Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Возьмем простейшую систему, состоящую из двух полуограниченных тел (два полуограни ченных стержня с тепло- изоляцией боковых поверхностей). Начальные температуры тел раз-- ные. В начальный момент времени тела приведень1 в соприкосновение. Найти распределение температуры в любой момент времени. Рис. 10.1. Температурное поле лиух соприкасающихся' полуограниченнык стержней Имеем дТ, (х, х) да Т1 (х, х) =а, д, 1т)0, х)0; (2) Начало координат находится в месте соприкосновения (рис. 10. 1). Краевые условия запишем так: Т, (х, 0) = Г",(х); Т, (х, 0) = Га (х), дТ1 (+ со, х) дТа ( — со, е) д (3) (4) (5) (6) Т, (+ О, т) = Т, ( — О, т), дТа (О, е) 1х дТ, (О, х) дх 1а дх Вначале рассмотрим более простую задачу (см.
рис. 10.1) Т, (х, 0) = Тад -- сопи(; Та (х, 0) = О (За) (отсчет температуры производится от начальной температуры второго тела). Решение задачи. Решения уравнений (1) и (2) для изображений Ты (х, в) и Тса (х, з) при условиях (За) и (4) имеют вид Тю Ты (х, в) — — = В, ехр ( — 1у — х) (х > 0), (Т) а ~ (, а, Тса (х, з) = В, ехр ($/ — !х)) (х < 0). (8) Постоянные В, и В, находим из граничных условий (5) и (6), кото- рые для изображения перепишем так: Ты (О, в) = Тса (О, з), 1а Ты (О, з) = — Тле (О, в).
Глава десятая 366 Тогда решения (7) и (8) можно написать в виде Ты(х з) о о екр ~ 1ттГ х) (х) О) Ко То Тт (х, з) =-= ' ' ехр (-- )т' — ' !х/) (х < О), (1 -1-К, ) о (, $' ао где Кл К, — критерий, характеризующий тепловую активность первого стержня по отношению ко второму; он равен отношению коэффициентов тепловой активности; К~ — критерий, характеризующий относительную Л,1' теплопРовоДность тела (Кх = ~ 1; К, — кРитеРий, хаРактеРизУюЩий ~о теплоинерционные свойства второго тела относительно первого тела, К,=— ао а, В решения (10) и (11) входят табличные изображения, поэтому решение для оригинала можно написать непосредственно: Т, (х, о) К, 1 х 1+ — ег1 (х > 0), (12) 1+К, К, 2)т ато 8 То (х, ) )х) 8о = = ' ег(с (х( 0). То )+К, 2 )' аоо (13) Если начальная температура второго тела равна Т„, а первого тела Т„, то решение будет иметь вид То (х с) Тот К, 8 (12а) ҄— То, 1+ К, Т, (х, о) — Тоо 8, (13а) Тоа — Тм 1 Из анализа решений следует, что при х — (в стационарном состоянии) относительная температура обоих стержней будет оди- накова и равна К, 8 (х, ) = 1+К, Если тепловые активности стержней одинаковы (К, = 7), то относительная температура в стационарном состоянии будет равна 8 = 2 ' ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 367 На границе соприкосновения эта температура устанавливается сразу после соприкосновения тел и остается постоянной на протяжении всего процесса теплообмена (см.
рис. 10.1), так как К, = сопз1. 1+К, 8 (О, ) = 0 (х, ) = =1 (Х=О), =0 (Х =1), может быть названа холодящим эффектом. Если 0 (О, с) то холодящий эффект равен нулю; наоборот, если 0 (О, с) то холодящий эффект максимален. Приведем решение задачи при более общих начальных (71, 72). Предположим, что > дТд (О, с) дх =1 = ' (") условиях (3) (16) — неизвестная функция потока тепла на границе соприкосновения тел. Применим к уравнению (1) бесконечное косинус-преобразование Фурье: ОЭ (Т (р, с)), = 1~ — ~ Т(х, т) соз рх йх.
