Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 56
Текст из файла (страница 56)
М. Кондратьев и его ученики различают регулярный режим второго рода, при котором температура в любой точке тела является линейной функцией времени — = Ь = сопз1, дТ (2) дч а распределение температуры в теле описывается некоторой функцией от координат (для одномерных симметричных задач такой функцией является парабола). Такой режим нагревания тела имеет место, когда температура окружающей среды является линейной функцией времени (граничные условия третьего рода): Т,=т, + Ьт, (3) или когда тепловой поток у поверхности тела о„(т) = о, =- сопз1.
(4) Регулярные режимы нагревания тела наступают, спустя определенный промежуток времени, определяемый неравенством Ро) Ро,. Анализ решений (см. гл. ЪГ, Ъ'1, ЪГ111) показывает, что регулярные режимы первого и второго родов имеют общее свойство, которое характеризуется независимостью от времени отношения удельного потока тепла д в любой точке тела к потоку тепла на его поверхности о„г фуч = Т" (х, у, г). (5) Глава девятая 360 В случае регулярного режима первого рода (Т, =- сопз1) имеем (см. гл.
1/1)! а) для неограниченной пластины с/ (х, с) 5! и р! х/77 Чп ми я, б) для шара Ч (г, е) г еоп !с! г/й — Ми ш г//7 Чп г' (/сс сов Нс — Ми и,) в) для не)ограниченного цилиндра Ч (г, с) Ус (ас г//Ч) (8) Чп /с (!сс) / дТ Для регулярного режима второго рода ~ — = сопз() отношение пото- ~ дс ков тепла равно безразмерной координате, т. е. Ч(г, с) Чп = т = сопз1, дТ (т,— т) д~ где Т вЂ” средняя по объему тела температура. Следовательно, скорость дТ нагревания тела — прямо пропорциональна разности между температурой среды и средней температурой тела, т.
е. дТ вЂ” — = т(Т,— Т), дс где т — коэффициент пропорциональности, называемый темпом нагревания. Иллюстрируем конкретными примерами. 1. Температура среды постоянна (Т, = сопз1). Из решений (44) В 3, (48) ~ 5, (ЗЗ) ~ б гл. !/1 можно написать: О неВ„ехр ( — ре го) дТ Й~ В„ехр ( — а~ го) п=! (12) (т, — т) Ч(х, с) х (9) Чп Н Эти соотношения справедливы и для граничного условия второго рода в самом общем случае, когда поток тепла задан как некоторая функция времени '(Чп = /(е)). Соотношение (5) в одномерных задачах теплопроводности, как общая характеристика регулярных режимов первого и второго родов, остается справедливым при наличии постоянно действующего источника тепла.
Следовательно, регуляризация кинетики нагревания тела происходит не только по температурным полям, но и по потокам тепла. Поэтому нет надобности различать регулярные режимы нагревания первого и второго родов. Развивая этот принцип регуляризации, можно в качестве общего свойства теплового регулярного режима принять соотношение ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С МГНОВЕННБТМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 361 Для Ро > Рот можно ограничиться первым членом ряда, тогда отношение (12) не будет зависеть от времени: 1 дТ а — — рх! = т = сопз1.
(т,— Т) и И' (13) Темп нагревания зависит мера Я тела. 2. Температура среды Из решений (18) З 1, от В1, коэффициента а и определяющего раз- — линейная функция времени ( ' = Ь=сопз1) . ! дТс (, дс (18) З 2 и (8) З 3 гл. Ъ'П можно написать св Рд 1+ ~ Влехр ( — !в~ Ро) л=! 1 дТ а (14) (Тс Т) -[ где Г и П вЂ” постоянные, соответственно равные для пластины, цилиндра и шара Г=З, П=З; Г=8, П=4; Г=15, П=5. Если Ро> Ро„то можно пренебречь рядами, т. е. ! АТ а Т вЂ” — = сопз1. (15) (Т, — Т) дс "' (1+ Г1(Н1) Следовательно, темп нагревания, определяемый по соотношению (15), является величиной постоянной, зависящей, как и в первом случае, от В1, а и 1т. 3. Температура среды — периодическая функция времени (Т, =Те+ + Т соз ах).
Йз решения (45) З б гл. хгП для периодически стационарного состояния получаем Т =11шТ, (17) Тогда решения (11) З 2, (8) З 3, (4) ~ 4 гл. !гП! можно написать так: — = т '~ е — в,) в..*р! —,.в !. !сл л=! (18) — — — — Рс( — с1д М = — сопз1. (18) (т — т) Следовательно, темп нагревания тела зависит от критерия Рб, коэффициента а, характерного размера тела Я, так как величина М является функцией Р!1. 4. Наличие внутренних постоянно действующих источников тепла. Если при нагревании тел без внутренних источников тепла конечное распределение температуры равномерное (Т, = сопз1), то при наличии внутренних источников тепла предельное тепловое состояние тела является неравновссиым, а температурное поле неравномерным.
