Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 55
Текст из файла (страница 55)
4 3 Если задача несимметрична (0< х <), где 1= 2)с — толщина пластины) и имеется один плоский источник при х == х,, то решение аналогичной задачи для случая В1 =-= (граннчное условие первого рода) имеет вид Ь ~ с(4 $/ 5 (1+ х — х ) — с(41/ 5 (1 — х — ха)~ а г а Тс(х, я) =- 2)105 5 11' г а Отсюда находим решение для оригинала Т(х, с) =- ') з!и " "' Мп — "ехр( — и'и'Ро). 1 (15) 5=-1 12 ааааа № 540 т.
е. получим решение, тождественное решению (15) 2 3 гл. 51!. Решение (9) можно написать в форме, более удобной для расчета, поскольку постоянные коэффициенты Аи табулированы: 25!и !Бп 1)лм ! ' ии) 2В; (В( 51'1* Гл -1-51П !ап 0054ал !ап (В(~+ В1+ !4„) Глава девятая 354 % э. шАР 1симметРичиАя 3АдАчА] Постановка задачи. Дано сферическое тело при температуре, равной нулю.
В начальный момент времени действует мгновенный источник тепла силой Щ (дж), распределенныи вдоль сферической поверхности г = г . Между поверхностью шара и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона (граничное условие третьего рода). Требуется найти распределение температуры и среднюю температуру в любдй момент времени. Имеем д[»7 (», с)1 дс[»7 (», с)1 (1) дс д»' Т (г, 0) = О, д7 (О, с) =О, Т(0,«)+ при «)О, д» (2) (3) д7 (Р, ) + НТ (]т, ) = О; д» при В1= (Н = ) Т(1«, «) = О. (4) (б) Решение задачи. Для сокращения расчетных соотношений решим задачу вначале при В| = (граничное условие первого рода), а затем приведем решение поставленной задачи.
Полагаем Т (г, ч) = и (г, «) .+ и (г, т), (б) и(г, «) = ( ехр ~ — ~ — ехр ~ — + ' ~). Изображением этой функции будет с 5 У (г, з) = 7. [и (г, ч)] = е ' ' — е 8»с»»с Р» ас (7) (8) с аналогичными замечаниями относительно разности (г — гс). Функция о (г, т) удовлетворяет уравнению (1), так как Т (г, т) и и(г, «) являются его решениями. Следовательно, изображение функции о (г, ч) должно удовлетворять уравнению [»У, (г, в)]" — — 'г[l (г, в) = О, (9) где ]» (г, з) = 7. [о(г, с)], Решение этого уравнения при условии (3) имеет вид В«[с ~/ г ]» (г, з) = (10) где и(г, ч) есть решение задачи на охлаждение неограниченного тела, которое в начальный момент времени получило тепловой импульс Яс = = Ьс7 (дж), мгновенно распределенный вдоль сферической поверхности г = »;. Согласно соотношению (6) «Введения» решение имеет вид ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С МГНОВЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 355 Тогда решение для изображения Тс(г, я) можно написать так: Вя() 1г'— Ь загг! 1» ая г (11) — яг — (Л вЂ” г,) — я — (я+ г,) Г а Определим из равенства (12) постоянную В и полученное выражение подставим в решениЕ (11); тогда после небольших преобразований получим Ь )) 1/ — г ))1гг — (И вЂ” ) (О < г < г,).
(13) Т„(г, я) 4агг! 1»гая 5() $ггг И г а Если )т) г ) г„то в решении (13) г и г, надо поменять местами. Решение (13) удовлетворяет всем условиям теоремы разложения, и поэтому переход от изображения к оригиналу производится обычным путем: 0» Ь ч» 1 . Паг! . П»»г Т(г, с) =-- — ~ — — я)п з!и — ехр ( — пЯПЯРо). 2»»И г ! И И а=! (14) Если критерий Био есть конечная величина, то при определении постоянной В надо воспользоваться граничным условием (4).
Произведя аналогичные преобразования, решение в окончательном виде можно написать так: !'! 5!П !» Я 1, г ЯГП )»а Х Т(г, я) =-. 25И Х (»я — МП !»л Сая)»л и — ! г, х ехр ( — па Ро), где Є— корни характеристического уравнения (12) 2 5 гл. (Г1. Поскольку мгновенный источник тепла (~, = стЬ распределен вдоль всей сферической поверхности 4пг), то величина ((Ь будет равна (15) ((Ь == 4яг! ~ (г,) ((гя, (16) где Т(г!) — некоторая функция распределения температуры в начальный момент времени при охлаждении шара в среде, температура которой равна нулю (см. 2 5 гл. яг1). Тогда величина Ь равна а Ь = — 4п ) гс~(г!)((г . о (17) 12» Постоянная В определяется из граничного условия (5), которое для изображения можно написать так: Т! Я, я):== О, т.
е. Глава дев»гая 356 Если подставить это выражение в решение (15), то получим СО Т(г, ч)= ~„'» Х ~~п г» сь~ г» »=! г 5!пи» вЂ” я Х, — ~ г!Г (г!) з!п о„—" йг! ехр ( — ! '„Ро), (18) г о 4»й В! У! г »=1 Х ехр ( — И~ Ро) . Если источник тепла находится в центре шара (г, = 0), то решение (15) примет вид 2 Т(, ) = ь, '!" .,„" 3!Пр„— ехр( иеРо). (20) (19) Средняя температура Т(г, ч) равна Т(г, ч) = " У ((В! — 1)'+ + и~] !'! „В„ехр ( — ! '„Ро) з!пр„— ', (21) где „— постоянные коэффициенты, определяемые из соотношения (49) 9 5 гл.