ч/ 2 о (17) Тогда с учетом граничных условий (5), (6) получим сДТд (Р, с), ад с' 2 = — Р' ад Тд (Р д)с — —, ~l — 1(д). (18) вс — д д с Решение уравнения (18) с учетом начального условия (3), преобразованного по соотношению (17), будет иметь вид с Т, (х, с) — ~ 1д (1) (ехр ~ — (+ о + ехр Г 4о Д й 3 с )' ) ехр ~ 4 ~й (19) о Для определения Т, (х, с) преобразуем область Я ( — ( х «( 0) путем замены переменной х == — г в область й' (О «( г «( ). Решение для Т, ( — г, с) можно получить аналогичным путем 00 Тд ( — г, д) = ) до ( — 8)(ехр ~ — ~ + о Если тепловая активность одного тела значительно больше другого (о, )) о ), то К, )) 1. В этом случае 8 (О, т) будет максимальна и равна 8 (О, с) = 1. Если же относительная тепловая активность тела мала (К, — 0), то величина 0 (О, с) равна нулю.
Следовательно, величина 0 (О, т) изменяется от нуля (минимальная тепловая активность тела) до единицы (максимальная тепловая активность). Таким образом, величина 0(О, с) характеризует понижение относительной температурьд полуограниченного тела при его соприкосновении с другим полуограниченньдм телом. Поэтому величина 1 — 0(0, т)= =Х 1 1 + К. (15) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 369 В уравнениях (26), (27) интегрирование производится по времени.
Если интегрирование производится по координате„то решения (26), (27) будут тождественны решениям (12а), 1За). Решение при наличии источника тепла асс (О, с) = с)о = сопз(. Видоизменим поставленную задачу. Пусть в начальный момент времени температура обоих стержней была одинакова и равна Т, (х, 0)=Т, (х, 0) = То=сонэ(. (28) Начиная с момента соприкосновения, на границе тел постоянно действует источник тепла мощностью с)о (дж)лсо. сек) на единицу площади соприкосновения.
Решения в этом случае будут иметь внд Рис. 10.2. Температурное поле системы двух тел (полуограниченный и ограниченный стержни) 2чо К, 1' а,с Т, (х, с) — То х )ег1с 2)/ ас с (29) 2 во (х! 1 ег1с 2 )' асс К, )с а,с 1 -1- К, Тс (х, с) — Т, Оа (ЗО) Ло То То Введем следующие обозначения: ас с ао с Чох Рос = хо Роа =, К~с = х' Лс То' Чох )г)а = л,т, Тогда решения (29) и (30) можно переписать сга ° ос = — Ео с 1ег1с 1)К, 2 так: 1 )с го, 2 К1с йо = Ро е )ег1с 1+К 2 )' (32) $2. СИСТЕМА ОГРАНИЧЕННОГО И ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛ Постановка задачи. Ограниченный стержень приведен в соприкосновение с полуогра ниченнылс стержнем, имеющилс другие термические коэф4ициенты.
Боковые поверхности стержней илсгют тепловую изоляцию. В начальный момент времени свободный конец стержня мгновенно нагргвагтся до телспературьс Т„которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса нагревания (граничное условие первого рода). Найти распределение температуры по длине стержней. Рассмотрим два случая: а) начальная температура обоих стержней одинакова и равна нулю; б) начальные температуры различны. Глава десятая 370 Имеем (рис.
