Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Имеем бесконечный цилиндр, окруженньчй тонкой оболочкой. В начальный момент времени система двух цилиндров, имеющих одинаковую начальную температуру Т„, помещается всреду с температурой Т, < Т . Теплообмен между оболочкой и средой происходит по закону Ньютона. Найти распределение температуры в системе двух цилиндрических тел (рис. 10.7). Тонкую оболочку в первом приближении можно считать плоской.
Тогда задача формулируется следующим образом: Рис. !0,7. Температурное поле системы двух цилинд- рических тел дТт / де Т, 1 дТт'! дТ, д'Т, — = ав дг, (т )0; Ят~(г~1Ре)' (2) Т, (г,0) = Т, (г, О) = Т, = сопз1; Я „„) 7 ()э т), ) дТ1 07ыт) ) дТаЯы т) дг и дг (3) (4) Т„(0, ) <-; — ), — дТ'~~"' +.(Т,— Т, Д„.)1=0. Решение задачи. Используя преобразование Лапласа, получаем решение в виде Глава десягал 384 а — = 1 —,)~~ А„Уа (р.„г7К!) ехр ( — Р„' го), Гс — Го л=! (6) »а 7" —, ° =1 Х А„(/, (,л) [,л К.'* (., 1) т,— т л=! — К, ас(Рл) з)п [)»л Кар* (г))с! — 1)Ц ехр ( — р,'„Ро), (7) где и„ вЂ” корни характеристического уравнения ,7 (!») [В! соз К н (Кя — 1) )» — К ЛКя )»з[п К н(Кя — 1) р.)— — К, У! (1») [В1з)пК,п (Кя — 1) )» + Кч*Кя и созКЧ* (Кя — 1) р)=-0; 2В! К» [К '* (КП вЂ” Ц Рл+ В! 1Х К П (Кя — 1 ) !»л ) !»вар (Р»») Б!и 11,'» (Кя — 1) !»л в ~ '2 2К К "(К вЂ” ц 1) Рл + В! 1 с[8 Ка (Кя — 1)Рл + в!и 2Ка»(Кн 1) Рл [В)а -)- .+ Ка (Кп 1) )» ) + [К (Кп 1) )»л + 2К» Кап (Кп 1) В) + + Ы В! ) 18 Кап' (КЯ вЂ” 1) )»л + К» Ка (Ка 1) Рл + '2 + 2К» Ка' (КЯ 1) Рл В! — 2Ка' (КЯ вЂ” !) Рл В! — ' )! .
(8) В предельном случае (В! — л ) второе условие (5) заменяется условием Тъ (1»а, т) =- Т,. (9) При этом решение (6) остается прежним, а решение (7) принимает вид т(г, ) — т тс — Та 2в)п [К,»»(Кя — Н1Т!) Рл) ехр ( — р:.~ Ео) (10) Х „.! л=!Рл ( — Мп' К Н (Кя — 1) Рл — Мп 2Ка* (Кя — 1)Рл+Ь) !»л где Ь = К!П(Кя — 1) + 1)К» (подробно см. [47)). $ В.
НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА Постановка задачи. Дана неограниченная пластина при температуре Т,. В начальный момент времени она помещается в среду с температурой Т, ( То. Охлаждение пластины происходит путем теплопроводности. Найти распределение температуры в любой момент времени.
ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 385 Рис. 10.8. Охлаждение пластины н неограниченной среде Имеем (начало координат находится в середине пластины; индекс «1» относится к пластине, индекс «2» — к среде; рис. 10.8) дТ, (х, т) д» Т, (х, т) дт дх' дТ, (х, т) д» Т» (х, т) ( О дт дха (2) Т, (х, 0) =- Т„Т, (х,О) = Т„ дТл (~ Е, т) дТ, (-~-Е. т) ~Кл д. ' =~ 'д. ' (3) Т, ( а,) = Т, ( а.), дТ.(о,т) О дТ»Ы,т) О дх ' дх (5) (6) Ты (х, з) — — = Ас)л ~~г — х = А,[ едр 1~~г — х) + а а, а, + ехр ( — )/ — х)~, (7) Тьа (х, з) — — = Вл ехр 1 — )г — х ~ .
