Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Температура свободной поверхности стержня является линейной функцией врелхени ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА х(, )=4«(о ! «-х ь''Р ! х 2(п — 1) Д+ х 2 1/агх 21/ агх' а=а Π— «[ох '« * «т «-'.« '"« *~). 2 1/ а1 х 2 1/ а1 х Я Е вЂ” х Т, (х, т) = 4бх (1 — Ь) Р ег1с — ~ + 2 1/ а,~ 2 1/ а,~,/ «О (22) (23) х1Й + 27 хог «- т. «.- ' ~ "" "+*а — «[* а=а 2 1/ Ео«2 1/ Ео1 О ь — *«« ~) 2 1/ Ео~ (24) 0,= ' ' ' =Ро,Ро,~(1 — й) 1х ег(с ( Го 2 ~о — ~) т.а"-'р ° г ( '" ' — ' 'а )).
~25« Решение задачи при условии Т, (О, т) = Т„згнп ах. Решение нашей задачи будет иметь вид ",' '=- ' ~„р ( )/'Рб,—,').1.(Рб,г.,— ~/' —,' Рб,—,')— — Йехр ~ — ф — Рд, (2 — ~)1 зйп [Рд, Ро, + + 1/ — Рг(, (2 — — )~ — Ь (ехр ~ — 1// — Рд, (4 — — )~ Х Х з(п (Рб1 Ро| + 1// 2 Рбг хЯ) + ехр ~ — ~/ 2 Рд, (2 — у~)~ Х Х з(п [Рг(, Рог — 1/ 2 Рд, (2 — ~ )Ц + «« «- "'1 )" ° р ( — и ~.,| .
° [ — * «'гк о Если начальная температура стержней равна Т, = сопз1, то решение в обобщенных переменных можно написать так: Глава десятая 374 — Кв1п 2 ф' Рдл д Рд* — агс!и 1 — и сов 2 )I Рд* (рд ) + рдр рр х в1п 2 )р' Рд* — р~ — рр'р.,р ь( — — р'рр' — «рр )р р сов 2 )рс Рй* — А рР о д Рдв (Рд )Р Рд' — (ехр [ 1/ 2 Рдт — 1/ 2 Рдя ( ~., — 1)) Х з1п ~РдтРо, — ~/ 2 Рд, — ~/ 2 Рдя ( — — 1))— — пехр ~ — 3 1/ 2 Рд, — 1/ 2 Рд, (р — 1)) Х х гнп ~Рд,ро, + 1р' 2 Рй, — 1/ — Рд, ( — — 1Я + р + (1 — й) Рд, — ! ехр ( — Рд* Ро,) з)п ! ! — 1) х а,! 'ь( Д о д Рд* Х )Р РйвК,'и +агс1е К (Рдл!Р ! Р ~2 (26) (27) М .-= 1 — 21гехр ( — 2 1р/ — Рдт )соз21/с — Рд, + где + А'ехр ( — 4 ~/ — Рс) ); Рд„ = — Р; аа Рд" = — 1Я вЂ” критерии Предводителева. ар $3.
СИСТЕМА ДВУХ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛАСТИН Т, (х, 0) = Т, (х, 0) = О, Тд( — Пп с) =Т,; Т,(Рт а) =О, (2) Постановка задачи. Две неограниченные пластины толщиной Ят и АР, и с разными теплофизическими коэффициентами находятся в соприкосновении. Начальная температура их одинакова. В ничальный момент времени одна из свободных поверхностей мгновенно нагревается до температуры Т„которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса нагревания. Противоположная поверхность поддерживается при начальной температуре Т, = 0 (рис. 10.
3). Требуется найти распределение температуры по толщине системы из двух пластин. Начало координат выберем в плоскости соприкосновения (рис. 10.3). Тогда краевые условия можно написать так: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 375 Тх (О„т) = Т, (О, г), Л! дТ! (О, с) дТ» (О, т) Л„дх дх (3) Решение задачи. Решение для изображений находим обычным методом, используя граничные условия (1) — (3). Эти решения будут иметь вид Ты (х, а) К, сЬ д! х а!л д, На — ал! д! х с)! да Ва Т, а [ К, с)! д! й! а)! да йе+ а)! д! Н! с)!де Яе] Т (х,я) К, нд.Ж вЂ” ) а [К» с)! д! и! а!л де !се + 5)! д! лс! с(л да !те (5) (4) где еа ' дх !' а! ' да т' аа Воспользуемся теоремой разложения [решения (4) и (5) удовлетворяют всем условиям теоремы].
Приравнивая знаменатели соотношений (4) н (5) нулю, получим характеристическое уравнение я!п р соя КЧ' Ка, р + +К, сояр.я!пКЧ*Ка,р, = О. (6) Следует отметить, что корни уравнения (6) являются одновременно корнями уравнения с1я К л Кн, р + К, с1я р = 0 (ба) и общими корнями (если они существуют) уравнений я!пр, =0; я!пК»~*Ка, р = О. (6б) Рис.
