Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Требуется найти распределение температуры внутри цилиндра. Имеем ДВУХМЕРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ 411 ~с.— слс.()с — ' Ос о ( $/ — дс) ! Илл 2~о до( р ) (Тс — То) 2 Х Н'о( + — "„) Гс(и ) (4) где Р„ — корни характеристического уравнения )о(сс) =- О. Пользуясь таблицей изображений, находим г Т(с,г, с) — Т, т, ('" Й/ ( м ег1 ' + ехр /Є— 1ег1с( ' + р„'1/р'о) + 2 )ссссо "и) (2)'лс + ехР( — Рл — )ег1с( — й, 1с Ро) ), (б) ас где Ро = —, — число Фурье.
д>о Рассмотрим аналогичную задачу. В начальный момент времени конец цилиндра мгновенно принимает температуру Т„ которая поддерживается постоянной. С боковой поверхности происходит теплоотдача по закону Ньютона в среду с температурой, равной начальной температуреТ,. Дифференциальное уравнение и начальное условие остаются прежними. Граничные условия можно написать так: Т(г, О, с) =То д +Н(Т(Н, з, с) — То) = Ос (6) т(о,г, )+ дТ(с, 'с' =О. дг (7) Решение данной задачи производится аналогичным способом, н резуль- тат имеет вид 2нсто(нл ~> ) ( ) Го(ил) (Вс'+ ил) Т(с,о, ) — Т Т„вЂ” Т вЂ” ех р ( — Є— ) ег1с ( Р„$Г Ро — )1, (8) где рл — коони характеристического уравнения Го Ь) ус(л) Рй ' (9) Тем же методом можно решить трехмерные задачи по нахожденшо стационарного температурного поля.
Глава одиннадцатая $ А ЦИЛИНДР КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ 412 Дифференциальное уравнение теплопроводности для круглой трехмерной цилиндрической области в цилиндрических координатах г, ~р, г имеет вид дТ / двГ ! дТ д'Т 1 д'Т! 1 <Ъ ( дсв + г дг + дг' + с' дт')+ ст — О, Т (г, (, т) = !р (г, т), (3) Т (г, г, 0) = Г (г, г) . Решение этой задачи можно получить различными методами, в частности используем конечные интегральные преобразования Лапласа путем совместного применения интегральных преобразований Фурье и Ханкеля. Для простоты последующих выкладок запишем уравнение (2) и условия (3) в безразмерной форме: — = — — (Х вЂ” ) + Ь' — + Ро (Х, У, Ео) .
(4) В(Х, г, О) =Р(Х,2), до(! г го) К1(я Ео) ) =0; В(Х, к, Ро) =Ф(Х, Ео), дс Если имеется симметрия относительно оси г, то оператор — тождестд дЕ венно равен нулю, тогда получим дТ I двТ ! дТ д'Т! ! — =- а !! — + — — + — — ) + — ю (г, г, т) . дс ( дгв г дг дев ) ст (2) Если, кроме того, рассматриваемый цилиндр имеет достаточно большую длину, а начальные и граничные условия таковы, что параллельные сечения цилиндра, нормальные к его оси, имеют одинаковое распределение температуры, то оператор д1дг также тождественно равен нулю. Осесим метр ичный цилиндр.
Приведем решения уравнения (2) при граничных условиях первого, второго и третьего родов. Необходимость в решении таких задач возникает при исследовании самых разнообразных вопросов, например при моделировании тепловых процессов в активной зоне ядерного реактора, при рассмотрении тепло- отдачи тепловыделяющих элементов реакторов, в вопросах теплообмена трубопровода с грунтом, массопереноса, сопровождающегося химическими превращениями, через цилиндрическую пористую среду и т.
д. 1. Рассмотрим решение уравнения для конечного цилиндра длиной !' при граничных условиях второго рода на боковой поверхности. Для определенности положим, что один из торцов (г = 0) изолирован для переноса, тогда как температура другого является функцией времени и радиальной координаты, т. е. ищем решение уравнения (2) при следующих краевых условиях: ДВУХМЕРНОЕ ТЕМПЕРА ТУРНОЕ ПОЛЕ 413 где О = (Т вЂ” Т*)~Т* — безразмерная температура (Т* — некоторое начальное значение температуры, фиксированной для определенной точки цилиндра), Х = гЯ; Я = яИ вЂ безразмерн координаты; Р(Х, Л) = Ц(г, г) — Т*) (Т*; Ф(Х, Ро)= т ' ),; Ь =— ДЗ Ро(Х, Л, Ро) = —, ю(», г, т) — критерий Померанцева, К1(2, Ро) = = — т„д(г, т) — критерий Кирпичева. Воспользуемся по переменной Х конечным интегральным преобразованием Ханкеля (Т(Х, Я, Ро))„= (Т)„=- ~ ХУ, (РХ)Т(Х, Л, Ро) дХ 'о и формулой обращения Т(Х, 2, Ро) = 2~Р ',' (Т(Х, 2, Ро)) У~~(и) (8) (9) где в — положительный корень характеристического уравнения .1,®= — -0; а по переменной Š— конечным косинус-преобразованием Фурье (Т(Х, Я, Ро))„, = (Т)„, = ~ (Т) соз (и -1- — ) Ъ~2 (10) о и формулой обращения О (Т(Х, 2, Ро)]н —— - — ~~ (Т)н, соз(и+ 2 )2.