Обозначим неравновесную температуру стационарного состояния через Т„, т. е. 362 Аналогичное соотношение получим для темпа нагревания в стадии ре- гулярного режима вт в — — = — р? = т = сопз(. (т„— т) л. л' (19) 1 ЙТ а — — — = — (ь', = т = сопз(. — лч д2 (20) т. е. справедливо соотношение (10).
Таким образом, в стадии теплового регулярного режима скорость нагревания тела прямо пропорциональна разности между температурой среды в стационарном состоянии Т и средней обьемной температурой тела Т: — =- т(Т вЂ” Т). (21) Коэффициент пропорциональности т (темп нагревания) является функцией характерного размера тела, коэффициента температуропроводности, критериев В1, Рй. Лризнак регулярности кинетики нагрева тела определяется соотношением (21), справедливььм при наличии источников тепла. Следовательно, основной признак регулярности теплового режима сохраняет тот же вид, только под величиной средней избыточной температуры надо понимать (Т вЂ” Т).
5. Наличие мгновенных источников тепла. Из решений (12) 3 2, (21) 3 3 и (16) 3 4 данной главы для значения Ро ) Ео„когда из всего ряда можно ограничиться первым членом, можно написать: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА В гл. у' и х'1 были рассмотрены задачи нестацнонарной теплопроводности, в которых теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой происходил в основном излучением. В практике тепловых расчетов встречаются задачи, в которых теплообмен между телом и окружающей средой происходит конвекцией. Если в задачах стационарного конвектив ного теплообмена применяются гра нич ные условия третьего рода, то в задачах нестационарного конвективного теплообмена и в задачах стационарного теплообмена при точной формулировке проблем необходимо применять граничные условия четвертого рода.
Например, при обтекании плоской пластины, в соответствии с теорией пограничного слоя, дифференциальное уравнение переноса тепла для жидкости можно написать так: дТ,(х, у, х),, дТ,(х,у,х) д'Т,(х, у,:) дх = а, ду» Л (у ( О ( х ( 1, где в (у, х) — скорость потока жидкости, / — длина пластины в направлении х движения жидкости. Гидродинамический пограничный слой предполагается стационарным. Дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины будет дТ» (х, у, х) / д»Т» (х, у, х) дх дх' О (х(1, — й(у(+й, где 2Я вЂ” толщина пластины. Индекс «2» относится к пластине (твердое тело), индекс «1» — к жидкости.
Граничные и начальные условия следующие: Т (х, у,О) = — Т, = сопз1, Т (х, у, О) = / (х, у); Т» (х,, «) = Т;, Т (О, у, х) =- Т;, (3) Глава десятая 364 Т, (х, И, ») = Т, (х, Я, »), (4) дТ» (х, И, .с) дТ, (х, Дс, с), ду 'с ду дт,(х,О, ) ду (6) Если принять, что теплообмен происходит только через поверхность у = -~ тс, то можно написать дГс (6 у' ») — дТ' (О' у' ») 0 (7) дх дх Решение системы дифференциальных уравнений (1) и (2) представляет известные трудности, так как профиль скорости пс (у, х) определяется решением дифференциального уравнения гидродинамики (уравнение Навье — Стокса).
Однако в первом приближении можно считать второй член уравнения (2) в качестве переменного источника тепла Тогда система уравнений (1), (2) сводится к дифференциальным уравнениям теплопроводностн с источниками тепла при граничных условиях четвертого рода и решение этой системы в конечном итоге сводится к выбору правильного приближения вида источника пс*. Если коэффициент теплопроводности тела значительно больше коэффициента теплопроводности жидкости и длина пластины мала, то можно упростить задачу.
Обозначим среднюю температуру вдоль х через 1 р Т (у, с) = — Д Т (х, у, ») е(х. а Тогда получим систему дифференциальных уравнений теплопроводности дТ, (у, с) д'Тс (у, »] (10) д» дус дт,(у, ») д Т,(у,,) д» с дус где псв (у, ») — источник тепла, усредненный вдоль поверхности пластины. Решение системы дифференциальных уравнений (10), (11) при граничных условиях четвертого рода будет рассмотрено ниже. В данной главе вначале рассматриваются задачи без источников тепла, а затем приводится решение этих задач с источником тепла. К задачам нестацнонарной теплопроводности относятся задачи нагревания или охлаждения системы соприкасающихся тел (слоистые среды), когда теплообмен между ними происходит по закону теплопроводности. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 365 й С СИСТЕМА ДВУХ ЛОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ Постановка задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
