Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Для удобства выполнения расчетов Ш. Н. Плят [60[ при условии а, =- о, Лг яг го,о г,о СО 3,5 3,0 2,5 2,0 г,5 Рг' г 3,0 О,з Я,о О,з 3,О ОЛ 2,0 2, 0,2 г,о 2,5 2,0 2,5 3,0 3,5 «=и./и, г,5 2,0 2,5 З,О 33 ««яг/К, Рис. 11.2. Зависимость корней характеристического уравнения И! и рз от « = = 11г«гЯ! для разных значений В1!. Рис. 11. 3. Зависимость коэффициентов А! н А, от « = 1««!10! для разных значений Вг!. Т (г,гр,2,0)=7" (г,гр,з), (32) дал графики первых двух корней рг уравнения (23), коэффициентов А, а также функций Уз (к[«ы) для значений критерия В1, = а ге! = 1 —:10 и отношения х = )[гвЯ! = 1,5 —:4,0; эти зависимости приведены на рис.
11.2 — 11.4, Другие решения полного осесимметричного цилиндра как при постоянной, так и переменной температуре среды можно найти в работах [60, 61, 17[. Осенесимметричный ц илиндр. Рассмотрим общий метод решения осенесимметриг!нзго дифференциального уравнения (1). Следуя А, П. Прудникову и Р. И. Гавриловой [10), для уравнения (1) при весьма общих'краевых условиях ДВУХМЕРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ дТ (г, л,о, с) с,а з,б з,о 2,5 2,0 <л дг г, <р, ч; ор -и Т(г, р,й)=Х(, р, ); (33) дТ(Р, т, г, с] дг о,б +ТЯ, <р„г,с) =О (34) о решение в виде ряда ад [Т< '>гйп т'о+ сл=< а 1 Сд 2,О 2,б З,а З,б = аст, ->- Т' созтср]. (35) Представив аналогичным образом функции и>, Т, с[> и Х, сведем рассматриваемую задачу к решению дифференциального уравнения дТ<С> ГдЗТ <2> 1 дТ<с> сл лс 1 сл дс ~ дгз [ г дг =а~ дсТ<2>< при краевых условиях Т<с> (г, и, О) =- )<о (г, г); (37) дТ ф(г, О, с) == ф<с> (г, *); Т <О (г, 1, г) = Х<2> (г, ); дг (38) дТ<'> (Р, г, с) + Т<'> (ХГ, г, с) = О (с == 1,2).
(39) Дальнейшее решение задачи можно вести по-разному: используя специфические для атой задачи конечные преобразования Ханкеля, как зто делает >"[. В. Елистратова [26), тогда решение получается в виде рядов по собственным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля; разлагая входящие в (37) — (39) функции в ряд Дини — Бесселя (40) Т<'> /,„(р „гlЯ) гс]г, (41) о где Т<'> (г, с) = 2 лсл ' ссРз [У (и „]]3 р „ вЂ” корни уравнения тху' (х)+а/ (х) О (42) будем искать Фурье: Т То 2 Рис. 11.4.
Значения функций Оо=-(>сс г), Оо= (>с, ) н <>, (р, ~~" ) для разных заачеаий В>с и х = Ргс Рс 421 ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА Многие процессы теплообмена связаны с изменением агрегатного состояния или физико-химической природы материала. При этом теплофизические коэффициенты тела изменяются скачкообразно, и для переходов требуется теплота плавления (сорбции, испарения) или теплота химических реакций. Решение подобного рода задач имеет большое практическое значение в металлургии, строительной теплотехнике и в других прикладных дисциплинах.
Из многочисленных задач, относящихся к этому разделу, остано- вимся только на задачах по промерзанию влажного грунта и затвердеванию металла. 5 1. ПРОМЕРЭАННЕ ВЛАЖНОГО ГРУНТА Постановка задачи. Влажный грунт находится е талом состоянии и имеет некоторое заданное распределение температуры ~(х). В начальный момент времени на поверхности грунта внезапно устанавливается некоторая температура Т(0,«) = ц~ («), которая при всех изменениях всегда ниже температуры замерзания Т,. В результате образуется промерзший слой переменной толщины 1 =- Г («).
Нижняя подвижная граница его всегда имеет температуру замерзания. На этой границе происходит переход из одного агрегатного состояния е другое, на что требуется теплота перехода р (дж1кг). Таким образом, верхняя граница (х =1) талой зоны имеет постоянную температуру замерзания, а нижняя граница (х = 1) — некоторую постоянную температуру грунта на большой глубине его. Часто нижнюю границу талой зоны принимают лежащей бесконечно глубоко (1=- ). Коэффициенты переноса промерзшей и талой зон различны.
Предполагаем, что перенос тепла в грунте происходит только вследствие теплопроводности. Таким образом, задачу математически можно формулировать так (рис. 12. 1; индек с «1» относится к промерзшей зоне, индекс «2»вЂ” к талой): Глава двенадцатая 422 дтс (х ') дзгс (х ') ( д =и дх дТ, (х, т) дзТз (х, с) дт дхз (2) Т, (х,О) = 7" (х) [так как с (0) =- О), Тт (О, с) = ср ( с), Т,д, т) =Та(%, т) =-Т,=сопз1, ) 0 дх (3) (й) (5) (6) На границе раздела дТ, (с с) дТ, (~ т) с1с дх в дх (7) где (сс' — влажность грунта (масса влаги в единице массы абсолютно сухого грунта; кг!кг)с1, Т, — плотность грунта (кг/мз). В промерзшем грунте имеются две зоны (мерзлого и т,СО,т1= Вссс талого грунта), изменение тем пер атуры в которых описывается уравненияОс ми теплопроводности (1) и (2) и граничными условиями (5) и (6).
