока отличие между следующими друг за другом приближениями не даст результата с интересующей нас точностью.
Это соответствует приближенному интегрированию методом прямоугольника. Применение других методов аналогично. 2. Для численных расчетов нелинейного уравнения переноса (1) на электронносчетных машинах или аналоговых моделях желательно уравнению (1) придать другой вид.
В этом случае целесообразно использовать подстановку 450 Глава тринадцатая ~а(Т)д ~ (16) где а(Т) = — ),(Т) . 1 Рассмотрим неограниченную среду. Пусть потенциалы переноса тепла (температура) удовлетворяют начальным условиям Т(х, О) = Т, при х( О, (17) Т (х, О) = Та при х > О, (18) а козффициент температуропроводности а(Т) является линейной функцией температуры: а = а[1+ — «(Т, + Т,) — «Т). Здесь а соответствует значению коэффициента а при среднем значении температуры Т = — (Т, + Т,).
Используя подстановки 1 2 1 1+ — а (Та + Та) — «Т Ф= 1+ — '. (Т, Т,) 2 1 1'»'» 2 ~1 + — а (Та — Та)( ( «а ) '* уравнение (1б) можно преобразовать в уравнение ««(» 21 е(» а(1» )Г( Ж (19) с граничными условиями у=1 при 1=+ ф =ба при где 1 — — (Т вЂ” Т ) 2 Ь— 1 1+ — а (Та — Та) 2 Максимальное отклонение результата расчета по формуле (15) от расчета с учетом последующей аппроксимации не превышает 3% (5'С). Аналогичные решения были получены для линейного характера изменения коэффициентов ) и с от температуры Т как для полуограниченной, так и для ограниченной среды (30, 97).
Сравнение полученных результатов с точными решениями во всех случаях дало хорошее совпадение. 3. Рассмотрим теперь ряд специальных подстановок, используемых при решении нелинейных уравнений переноса, когда коэффициенты проводимости линейно или экспоненциально зависят от температуры. Если принять с7 = сопз1, то уравнение (1) можно переписать в следующем виде: ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИПИЕНТАХ ПЕРЕНОСА Численное решение уравнения (19) получил Р. Стоке [115].
Тот же случай линейной зависимости коэффициента температуропроводности т а= а»в то был рассмотрен П. Я. Полубариновой-Кочиной [62). Действительно, для полуограниченной среды с условиями Т(0, «) =Ть, Т(х,О) =О путем подстановки 2 (ао«) н уравнение (16) преобразовывается в уравнение 2$ — +( — ) + — =О. ВВ» ВВ»» сРВ вВ [ аВ ~ Здесь В = Т1Т«. Дальнейшее упрощение уравнения может быть достигнуто подстановкой» =- В»; тогда (20) принимает вид (20) — — 0 в«а ~ — вВ с граничными условиями »=1 при 1=0, при »=О Если в полуограниченной среде, удовлетворяющей условиям Т(х, 0) = Т„Т(0, «) = Т„, (21) а =- а„ехр [р(Т вЂ” Т„)] (индекс «п» характеризует значение параметра на поверхности), то после преобразования получим уравнение — ( ' — )-!-2! — ' — О, где 1= ' ш; г=8(Т вЂ” Т„). (22) !! Ввиду условий (21) и (22) интегрирование здесь следует выполнять, начиная с Г.
= 0 и « = О. Более детальная методика численного расчета и его результаты, а также и некоторые другие преобразования, используемые при существовании экспоненциальной зависимости коэффициента температуропроводности от Т, приведены в монографии [94]. Итерационный метод Ньютона — Канторовича. Имеется много методов решения общих нелинейных задач. Укажем только итерационный метод Ньютона — Канторовича [28а], идею которого изложим очень коротко.
15« коэффициент температуропроводности а следует экспоненциальной зависимости 462 Глава тринадцатая Пусть имеется некоторое приближенное решение нелинейного уравнения и(Х, у,..., я). (23) (24) В РезУльтате подстановки Гн в УРавнение и сохРанениЯ только членов со степенями а' и а в разложении Тейлора для поправки получим уравнение при краевых условиях (аЬ|„)„= Та — ~, д(-), (.Ч,), = т, — ~,,(()). В дальнейшем после решения задачи (25), (26) такую же операцию СЛЕДУЕТ ПРОВЕСТИ ДЛЯ ПЕРЕХОДа От Г" К Г'„д — — Гн+адГн~д И т. Д. ПОД- робное описание дано в [28а). (26) Представим следующее приближение в виде и + ади. Подставим его в уравнение (и в краевые, начальные или другие условия) и разложим в ряд по а, сохранив только линейные члены. Тогда относительно ахи получится новое уравнение с коэффициентами, зависящими только от независимых переменных.
Разрешив это уравнение, возьмем в качестве исходного приближения (и+ааи) и повторим процесс. Особенностью метода Ньютона является чрезвычайно быстрая в отдельных случаях сходимость, так что обычно применяют не более двух-трех итераций. Оценка погрешности в этом дн и случае имеет вид — д(' при некотором ~ц~ (1 вместо д при обычных итерациях. Следовательно, сходимость действительно очень быстрая. В оценке д при этом участвуют вторые производные от коэффициентов в уравнении и граничных условиях по неизвестной величине и оценка для общего решения линейных задач в промежуточных приближениях. Повышение точности достигается за счет того, что на каждом шаге ставится новая, уточненная линейная задача (а не учитываются только неоднородные члены линейного уравнения).
