Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Источник тепла — экспоненциальная функция времени [Ро ( —,, Ро ) = Ро,ехр ( — РсГРо)]; 0 ! — ', Ро ) = — ', [1 — ехр( — РсГРо))+ Ф! —, Ро ). (32) ( гс ' ) Рсг' Глава восьмая 340 7, Источник тепла — периодическая функция времени ~ Ро ( —, Ро) = ! г = Ро, соз Рб'Ро~: 0 ( —,, Ро) =,о; з!и РсГРо+Ф ( —, Ро ). (33) ! г 8.
Источник тепла зависит от времени в п-й степени [ Ро ( й, 1-о) = = Ро,(Рб'Ро)ф 0 ( — ', Ро) = ( ) Росро+Ф( — ', Ро). (34) $4. НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР Постановка задачи. Аналогичную задачу для неограниченного цилиндра математически записываем так: дТ(г. ') ~(д'Т(г ) + 1 дт(г ') 1+ сс (,) О. О < < Л) (1) д =а( д.* г дг ) ст Краевые условия те же, что и для шара. Решение задачи при и = сопз1. Решение для изображения получается в следующем виде: 7 с (г з) ь ьс + т (2) Сравнивая решение (2) с соответствующими решениями (21) й 6 гл. !«1 и (7) 2 3 гл. !«П, находим 0 = 1+ 4 Ро(1 + —. — —,) — ~~~„(1+ —,1А1ь (рл — ) ехр( — (ь~Ро), (3) ил л=! сс«сь где Ро = 1 т — критерий Померанцева. ЦТ, — Ть) Из решения (3) видно, что в стационарном состоянии распределение температуры происходит по закону параболы.
Средняя температура цилиндра равна О = 1 + — Ро (1 + —.) — ~~~! ~(1 + ) В„ехр ( — 1ь~ро). (4) Ил ! л=! ПостоЯнные Лл и Вл и коРни Рл хаРактеРистического УРавнениЯ определяются из соответствующих соотношений для неограниченного цилиндра (см. йб гл. !«1). Решение задачи при и« = и!ье — ь'. Аналогичным методом находим решение в виде г.(ггт~ л ) 1 ПОПЕ С НЕПРЕРЫВНО ДЕИСТВУЮГПИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 341 СО Х ехР ( — РП Ро) — ~~~~ !(1 — ) А„Уо ( )о„—., )ехР ( — )!о Ро).
(5) Рд — ил о 1 Коэффициенты А„определяются соответствующим соотношением для цилиндра. Решение задачи при переменном источнике тепла ге(г, т) и граничных условиях второго рода. Задача математически записывается так: (6) (7) дТ(О, с) (8) Для решения задачи воспользуемся конечным интегральным преобразованием Ханкеля и Тн (р, с) = ( гТ(т, с) То(рг) т(т, (9) о = а)с — Уо Оой) + — ган(р ) чг) 1 о ст (12) где ган(р, ) =- ) га(г, т) ту,(рг)йг. (13) о Решение обыкновенного дифференциального уравнения (12) имеет вид Тн(р с) = ~ С(р) + — Уо (ррс) ~ д(Ь) ехр (ароЬ)г(Ь+ о + — Г ган(р, Ь) ехр (ар'Ь) о(Ь ~ ехр ( — ар'с).
ст о Для определения постоянной С(р) воспользуемся начальным условием (б). Из решения (14) следует, что при с-эО Т,(р, 0) = С(р). (15) (14) ') Псарооно см. формулу (14) 5 4 гл. !!. где р — корень характеристического уравнения Т;(р)с) = О. (10) Переход от изображения Тн(р, с) к оригиналу Т(т, т) осуществляется по формуле СО Т(т, с) = —, Тн(0, с) + —,~„Тн(ро, с) То(РпП) л=! Применяя преобразование (9) к дифференциальному уравнению (1) с учетом граничных условий (7), (8), получим'> дТи(Р т) + ароТн(р, с)= 342 Глава восьп!пя Кроме того, по определению изображения имеем Тн(р, 0) =Г~Т(г„О)гуо(рг)1г = !) и!(г)гп!о(Г!г)йт.