Таким образом, задача о промерзании грун- О та может быть сформулирована как зад"ча о сопряжении двух температурных полей при наличии особого граничного условия на движущейся границе раздела. Задача несколько упрощается, если считать, что температура талой зоны везде одинакова, не изменяется в процессе теплообмена и равна Т, = Т,.
Физически это означает, что талая зона представляет собой жидкость, в которой благодаря совершенной конвекции имеет место постоянство температуры. В этом случае задача промерзания грунта сводится к задаче образования льда в стоячей воде. Тогда условие (7) приобретает вид дТ, (С,т] дс дс 'г')в дх дс Рис. 12.1. Распределение температуры при промерзании влажного грунта (8) Основная трудность решения задачи состоит в том, что условие (7) или (8) относит ее к классу нелинейных задач, т. е. к задаче с нелинейными граничными условиями. Решению этой задачи посвящено более 50 оригинальных работ.
опубликованных за последние 100 лет. Весьма распространено мнение о том, что впервые задача о промерзании грунта в простейшем виде была решена венским математиком Стефаном. Впервые такая задача была решена в 183! г. членами Российской Академии наук профессорами Ляме и Клапейроном.
При реше- ') Предполагается, что вся влага грунт с замерзает при одной и той же температуре Т„т. е. является свободной влагой. ПОЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА 423 иии задачи ими было принято Т, (х, 0) = Т, = сопз[ (начальное условие) и Т, (О, т) = 0 (отсчет температуры производится от температуры поверхности). Решение Ляме и Клапейрона. Ляме и Клапейрон решили упрощенную задачу [граничное условие (8)], предполагая, что температура воды равна температуре замерзания, т.
е. Тг($, т) = Тз (х, 0) =- Тд — — Т, = сопз1. Если положить Тг(х, т) = Ь (и), где и =, то после подстановх ф ки в уравнение (1) получим РЭ и аЭ а + —, =О. аий 2 аи (10) Обозначим аЭ вЂ” = г. аи Тогда уравнение (10) можно написать так: аг 1 — + иг= О. аи 2а, (12) Решение уравнения (12) имеет вид г = Аехр ( — — и), где А — постоянная интегрирования. Далее, на основании (11) получаем х/1~ Т,(х, т) =А ~ ехр( — — "' )да+В. Ь 4а1 Из условия Т, (О, т) = 0 следует, что В = О.
Итак, Т,(х, т) = А ) е г[и. о (14) А — '-ехр ( — — ) = — р. рт (, 4а1) 2 (15) Из граничного условия иа поверхности раздела (х .=-1) следует: Т, = Т, = А ) ехр ( — ) г[и. а 4и1 (1б) Тогда из соотношений (15) и (16) можно определить постоянные А и р. Воспользуемся граничным условием (8), при этом положим $ =- ~ ~/т. Тогда получим следующее соотношение: 424 Глава двенадцатая Таким образом, решение задачи окончательно будет иметь вид ег1 Тт (х, с) 2 )т атт (17) т;-О' 2 1тас 112 Лстс ехр ~ — — ~ 4ат ~ = рта . (18) рт ат ет1 ~ Решение Стефана. Задача решается при краевых условиях (3) — (7), причем принимают 1(х) = Т„ср(т) = = Т, =- сопз1 (рис.
12.2), т. е. Та(х, О) = 7'(х) = Т,, (19) Т,(0, )=Т,. (20) -т Рис. 12.2. Распределение температуры по глубине грунта в процессе промер- аания Т,(х, с) = А, + В,ег1 2 р'атт (21) Т, (х, с) = А, + В, ег1 2 г' асс Постоянные А, и А, находим из граничных условий (19) и (20): Ад =- Т Аа = То — Вт. (22) Следовательно, имеем Т,(х, т) = Т, + В,ег1 2 )/атт (23) т,с*.о=т, а,(с 2 Рт асс (24) Из условия (5) следует: Т, + В, ег1 = — Т, — В, ег1с = Т, = сопз1.
2 статс 2 1/аст Так как В, и В,— постоянные при любом значении т, то очевидно, что величина — должна быть постоянной, т. е. "р' с (25) где р — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость углубления зоны промерзания. Если величина 5 = Г(т) будет достаточно большой, то поставленная задача будет аналогична задаче охлаждения системы тел (составной полуограниченный стержень), на границе соприкосновения которых поддерживается постоянная температура и имеется отрицательный источник тепла. Поэтому решения дифференциальных уравнений (1) и (2) ищем в виде ПОЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА Таким образом, получаем То Тс Вг = ег1 2 )газ гг То — 7'в в ег1с 2 р'аз Следовательно, решение нашей задачи имеет вид: ег1 Т,(х, с) = Т,+(Т,— Т„) ег( 2 г'аз (26) Т (х, с).=-Т— (Т, — Т,) х ег1с 2 Р' азз 2 )/аз (27) Коэффициент р определяется из граничного условия (7), т е. из следующего характеристического уравнения: (30) Лг (Тз — Тд ( Рз ') Лз (То — Тз) ~ Дв ') рното )l е ехр ( — — )+ — ехр 1 — — ) = — р.
(28) аг ег( )Газ ег1с 2 )/аг 2 1/ ав Анализ решения. Предположим, что Т, = Т„что означает образование льда в стоячей воде. Если функции ехргз и ег1г разложить в ряды и ограничиться первыми членами, то получим Я = 'У "* (Т,— Т,), (29) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
