Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Функция Грина определяется внутри замкнутой поверхности как некоторый потенциал, который обращается в нуль на поверхности, а в точке Р(хо ух, г,), находящейся внутри поверхности, стремится к бесконечности. ~1 Решение (5) получается из выражения Эг дг,дЭ Г г'+ гз1 — 2ггдсоз Э ехр ~ 4яаа 4аа интегрированием по переменному Э в пределах от О до 2я и заменой 2яг,здгз на Ь,. З1 Решение (б) получается из соотношения 1 г + г1 — 2ггз сов оз) Т = Эгз дг, з)п ЭздЭ,доз ехр ~— (2)/яат )з 4ат интегрированием по поверхности сферы радиуса г, и заменой 4яг,одгз на Ь,. Глава девятая 348 Поэтому соотношение (2) надо считать как функцию, определяющую температуру в точке (х, у, г) в момент времени т, вызванную действием мгновенного источника тепла, помещенного в точку (х„у,, г,) в момент времени т = О. При этом полагаем, что начальная температура тела равна нулю, а граничная поверхность поддерживается при нулевой температуре.
Пользуясь соотношениями (2) — (6), можно решить ряд конкретных задач по нахождению температурного поля внутри тела при наличии мгновенного источника тепла с соответствующими краевыми условиями. При этом необходимо заданную задачу разбить на две задачи, одна из которых должна удовлетворять условиям функции Грина, а вторая— заданным начальным и граничным условиям. е 1. пОлуОГРАниченнОе телО Постановка задачи.
Дан полуограниченный тонкий стержень, боковая поверхность которого имеет тепловую изоляцию. В начальный момент времени (т = 0) действует мгновенный источник тепла Я (дж!м') в сечении стержня на расстоянии х, от конца его. Между изолированным концом стержня и окружающей средой (Т, = 0) происходит теплообмен по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры по длине стержня в любой момент времени.
Начальную температуру стержня принимаем равной нулю. Имеем: — — а д,' (т>0; 0<х< ), Т(х, 0) =О, Т(,.) =О, дт(о,.) +НТ(0, ~) =О. (1) (2) (3) (4) Г 1 [ 4 где Ьст = Яв — количество тепла, выделенного мгновенным источником, на единицу площади сечения стержня (дж/мв). Следовательно, коэффициент Ь имеет размерность град м. Из решения (5) видно, что при т-+О и(х, т) стремится к нулю при всех х, за исключением х = х„ где и (х, *) стремится к бесконечности.
Разобьем нашу задачу на две задачи, введя новые переменные Т (х, т) = и (х, т) + о (х, т). (б) Отсчет температуры в теле происходит от температуры окружающей среды, так как Т, = О. Таким образом, поставленная задача является задачей на охлаждение стержня, получившего в начальный момент времени кратковременный тепловой импульс. Решение задачи. Для неограниченного тела прн одномерном потоке тепла и наличии мгновенного источника тепла решение дифференциального уравнения (1) имеет вид ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С МГНОВЕННММИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 349 Переменная о(х, ч) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), так как и(х, е) является решением его.
Следовательно, до(х, с) д'е(х, ~) д~ дх~ Начальное условие для переменной о(х, т) будет )/ь (х, з) — — )/ь (х, з) = О, (9) где )/ь(х, з) = В (о(х, з)1 — изображение функции о(х, т). Решение уравнения (9) в общем виде можно записать так: )/ь(х, з) = АсЬ ~/ — х+Вз)т 1/ — х = А,е " +В,е ' . (10) -В Я Соотношение (6) для изображения имеет вид Т (х,з)=(/ (х,з) +1~ (х,з), где (/ (х, з) — изображение функции и(х, х), т. е. (х — х,н 1 ( 2)/~~ас 2)/аз (см.
соотношение (51) таблицы изображения в приложении]. Необходимым условием для существования изображения функции Ь вЂ” е ' = — е является выполнение неравенства й ) О. Поэтому в изображении (12) надо брать абсолютное значение разности (х — х,). Благодаря этому не нарушается условие симметрии функции и ее изображения относительно хм С этими существенными оговорками вернемся к решению нашей задачи. Имеем)~ з/ ° 2 )/аг Из условия (3) следует, что А, = О.
Постоянную В„определяем из граничного условия (4), которое для изображения Ть(х, з) примет вид — Ть (О, з) + НТь (О, з) = О. Следовательно, имеем (14 ) +~ — В+ е ~ ' +ВО=О, 2 1/ ае о(х, 0) = О. (8) Для решения уравнения (7) воспользуемся методом преобразования Лапласа. Имеем Глава девятая 350 откуда постоянная В, будет равна и Ф вЂ” 1т — х, е а Ь в 2 Г'ае (15) 1 Гв Таким образом, решение для изображения можно написать так: о 5 И У а — )т — (х+к,1 — '1/' +1 ь — 1т —,' ( —,( Т (х, з) = е 2 )т'ав ь — 1' —, ( +к*1 + е 2 Ьтае Ь вЂ” — (х — хд е 2 )т'ав — — (х+к,1 е а (16) )Гав [1+ 1т — ) Пользуясь таблицей изображений, находим решение для оригинала Т(х, х): Т(х, о) = ехр — (" "') + ехр — ( + ') — ЬНехр[Н(х+ х) + аНот[.ег1с ( ' + Н [тат (, 2 )т'ах (17) Последний член в решении (17) можно написать в виде — ехр ~ — Н1 — ( +"'+') Л ф'я ах,) ~ 4а х о (18) Т (х, т) = 7'(х,) ехр — (к "') + ехр — (" ') е(х,, о т.