Ъ'1. й л. нвогвдничвннын цилинде Постановка задачи. Имеется неограниченный цилиндр. В начальнь!й момент времени действует мгновенный источник тепла силой 1,!ь (дж!м) на единицу длины цилиндрической поверхности г = г,. Между поверхностью цилиндра и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры и .среднюю температуру в любой момент времени. Имеем д! (г, с) /д'г(г,») ! дТ(г,») ) ( 0 0 (И) (1) д! ! дг' г дг Т (г, 0) = О, (2) = О, Т(0, ч)+ при ч>0 (3) . дг дт(н"! + НТ(о, ) =О. (4) дг т.
е. получим решение, тождественное решению (19) э 5 гл. Ч1. Так как начальные тепловые амплитуды А„, определяемые соотношением (29) 9 5 гл. Ч1, табулированы, то решение (!5) перепишем в другой форме: ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С МГНОВЕННБ!МИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 357 Для упрощения расчетов начальную температуру цилиндра и температуру окружающей среды принимаем равной нулю. Если В! = , то ' Т ()с, т) = 0 (5) (граничное условие первого рода).
Решение задачи. Решим задачу вначале при граничном условии первого рода (В1 =- ). Полагаем Т (г, т) = и (г, «) + о (г, «), (6) где и(г, «) есть решение уравнения (1) при наличии мгновенного источника тепла Я» = Ьс7 (дж!м), действующего на цилиндрической поверхности г = ги Согласно соотношению (5) «Введения» Ь »' + «1 ) » г»1 т и(г, т) =- ехр ~ — ~ Уо( — ''). (7) 4«а« ~ 4а« ~ (, 2а« ,) Изображение этой функции находим по таблице изображений: (ур (г з) «о(1/ — г») Ко(~/~ г) при г>г,, (/ (г, з) = То('1/ — г)К, (1/» — ' г,) при г <»и (8) функция и (г, з) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Решение уравнения для изображения Уь(г, з) при условиях (2) и (3) можно написать так: ~ (», )=А~,(~/ о ).
(9) Тогда решение для изображения Т„(г, з) имеет вид Т (г, з) =.— — То (1/» — г,) Ко ( ~/» — ' г )+ А!о '(1/ — ' г) при г > г,. (10) Постоянную А находим из граничного условия (5), т. е. из условия ТьЯ, з) = О. Тогда решение (10) будет иметь внд Т,(..) = " ~7,(У -'; Л)К,(~/ —,' )— Ьго ~ 1/ — г») 2« "Ъ/Т') — То (1/ — г) К, (1/ — К)~ при г > г, (прн г ( г, в решении (11) г и г, надо поменять местами).
Применяя теорему разложения, находим решение для оригинала: (12) 358 Глава девятая где [д„ вЂ” корни бесселевой функции первого рода нулевого порядка, т. е. они определяются иа характеристического уравнения У (!.) =0 Решение (12) справедливо для г >гд и г ( г„так как оно симметрично относительно г и г,. Если между боковой поверхностью цилиндра и окружающей средой (Т,=-О) происходит теплообмен по закону Ньютона, то решение будет иметь вид „2 !1 [в!2+ 2).г2( „) л=! Х уо ([д.
— ) уо( [дл — ) ехр [ — [ ~ го) (г г), (13) где а„— корни соответствующего характеристического уравнения, являющиеся функциями критерия Био. Из решения (13) можно получить обычное решение для неограниченного цилиндра, если в начальный момент времени температура его есть некоторая функция г, т. е. 'Т(г, О) = Г(г). о[5 =-: 2агд!' (гд) д[гд.
Положим Тогда Ь = 2а [ гд~(гд)о[гд. о Если подставить в решение (13) полученное выражение, то будем иметь: 2 (В!2+ В2) l~ ~(ал) ( '!~ ) л=! Х вЂ” [ гг (г) в'о [[да — 1 д(г ехР [ — 122 Ео) . л Т(г, !) =- ~ л!'л .д'о[[да — '12'о [̈́— ) ехр [ — [22Ро) . "(15) — (') ( .) л=! Решение (14) тождественно решению (15) 8 6 гл. Ч1, так как 2 Нл ! 1В' + !дп) ~о (!"л) [ ~о (!дл) + ~! (!дл)1 Решение (13) можно написать по-иному, введя табулированный коэф.
фициент А„[см. соотношение (27) 8 6 гл. 'ЧЦ! ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С МГНОВЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 35й Средняя температура Т(т) равна (16) где „— постоянные коэффициенты, определяемые из соотношения (34) 3 6 гл. Ъ'!. В заключение этого раздела необходимо отметить, что метод источников дает возможность решать не только непосредственно задачи с мгновенными источниками тепла, но и задачи на охлаждение или нагревание тела, когда в начальный момент времени задано распределение температуры как функции координат. К такому же результату можно прийти, если решать эти задачи методом интегрального преобразования Фурье — Ханкеля. Задачи с мгновенными источниками тепла можно решать с использованием дельта-функции Дирака. Подробно с этим методом читатель может ознакомиться в работе А.
И. Мочалина 1531. е 5. РеГуляРный теплОВОЙ Режим Г. М. Кондратьевым впервые было введено понятие регулярного режима охлаждения или нагревания первого рода, при котором изменение температуры в любой точке тела с течением времени описывается простой экспонентой (см. 3 10 гл. Ъ'1). Производная от логарифма избыточной температуры по времени будет величиной постоянной и называемой темпом нагревания или охлаждения тела (т = сопз1): д(1п (Тс — Т)) ! дТ вЂ” т = сопз1. дч Тс — Т дк Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