о о Следовательно, С(р) = ) ~(г)гУ4рг)йг. о (17) Если вместо С(р) подставим выражение (17) в решение (14), то получим решение задачи для изображения Ти(р, о). Для перехода к оригиналу Т(г, и) по формуле (11) предварительно определим Тн(0, т) из решения (14): Тн(0, о) = ~ 7(г)го(г + —,~ д(Ь) оЬ + — ~и!н(О,Ь)М, о о о и!н(0, о) = ) ш(г, т)гй. о (19) где Подставив значение Т„(0, з) и Т„(р, т) в формулу (1!), получим реше- ние Т(г, о) = —,~ Г(г)г!(г + — ~ !7(Ь)НЬ +, ~и!н(О,Ь) оЬ+ о о о пп й +,)~~,' " ехр ( — ар„'~) —, ~ Г(г)г 3о(р„г)г(г + ~о(РпЮ и=! о + ай !~! и=! ехр ( — ар' ) —, ~ д(Ь) ехр (ар'Ь) г(Ь + о еХР ( — аРот).—, ~ ~ в(г, Ь)г.(о(Р„г) ехР (аРоЬ)о(Иг.
(20) оо пп + ' Г Г (р") от ~ Г!!(Рпй) п=! ! йо Ь ( —, Ро) = 2 Д вЂ” 7'( — ) И ( — ) + ~ ~ К1(Ро*) + о о ! + ~ — Ро ( —, Ро)о(~ — ')1о(Ро*~ + о пп ! + 2 ~ ' оп ехр ( — (про) ~ ~ Г ( ч ) Го~ ~а„~ ) ~., с1 ~ ~ ) + п=! о Обозначим Ро = апЯ', рп = р„Я, —.„= Ро'", тогда решение (20) в обобаа шенных переменных можно написать так: 344 (29) 3. Источник тепла †линейн функция времени ~ Ро~ — ,Ро) = /г ~л = Ро,(1 + РсГРо)~: 0 ( —, Го) = Ро,Ро(1+ — РсГ Ро)+Ф( —, Ро), (28) М' где Рй' = — — критерий Предводнтелева, равный максимальной отно- Н сительной скорости изменения удельной мощности источника тепла, т.
е. р Г ~ "(м1~о) ~ что l г 4. Источник тепла — зкспоненцнальная функция времени ~Ро( —, Ро1= ~л = Ро, ехр ( — Р(ГРо)~: 0/ —, Ро~ = — ', 11 — ехр( — Р<ГРо)) + Ф ( —, Ро) (Й' / Рн' 5. Источник тепла — периодическая функция времени ~ Ро ( —, Ро) = Ро, соз (Рй'Ро) ~: 0 1 —, Ро) = —; з(п (Рй'Ро) + Ф ( —, Ро).
(30) ~Я' ! Рч' ~Я ' 6. Источник тепла зависит от времени в и-й степени ~Ро~ —, Ро)= = Ро,(РЙ'Ео)" ~: 0 ~ —,, Ро) = ( Ро,Ро+Ф( —, Ро) (31) Расход тепла во всех случаях вычисляется по средней температуре 0(Ро). Среднее значение Ф(Ро) определяется соотношением (8) 54 гл. Ъ'. ! ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С МГНОВЕННЫМИ -ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА ВВЕДЕНИЕ В некоторых тепловых процессах нагревание тела происходит в результате воздействия кратковременного теплового источника постоянной силы (тепловой импульс). К числу таких задач относится задача на нагревание кабеля, в котором произошло короткое замыкание, в результате чего кабелю сообщается некоторый мгновенный тепловой импульс.
Существует ряд методов определения теплофизических характеристик, основанных на закономерностях нестационарного температурного поля, создаваемого действием мгновенного теплового импульса. Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных отдельных задач, остановимся на свойствах решения дифференциального уравнения теплопроводности неограниченного тела при наличии мгновенного источника тепла. Дифференциальное уравнение теплопроводности = пд'7(х, у, г, ~) (1) удовлетворяется при подстановке в него следующего решения: т' Ьс (х — х,)'+ (у — ус) + (х — х,) (х, у, г, т)= ехр[ ~. ( ) (хф ~~)з 4ас Из решения (2) видно, что температура тела стремится к нулю, когда т-+О во всех точках, за исключением одной точки (х,, ун г,), где она становится бесконечно большой.