!0.3. Температурное поле системы двух тел (неограниченные пластины) Система уравнений (бб) имеет решение тогда, когда Кы' Кн, — рациональное число. Тогда решение нашей задачи можно написать так: х К Л Р, Н~ Кл + 2 р» Ка — Мп и„~., со».К,' ' р»Ка ) Т,(х, е) О Т, х Ч 2 (К, совр» ~ а!п К»П и» [(К. + К 'Кя ) 5!и и» мп К 'н»Кя— »=1 — (! + К, К„Л Ка ) соа р» соа КЧ' р» К Х ехр ( — ре Ро,) (7) Глава десятая 376 Тз (Х, и) Кз — х в, )~2 + К1Кл Тс Рз — х Л 2К з!пК' 2 и ~ )( ) и ри [[Ки+К ЦКл ) мп ри зю К1~ К р.и— и=! рде К. — —, Кл = —, К. =- —, Кл, = —, Р'о, =- —, Го, = 21 Л1 аз ЙЛ а1 "- а с 22 2' И аз ' !Сз ' 1 ((2 ' 2 ~.>2 ! 2 Если коэффициент Кч'Кл, представляет собой правильную дробь, т.
е, равен отношеншо двух чисел ц* Кв'Кл.= ь то К,* Кл, ри ии — ри = ля. Следовательно, ри = = — Ьтк. Тогьпх дл к решениям (7) и (8) надо добавить соответственно следующие выражения: 02 СО т=! Если же коэффициент Кч* Кл, — число иррациональное, ряды (9) и (10) не появляются в решении, а корни характеристического уравнения (6) по-прежнему существуют'>. Пользуясь уравнением (6), решения (7) н (8) можно упростить: Рз ВЛ = Кл )22+ пз ехр [ — р,'„Рот), (11) — Х и†! (Кз — х) Кл К! Рз+ РЛ Х и 2К 12 / 21п р 21п К * Ки ри з1п К П ( К вЂ” ) ! и1 ри [ К, з!п КцК„пи+ КИ К Мп р.„ М ехр [ — р.'„К, Кяд, Роз). (12) !! ! Появление дополнительных корвей трансцендентного характеристического уравнения возможно и в других задачах (см. ниже). Эти дополнительные корни находятся аналогичным путем и мы не будем больше специально оговаривать такие случаи.
377 В стационарном состоянии (Ро = ) распределение температуры происходит по линейному закону. Относительная температура на левой поверхности пластины (х = — )сл) равна единице, на противоположной (х = Рз) равна нулю. На границе соприкосновения (х = 0) относительная температура равна Кл Кл, в(о, )= Если термические коэффициенты пластин одинаковы, Кл = 1 при )сл =. = )7з (Кл, = 1), то 0 (О, оо) = ",,, Решение при граничных условиях второго рода. В отличие от выше рассмотренной задачи одна поверхность системы пластин теплоизолирована, а ко второй поверхности подводится тепловой поток постоянной мощности. Имеем (18) (19)1 Таз (х, з) —— Т з)К сЬ1// з Р зй1/ з Рз+ и аз и а, (20у + Кзз)л 1// Рьси 1/ Рл~ Лл 1/ Воспользуемся теоремой разложения. Приравнивая знаменатели (выражения в фигурных скобках) в формулах (19), (20) нулю, получаем характеристическое уравнение') К, (я Р + К„(я, К."*К,, = О.
(21). л) Здесь также возможно появление дополнительных корней, возникающих нз-за деления знаменателя выражений (19), (20) на соз рсозрК„И Кл. Рассмотрение этого специального случая аналогично приведенному в предыдущей задаче; ГРАНИЧНОЕ )гСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА Т,(х, 0) =Т,(х, 0) =Т,=сопз1; дТ* (Рз -) О. дх Т,(0, т)= Т, (О, т); Лл дТл (О, т) дТь (О, г) дх дх дтл( — Рл, т) О О дх Решения для изображений будут иметь вид: Тз Ть, (х, з) — — =- — Кл с)л — хе)л з 3 ал аз К„зй 1/ — х с)л 1/ — Рз~ '([Кл с)л ~l — )Са з)л 1/ — )7л+ + к..й у —,' Р, .ь 1/ —,' г,~ ),, у/ —,' ~, а Кл сй У// з (Рз — ) у а. (14.) (15) (16) (17) Глава десятая 378 Решение задачи можно написать так: х »2 х 1 1 Г + Кл( К ) — 2КаКа» ~ 2 !(КлК Ка +КлКаКл,+ + з Кл КаКй»+ з Кл )'(Кл + КаКи» ~ )'+ + 2К1д ~~~~~, ~соз(»а — ' соз на Ка'*Ка. + н „та а=! + К здп (»а — з(п (»а Кап» Ка ) ехр ( — (»~ Род), (22) КВКл ( 1 / хЛд Оа =- 1 + ~Р~,+ — К (Кж — — ) К +КаК ~ д 2 а(, — —,' (К.К.Кл, +К.К..