10.2): дТт (х, х) де Г, (х, х) дх дхе (х> 0; 0<х()т), дТ, (х, х) д'Те (х, х) де е дх' = а (х >О; )т<х( ), (2) (3) (4) Т, (х, 0) = Т,(х, 0) = О, Т,(77,;) = Т,(а ), Лд дТ, (Я, х) дТ, (й, х) (5) Ле дх дх Т, (О, х) =- Т, = сопз1, Т,(, ) =О. (б) (7) Решение задачи при условии Т, (х, 0) = Т, (х, 0) = О. Решения уравнений (1) и (2) при условиях (3) и (7) для изображений функции Т (т, х) будут иметь вид Ты (х, з) = А ехр ()/' в х) .+ В ехр ( — 1/ в х), (8) Тье (х, з) = С, ехр ( — 1/ — ' х). (9) ае Постоянные Аи В, и С, находим из граничных условий (4), (5) и (б), которые для изображений можно написать так: Ты (Я, з) = Тге Я, з)„Кл Ты (Д', з) ==- Т, е (Я, з), (10) Ты (О, з) (11) После нахождения постоянных решения (8) и (9) будут иметь вид Ты (х, з) = —, ехр ( — )/ — х) — ехр ( — ~/ — Я) х ехр ( 1/ — х) — ехр Х ехр ( ~/Г Л1) — аехр (12) ехр Х ехр ( — )/ — Й) т, ехр Тьа(х, з) = — ' ехр ( — 1/ — ')7) ( — 1/ — х) (-~/ й) ' ( 1/ Я) — ехр ( — 1/ — Й) Х ( )/ — Гс) — аехр( — 1/ а) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 871 где ехр ( — ),/ — Е) ехр (1/ — Я) — Ь ехр ( — )/ — Р) 1 — а ехр ( — 2 1/ Я) й" ' ехр [ — (2п — 1) ф/ — й~ л=! (14) иа основании разложения 1 =- 1 + х + хх +..., если ~х~ ~ 1.
Величина К, ) О, а ~й~ С 1; поэтому ряд (14) быстро сходится. Решения (12) и (13) перепишем так: — — й" ' (ехр [ — (2п)х — х) 1/ — ~ — ехр [ — (2п)х + х) )/à — ~), (15) е=! СΠ— Х йе х ехр ( — [(х — 1х) + и= — ! + (2и — 1) )х ~/ — х~ )/ — ). Переходя от изображения к оригиналу, получим — й ') й" ' ~ег1с 2 )l ахх 2аЕ+х 2)Г ахх Тс 2 ТГ а! х — ег1с (17) О Те (х, х) 2К, %х х — Я+ (2а — !)К Н Я п=! 2ф аех (18) где К. = —'.", К Ч =- 1/ —.
1 — К, + !е =., =1' 1,,„. Так как ~й) < 1, то можно воспользоваться следующим преобразованием! Глава десятая 372 Если термические свойства стержней одинаковы (К, = 1, й = 0), то из решений (17) и (18) получим такое же решение, как и для одного полуограниченного стержня: к 2Рсах Решение задачи при условии Т, (х, 0) = Т„Т, (х, 0) = О. Рассмотрим второй случай, когда начальные температуры различны. Граничные условия сохраняются. Применяя тот же способ расчета, получим аналогичные решения, которые будут отличаться от предыдущих присутствием добавочных членов, содержащих в качестве множителя величину 1 Т, для ограниченного стержня и Т, для полуограниченного Е стержня.
В окончательном виде решения для оригинала будут иметь вид а Т, ~,~ )те 1 1 (2п — 1) )1т-х (1 + К, ) (т,— т,) 2 )Га, ОР ч Т,(х, с) 2К, ъ-~ и, 1х — Я+(2п — 1) К' ~'Я1 пв ' ег1с т,— т 1+К, т к — Й 2К, ег1с 4 Х (Тс — То) (1 + К, ) 2 уса х (1+ к ) Огс те) р 2 1/а,х (19) (20) Т (О, ) = Т, + б а. (21) Решения системы уравнений при условиях (3) — (5) и (21) имеют вид здесь введено условное обозначение т Ф (т- г) = — Ф ( — 'г) + Ф (+ г).
Если положить Т, = О, то решения (19) н (20) превращаются в решения (17) н (18). Данную задачу можно рассматривать как задачу на нагревание неограниченной пластины, одна поверхность которой соприкасается с неограниченной твердой средой (граничное условие четвертого рода), а противоположная поверхность поддерживается при постоянной температуре. Решение задачи прн переменной температуре поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