Если решение (2) проинтегрировать по всему объему от — до + о, то получим + со+ со+ со ) ) ) 7(х, у, г, *)г(хг(ус(г = 'а„ так как +со +со ~ ехр~ — ( ') ~г(х= ~ ехр~ — (у у') ~~(у= +со ~ ехр ( — ' ~ Йг = 1. 346 Глава девятая Следовательно, выражение (2) является решением задачи распределения температуры в неограниченном теле в любой момент времени, вызван'- ного действием мгновенного источника тепла напряженнем Ь, в точке х„у,, г,, в момент времени к=О, так как, если в втой точке выделяется количество тепла (~, = с)Ь, (дж), то распределение температуры будет определяться соотношением (2).
Следовательно, Ь» (град.мз) ст Функция 6(х, у, г,к, х„у„г„) = ' ехр ( ') +(" "') +(з (2)т"а»»х)» [ 4ах называется функцпей температурного влияния мгновенного источника тепла. Эта функция обладает свойством симметрии 6(х,у,г,к, х„уог,)=6(х„у,,г„к, х,у,г), являющимся выражением принципа взаимности; действие в точке х, у, г источника, находящегося в точке х„у„г„равно действию в точке х„, у,, г, такого же источника, помещенного в точку х, у, г. Однако относительно переменной к такая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости тепловых процессов во времени. Определим вид функции 6 для других случаев.
Выражение Т(х, у, к) = ехр) — ( ") +(" а ха" [ 4ах удовлетворяет дифференциальному уравнению дТ(х, у, х) (д»Т(к, у, х) д'Т(х, у, х) ) дс ), дх' ду» (3) и является решением задачи распределения температуры в неограничен- ном теле при двумерном потоке тепла, вызванного действием мгновен- ного источника тепла на прямой х„у„проходящей через точку (х„у,) параллельно оси г, в момент времени к = О, так как +»» +»о ~ Т(х, у, к)с)хс(у = Ьз (град м'), где Ь, = —, (~з — сила источника тепла на единицу длины (джтм).
Ре»т» ст ' шение (3) может быть получено из решения (2), если считать, что г, распространено от — до +, т. е. если заменить точечный источ- ник линейным. Формула Т(х, к) = ' ехр[— (4) удовлетворяет уравнению дТ(х, х) д»Т(к, х) д» дх' и является решением задачи распределения температуры в неограниченном теле при одномерном потоке тепла, вызванного действием мгновенного плоского (вдоль плоскости х,) источника тепла силой 9з на единицу площади в момент времени х = О, так как + д Т(х, к) с(х = Ьз ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С МГНОВЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 347 где Ь, = — ' (град.м), (/ — количество выделенного тепла (дж/лез).
ст Аналогично можно показать, что формула'1 Т(г' т) = 4..'„ехр~ — 4 ' ) Ро( —,.') удовлетворяет уравнению дТ(г, с) /дзТ(г, т) 1 дТ(г, т) ) дт ( дгз г дг и является решением задачи распределения температуры в неограниченном теле, вызванного действием мгновенного источника тепла силой (/з на поверхности цилиндра г = г, в момент времени ч = О на единицу длины. Имеем аа 2п ) гТ(г, т)с(г =- Ь, (град и'), о где (~з = стдз (дж/и), так как аа с — а и* / (йа) ас(а =— 1 заа о Наконец, формула'> Т(г, т) = ' (ехр ~ — ' ~ — ехр ~ — ' ).
(6) удовлетворяет дифференциальному уравнению дТ(г, а) / даТ(г, а) 2 дТ(г, е) ) да ( д»' г дг и является решением задачи распределения температуры в теле в любой момент времени под действием источника силой Я, = Ь,ст (дж), мгновенно распределенного на сферической поверхности г = г, в момент времени т = О, так как 4я ~ гзТ(г, с)г/г = Ь = Оз (град из) ст о Соотношение (2) является аналогом функции Грина, которая находит широкое применение в теории потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