+ + з Ка КР»+ з Кл! (Кл +Ка КиД ) + ( 2К1, ~'„соз(»„Кч" ( Ки, — — ) ехр ( — р,„Род), та Иа (23) где х збп р,„з1п (»„К пКа, (24) Род= ад сИл, К)д = л' а! й» л т и В»! ~1 Т(0, х) — Та] В ~~ а по оси абсцисс — число Фурье Род — — адт/Я!. 2 Если теплообмен между поверхностью (х = — /дд) системы пластин происходит по закону Ньютона л/ = а (Т,— Т ( — /д„т)), то температура на этой поверхности (х//сд = — 1) и на границе ее соприкосновения с пох верхностью — = 0 определяется из графиков, приведенных на рис. 10.4 и 10.5.
Графики получены для случая, когда коэффициент теплопроводности второй пластины бесконечно большой ()д -+ ), и для разных значений (л [р.=и+(и+1)(В1д], где и =сдта)тд/сдул/дд, а В! = а Яд/»,д. На рис. 10.4 по оси ординат отложена величина ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 379 о х со !! х Их х х х о х Х х 3 х х х о. х о о х х о, Ю о Б о о х х о й х о Ф о » 5 х х о х о х х с» оо х ь 1 с 2 о о. х о о ! о 'в а х о х 3» о ш й х х о а 3 1 х а" х о о с, о х о~ х ах о х о хо а \ о сч о о и х а с Л о и Ф Р о. Р са Ю д д и Ю о 6 о о И х И3 х со ст Ю о х о Глава десятая ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 381 На рис. 10.5 по оси ординат отложена величина Т( — Н», ) — Т 8„= Т,-Т, а по оси абсцисс — число Фурье Ро».
$ л. системА дВух сФеРических тел Постановка задачи. В начальный момент времени один шар при температуре Т, помещается в полый шар с той же начальной температурой. Между ними существует совершенный тепловой контакт. Внешняя поверхность наружного шара на протяжении всего процесса охлаждения поддерживается при постоянной температуре, равной нулю. Найти распределение температурь» в любой момент времени в такой сложной системе — шар в шаре (рис. 10.6).
Имеем Рвс, !О,б. Температурное поле свстемы двух тел (шар в шаре) д [г Т» (г, т) [ о' [г Т» (г, т) [ д[гТ,(г, т)[ д»[гТ»(г, »)[, 0 дт = а, дг' (2) Т, (г,О)=Т,, Т, (г,О)=Т,, Т (Л,) Т (Л,) К дт*ж* ') = дт Я ') дг дг (3) (4) Т. Жа, ) = О; Т»(0 )+ ' (5) ы ( г а ) [ ~»»»а Ча 5[» 9» г 6 га [фа (»та) а)»»)» я» +Х»»» ()~»») а)» Ч (о»» ))» ( ) Тс а )(.[Ф.(г) ИВ,Н,+К,Ф,(И,).и„,(, О,)1 га [Фа Я») а[» ч» Е, + К» р» (Рд а)» Ч, (Р, Н )1 (7) Т„(,,) Т Решение задачи. Решение задачи находим операционным методом, используя условия (3) — (5). Решения для изображения получим в следующем виде: 382 Глава десятая где ф! (Г) ==- ут)ттс)!!),г — з)! !1, г, (г) = ать с(! д (г — К!!) + з)!!! (г — 1~~), Приравнивая знаменатель нулю, находим корни: 1) в=О; 2) з„— бесчисленное множество корней, определяемых из характеристического уравнения (Кач' р, с1д К„!* (Кн — 1) р.
+ 1) + К, (р с!й р, — 1) = О, (8) где Кроме этих корней, будем иметь дополнительные корни, определяемые из уравнений яп р = О, яп К,п (Кл — 1) р = О. СО Т! (я. т) 2!Се ~~ 1 Т, т т (рв) в=! т 3!п !! — Х в !т (9) Х з!п р„Кч*(Кл — 1) ехр ( — р~Го,); 0 .= '. ~~ !" япК" ( Кл — — )рвх в= — 1 (1О) х ехр ( — К, К~и р~ Гов), где а (р„) -:-. К, ивз!не К !'р.„(Ка — 1) — , 'К н (Кл — !) Х а в кп к Х Рвып~йв+, ' Яп~Р.„Яп К и (Кл — 1) Р,„, (11) Го, =- щ ', Го, =- ! г Гслн величина Кч' (Ки — 1) равна отношению целых чисел —, то — р =-. от, илн р =- Ьта. Тогда дополнительно к первому решению надо прибавить выражение Если К,* (Ки — 1) — величина иррациональная, то последние уравч пения не имеют корней и решения будут следующие: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 383 2ре тг <ь+р!т ! .
ьк~г г к (и Ке + Ь) г, ( — 1) — з1п " ехр ( — т'Ь'каро,), (12) ю й1 т=! а ко второму решению — выражение ~Кя — — ) ркглг + ~Л'.а — з(п ехр ( — т' бака Рое К Кя) . (13) я ш=! т $5. системА дВух цилиндРических тел Постановка задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