ь=О Х ехр( — ~1' + Ь'(и+ — ЦРо) (Р(Х, 2))„, + го + ) ехр ( — ~ и2 + Ь~)и + — ) 1(Ро — Ро*)) [У~ (р ) (К1(2, Ро*)), + о +( — 1)" Ь |и+ — ) (Ф(Х, Ро*)), + (Ро(Х, Л, Ро"))н,) ЫРо ~. (12) Если положить в (12) 7(г, г) = р(г, т) = Т, и принять Т* = Т„то найдем Согласно приведенным преобразованиям получим решение задачи в следующем виде: Глава одиннадцатая СО ОЭ га т — то . 4 ЧГЧ /о(Е Х)['%! 0 =- — ...: — ', '" ~ соз,я„2 ( ехр [ — (по + м=) н=о о .(! ~)(ге — В )([ц(„„)[К (22,), 2!В) о г ! .(. („.~.у[[ну,(,„А)Р,(х,л,в, )ЙХ1ве(вв ), ((2 ) о о где р„-: (2п + 1)(2 (и -- О, 1, 2,...).
2. Рассиотрии теперь решение у'равнения (4) при выполнении граничных условий третьего рода на боковой поверхности ((илиндра. Пусть краевые условия задачи имеют вид + — [Т(Я, г, !) — Т,) — О, дт (х,о,.) — О, Т (х, 1, я) =- Т;, Т (х,г,О) -= Т„ или в безразмерной форме: 0(Х Л 0) '-= Оо "((,~~ "' + В 0 (1,2, Ро) =- О; (13) (14) — == О; О (Х,я, Ро) = О. дО (Х,О, Го) дЛ (15) В уравнении (4) и условиях (13) — (15) в отличие от предыдущей задачи безразмерный потенциал 0 имеет вид 0(Х 2Ро) т — т.
кроме того, 0(Х,Е,Ро)= Оо~ 02(, !' Ро)((Яо~~~~ )2 ' 2с г т=! а, 2 ОЭ .(,(Е„Х) 4 Ч " Го(И Х) ~ ~ Х ' " + — 2, 2„вдо ' 2 ) 2 СОЗПнЯ Х м=! ! и=о го х ~ ',Ро (Х, Я, Ро')) н, ехр [ — (о' + Ь') „2) (Ро — Ро*)) йро" ), о (16) о то — то . ар Оо =- В(= л т, Применяя к уравнению (4) и условиям (13) — (15) последовательно преобразования (8) и (10), найдем обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение в изображениях.
Решая его и выполняя обратные интегральные преобразования (11) и (9), после некоторых упрощений получим окончательное решение: ДВУХМЕРНОЕ ТЕМЛЕРАТУРНОЕ ЛОЛЕ 415 где [Ро (К,Л,Ро)) но = ~ [ ~ Х7о (р. Х) Ро (Х, х., Ро) о(Х! соя(о„Лс(Л, о о а р — положительные корни характеристического уравнения оо(р) (х! .г'(о) В! и„ =- (и = О, 1, 2, 3, ... ). В (16) введено разложение для тета-функции 0,: 00 9, ( 2,! Ро ) = 2 ~ ( — !)" ехр [ — Ь'(о„'Го! з!пр„2. о=о Рассмотрим некоторые частные случаи решения (16), Для некоторых высокоинтенсивных теплообменных процессов источник тепла (критерий Померанцева) можно аппроксимировать следующим выражением: Ро (Х, Я, Го) == Ро, [1 — ехр ( — р Ро)) 1, (р,Х) з!пх., (1 7) 2 Ь Ь сЬ -'- — "' (2х — 2) — яп2 5)! 2 — т- я Ь с)! ! Ь Ь ои т т Ь сл ~ ~" Ь (.— 2) Ь ехр ( — рро) ~4+ Ь' — Ь У .' — р Ь со т (2оо — 2) Ь з!п2 + — —,ехр (--р.