В случае, если вторые производные коэффициентов не существуют (или очень велики)„метод Ньютона теряет свое преимущество. Следует заметить, что при решении общих линейных задач, получающихся на каждом шаге метода Ньютона, приходится применять различные приближенные методы. Поэтому применение метода для эволюционных, нестационарных задач не всегда рационально, поскольку при приближенном решении по шагам имеется возможность вносить поправки на нелинейность на каждом шаге Наиболее перспективно использование метода Ньютона для краевых задач, например для задач стационарного и квазистационарного нелинейного переноса, в том числе и в многомерных областях, особенно если их решать на ЭЦВМ.
В качестве примера запишем схему метода Ньютона для уравнения (5) при ст = сопз(. Пусть имеется некоторое (исходное или предыдущее) ,пРиближение Гн д; пУсть следУющее пРиближение Равно Г, = Г» д+аВДн. ТЕПЛОПРОЕОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЗФФИДИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 453 Е Й НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ На примере ряда решений нелинейных дифференциальных уравнений теплопроводности покажем влияние нелинейности коэффициентов переноса на распределение температуры.
1. Пол уогр а ни чен н а я среда. Имеем а (Т) = ' (а„) — постоянные). 1 — ЛТ Краевые условия имеют вид Т(х, 0) = О, Т(0, т) = Т„. (2) Введем новые переменные 0 = Т7То А (0) = а (Т)(ао' (3) 2 ~/' ао~ тогда уравнение (16) 3 4 превратится в обыкновенное дифференциальное уравнение — 2$ — = — ГА (О) — 1, 30 А0 [ А0 3 а краевые условия (2) — (3) примут вид 0 =0 при 0=1 при 0=0. Кроме того, А(0) = (а =)Та). Введем новую переменную (4) ~А(0 )А0 А" = ) А(0) А0 а (5) с условиями у=О при (8) а=1 при 6=0.
(9) р связан с а соотношением р = — 1п(1 — а). В настоящем решении Л и а предполагаются положительными и 0 ( а (1. Следовательно, (1>0. Введем далее подстановки, определяемые соотношениями — = — ~р; ехр ( — ))д)73 = д. Ад АЕ (10) и, подставив ее в (4), получим 1п (1 — а0) !п (1 — а) = й'. (6) Новая переменная (5) превращает ранее полученное дифференциальное уравнение и краевые условия в уравнение — 21е — 00 — — "а (7) Ж АР Глава триеадцатая 454 В этом случае уравнение (7) примет вид доя 2 4 — = — —. дц' Рт В результате интегрирования последнего уравнения находим 2 1п д + С, = — ~ (Со + — г' — — 1п г) о(г, 4 о где Сг и Со — постоянные интегрирования.
1 Из (8) и (10) следует, что ~р-+0 при д-о- —. Это условие позволяет определить С, в уравнении (11). С учетом выражения для С уравнение (11) примет вид тЛ'о 1 о 4 1 — ЬЧ 1п рд = — ~ ~Со+ — г' — — 1пг~ йг. 4 о Из условия (9) далее следует — ~ = 0; д = ехр ( — р)/р. ав дд (12) Подставляя этн условия в уравнение (12) и выполняя небольшие преобразования, получим Со= — 1по; в= ~ — ~ 4 / ~ я),= — ' о и уравнение (12) с учетом значения С, запишется так: и 1пг = — ) (иг — 1 1пи',) нг/и„ о (13) где г = (цр)'~, и = ~р/(о )/д ) и = 8/(роа) — новые переменные.
Уравнение (13) используется для нахождения р и, следовательно, неизвестного параметра о как функции от данного параметра р, определяемого соотношением 1 р = 2) (и' — и1пи') нНи. (14) о Соотношение (!4) получается из уравнения (13) с учетом условия, что Ч'/)' Ч = о при 4= . Интеграл (14) устанавливает связь между параметрами р и р. Для определения р по заданному р необходимо численно решить уравнение (14), например, путем приближенного интегрирования. Из уравнения (7) и последующих условий определяется выражение для 1 в зависимости от и и т: ТЕПЛОПРОВОДНОСТБ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 455 Исключая из него г с помощью уравнения (13), получаем и [(и' — м!пив) Б — и[ ехр [ (и' — р.!пив) ~*(1и, . (15) (2и) "* 1 ( а о С другой стороны, комбинируя второе соотношение (10), уравнения (13) и г =- (00) ~*, находим выражение для я: д = — ( (иг — ! !пив) 'г(и,.
1 о С учетом соотношения (6) получаем окончательное выражение для 0: 6= [! — р[ — 21( ',— р! ° ',! ~м,)). ((6( о Необходимо заметить, что параметр и в приведенных уравнениях связан с данным параметром р соотношением (14). Это решение было получено в работе [991, где указывается, что решение при постоянном значении коэффициента (а = р = Л = О) превращается в хорошо известное реше- оо ние с функцией вероятности. Метод решения для заданного и состоит в о, следующем: од 1) численным интегрированием уравнения (14) оценивается значе- -гл -(л -ьо,а о оо (о (о го гд (аи ние р и, следовательно, находится а по соотношению р = — !п(1 — а); Рис. 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