е. получаем решение, тождественное решению, (4) 2 2 гл. 1'Ч. Если Н -х , что соответствует постоянной температуре (равной нулю) конца стержня в процессе охлаждения (граничное условие первого рода), то соотношение (18) равно нулю. В этом случае из решения (17) можно получить обычное решение для охлаждения полуограниченного стержня при заданной начальной температуре в виде некоторой функции от х, т.е. Т (х,О) = Г(х). Положим ((Ь = Г(х,)((хм (19) Ь = ) Г(х,) а(хм (20) о Подставляя это соотношение в решение (17), находим темперлтурнОВ ЛОле с мГнОВенными истОчникАми теплА 351 з 2.
НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА Постановка задачи. Дана неограниченная пластина при температуре Т, = 0 (отсчет температуры производим от температуры тела). В начальный момент времени (т = О) действуют мгновенные симметрично расположенные источники тепла при х = ~ х, ( — 1с < х ( +)с) силой 1~а на единицу площади (источники тепла действуют вдоль плоскостей +х, и — х,). Между противоположными поВврХНОСтяяи ПЛаСтиНЫ (+ТЧ И вЂ” гч) и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона (граничное условие третьего рода). Требуется найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени. Имеем Рис. 9А.
Распределение температуры в неограниченной пластине в случае мгновенного источника тепла Для упрощения расчетов температуру окружающей среды принимаем равной начальной температуре тела (Т, = Т,.= О). Решение задачи. Применяем аналогичный прием решения задачи. Положим Т (х, т) = и (х, т) + о (х, т), где и(х, т) = [ехр~ — ( ') ~+ ехр~ — (" ') ~) (4) является решением задачи охлаждения неограниченного тела при действии мгновенных источников тепла вдоль плоскостей ~х, (рис.
9.1). Переменная о (х, т) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого для изображения [гс(х, в) приведено раньше [см. решение (10) 9 1). Выражение для изображения можно написать так: Т,(х,з)=(У (х,з)+[г (х,з)= 2 У па ~'Е г ' ' +Е ~ ' ')+АС[тч~ — ' Х+ У а + Вз[т [/ — х, (5) так как изображение Нь (х, з) = й [и(х, т)[ определяется соотношением (12) р 1. Т (х, О) = О, (1) дТ(0, т) дх (2) начало координат находится в середине пластины (задача симметричная) дт (П, ) + НТ (Р Глава девятая Согласно соотношению (4) функция и(х, *) является четной функцией относительно х„как и ее изображение.
Поэтому из условия (2) следует = О, 1/с (О, з) = О, дх откуда В =- О. Постоянную А находим из граничного условия (3), которое для изображения Т, (х, з) напишем так: 7 ' Я, в) + НТ, Я, з) = О. Следовательно, имеем ~/ — ' я=О. (7) Определив из равенства (7) постоянную А и подставив ее значение в решение (5), будем иметь Ь Ть (х, з)— 2'1/ ат ~сп'ф// л й+ — 1// в вь 1/ л Р~ „((,„т/Ä— ЬГ,„~ Х.е)[,-т'-: — „-У-:-" ~„ (-' — ) — ~-'='-" -'=:-") Заменяя экспоненциальные функции через гиперболические по соотношению е '= с(тг — зпг, можно показать, что решение (8) удовлетворяет теореме разложения.
Корни характеристического уравнения хорошо известны [ср. решение (25) 2 3 гл. ЧЦ; они определяются из соответствующего уравнения. После необходимых преобразований решение для оригинала получим в виде ОЭ Т(х, т) = — т 2Ь чл Ри соз р.„— Х хт Й Нл + $1п Ил с05 Ии тт л=1 (9) х / з ах 1 Х соври — ехр ( — а — /1, и ( лйл) где и„— корни характеристического уравнения (27) 2 3 гл.
'Л. Если мгновенный источник тепла находится в середине пластины (хт = О), то хв совр — = 1. л й Из решения (9) можно получить решение (15) 2 3 гл. Ч1 задачи на охлаждение неограйиченной пластины в среде с нулевой температурой при заданном начальном распределении температуры в виде неко. торой функции Г'(х). Ь / л — )/ — '(Л вЂ” хд 1/ ~В л 2 1/ав +1/ — ' Аз(т1// — ' ' ~ -~-НА ь — — (а+хи + в и ~ + с в — Я вЂ” хд и + темпеРАтуРнОе пОле с мГИОВенными истОчникАми теплА ябч Если положить ПБЬ = Г (х!)Б(х„то можно написать +я 2Ь = ) ~(х,) Б(х!. — я Если подставим это выражение в решение (9), то получим л я Т(Х, с) = ~„Е" СОЗр„— ° — ( Г(Х) СОЗτ— 5(Х Х Ни + 51п (ап с05 !!л и И,) Я х ехр ( — (РРо), (10) а именно Т(х, 5) =- ~~ """ созе„— 1соз(х„— ехр ( — рхРо) . (11) И510 и ля лИ и=! Средняя температура Т(с), необходимая для определения количества тепла, теряемого пластиной в процессе охлаждения, будет равна х! Ь !ап соа !!ив Т(и) ~ ВиЕХр ( — (45 РО) И 51П !55 (12) п=! Если В! -!., то А„=- (- — 1)и" —, а (а„= (2п — 1) —, и решение 445 2 (11) упрощается: 2Ь хл 1,541 (2л — 1) лх, (2л — 1) Пх (х, с) =- — ~та ( — )и соз ' соз ' Х )( Я л=! Х ехр ~ — (2п — 1)а па — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