Ро) Х 2 Ь вЂ” 2 ехр [ — Ь'!хо Го)сох н„2 х~,, „(, А)(, 4 ~)~ где р, — наименьший положительный корень бесселевой функции нулевого порядка 7о (р.,) = О (р, = 2,405). Из соотношения (!6) с учетом выражения (17) и формулы суммирования Пуассона для условия рх > р получим [57): Нт а т=! 2 х 'го (нт х) [-2Ро оо У ( )Тх !"т,Го (итх) 7о (!'т) х ! (!ое + В)о) (!от — н,) го (!от) т.=! 416 Глана одиннадцатая Если и' < р, то в (18) следует всюду произвести замену ~' н~ — р на !1лр — р Приведем некоторые другие решения для более простых краевых условий, чем (13) — (15). Если переносом через торцы цилиндра можно пренебречь по сравнению с переносом через боковую поверхность, то выражение (15) принимает вид дО(Х,О,Го) дз (Х,е,Го) (19) дх да и решение, аналогичное (16), можно найти посредством обычного конечного косинус-преобразования Фурье: ех — х о л' Р 2 ~~ еХР( — !лтеа) ло()лтХ) 2 ~ Нт а~~+ В)е,)о(ит) а )л~~+В)е т=! т=! во "г Х вЂ” ' — ~ — ехр( — ]хоРо)(~ехр(роРо* ) ( )(~ХУо(! тХ) Х о о Уе(р.
Х) 4 у Н ло(!л Х) 2 Р ) )о(нт) т ! ао + В!,)е (!л ) ехр — )!о о Х т=! Х [ )„ехр( — ЬеиоРо)сбп (пУ)~ ехр [(Но +Ьопо)Ро*]Х л=! о ! Х ~ ( ~ ХУо(РтХ) Ро(Х, Я, Рот) о(Х) з!ппЪЫ е(Ро* ~' (21) о о Некоторые другие случаи решения рассматриваемой задачи с источником вида (17) приведены в работе Т. Л. Перельмана. Отдельные решения уравнения (2) или (4) при отсутствии источника приведены в монографиях (30, 46]. Необходимо отметить, что решения без источника можно получить наложением решений частных задач. Например, для конечного цилиндра это будет наложением решений для неограниченных одномерных цилиндра и пластины. ОЭ Х Ро (Х, Я, Ро ') е(Х) Ы] о(Ро* +~ ех р ( — Ьо пе Ро) созпл, Х и=! го ! Х ~ ехр (((ло + депе) Ро*] ( ~ ( ~ ХУо ()е Х) Ро (Х, Я, Ро*) о1Х) х о о о Х созп ЪЫ) о(Ро*].
(2О) Если температура на торцах равна нулю, т. е. 0 (Х, О, Ро)= = 0 (Х, ш Ро) = О, то решение задачи можно получить, используя конечное синус-преобразование Фурье: =о ДВУХМЕРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ 417 Методика определения нестационарных полей температуры для полого осесимметричного цилиндра не отличается от методики решения сплошного цилиндра. Однако в этом случае вместо рассмотренного конечного интегрального преобразования Ханкеля (8) следует использовать другие его формы.
Например, если на внутренней и внешней боковых поверхностях цилиндра заданы граничные условия третьего рода, то следует использовать преобразование аа (Т(г« ')[и =-' ~ Т(«а о) гио ([о, «1йо) ол« (22) Яо где ио(р «я!) = [уо (р )+ тм р Тл(и )))'о (р «1й!)— 1 1 [)оОЬ ) + 01, )о~ (1! )! [О (Р Г!!то)' ио, — корни уравнения -~«' — — — н.
(и! = 1, 2, ...), 1)о Ьт) + Н! [от У ! (1от)[ У о ([от~Ж) 1 В1,=; В!х —— о!оЙ1, ' о!202 . Ео л ' о л х =— Формулой обращения для преобразования (22) будет т (,, ) = ~ 2 [т[, и, (р.„гя,) г,— ~ "и, (, п=! (24) Приведем здесь только окончательный результат для задачи со следующими краевыми условиями: Т(г, г,0) =-Т„ (25) — ТЯ„г,о)=0; ' '' + „' Т(А'о,г, с)=0,(26) дт(«, О, ') = 0; дт (г, 1, о) + а Т (г, (, о) = — 0 (27) дг ' дг Я! (г (߄— 1 (г (!); его можно записать так [60[: д= ' =1 — ~ ~, А„, А„ио(! «ТЯл) соз Є— К т=! а=! (28) х ехР [ — (И' + дои„') Вол], 14 Заказ «о Яо 418 Глава одиннадцатая где 1/2(«!з ) ~ +~ В )~~ 4 [ 2 В,з '! 2 В11/ ВР + !«2 А„= ( — 1)"+'— И2 (Вг*+ В! + р„') (30) При одинаковых значениях коэффициентов обмена на внешней и и внутренней поверхностях (а, = а, = а) коэффициент А принимает вид (р' +В', ) [ «1/0 ( .„)— «В1! Бесконечная сумма в решении (28) быстро сходится, так что для практических расчетов достаточно одного-двух членов ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