а (, г' а, (8) Постоянные А, и В, определяем из граничных условий (4) и (5); тогда решения (7) и (8) примут вид Ты (х,з)= — — — ' ( — ) Х (Т, — Т,) а а ( 1+К, (9). 13 Заказ м о«о Решение задачи. Решения уравнений (1) и (2) с учетом условий (3) и (6) для изображений можно написать так: Глава десятая 386 ехр~)/ в х)+ехр ~ — ~ х) ехр ~ ~/ — д ) + с! ехр ( — )е,/ — Р ) Те,(хсз) — — ', = ', ' 11+К, )Х ехр ( 1/ — Кс ) — ехр ( — 1/ — 1с ) Х " — ' ехР ~ — )/' — ' (х — 12) ~, (1О) ехр ~ $с/ — ' й)+1сехр ( — 1/ ' Р) ехр ~ — ~/ Кс ) 1+аехр( — 2 1/ К ) = ~~'„( — Ь)е-' ехр ~ — (2п — 1) ф' — ' и=! Полученный ряд быстро сходится при ~й)< 1.
Таким образом, решения можно переписать так: Ты (х,в) = с / 5 — — '+ ' ~в ( — Ь)я-' ~( е " + я=! 1/ — 1!хе — !) а Рх! +а (12) 1/ ° Т (х ) Тс (Тс — Тс)Кс '~, ( — с)я х ~ е в в(1+К, ) а=! — е "'~ ехр ~ — 1/ — (х — )х)~ '( ехр ~ — 1/ — (х — Й)1 )— (Тв Тс) Кс в(1+Кс ) ОЭ вЂ” (1+й),~х ( — й)"-' ехр ~ — (2тех )/ — '+х — Й ) 1/ — „~).(!3) е! 1 — К. где К = — — критерий тепловой активности пластины, Ь= с 1+К, безразмерная величина, абсолютное значение которой всегда меньше единицы () Й ) < 1). Сделаем следующее преобразование: ГРАПИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 387 Пользуясь таблицей изображений, получаем решения в виде Т,(х, х) — Т, 1 — '= 1— Т,— Т, Оп (2л — !) Š— х .;., ( — Й)л ' ( ег1'с 1+Кп Кл х — Е Кп (1+ )!) (14) 0 Т* (х' х) Тп Тп — Тп ОЭ Х х — Е+ 2л)( ~l лп)в1 2 г'впх л=! Решения (14) н (15) удовлетворяют соответствующим уравнениям, л-1 1 1+ К' начальным (так как,)'„( — В)л-'= - — = — ) н граничным ус- 1+в 2 л=! СЮ (2л — 1) и — х ! 1 1(2л — 1) и+ х ~ 2 )/ в! х 2 )/ а! л Решение (18) представляет собой решение задачи охлаждения неограниченной пластины, когда температура на поверхности ее мгновенно понижается до температуры среды, а затем остается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения (граничное условие первого рода).
Это решение нами было получено в 2 3 гл. 1Ъ'. Температура на границе соприкосновения равна СО и, К ()+К )2 Хи( ") " )Г— л=! (17) Таким образом, 0 ()11,т) непрерывно уменьшается, ее максимальное значение соответствует начальному моменту времени (при х-+О функ- лЯ цня ег1с стремится к нулю), тогда 1' а11 Кп п,Π— 1)К (18) 1З" ловням. Предположим К, -~ О (тепловая активность пластины бесконечно мала по сравнению с тепловой активностью среды); это означает мгновенное восприятие тепла от нагретой пластины, сопровождающееся быстрым понижением температуры поверхности пластины до температуры среды. Действительно, если положить К, = — О (6 =-1), то 0 (х, 1)=-О,. а первое решение превратится в следующее: Глава десятая 388 — та относительная температура, которая устанавливается на границе со- прикосновения двух полуограниченных тел (см.
0 1). Величина =1 — 0(аб) =Х (19) называется холодящим эффектом. Интенсивность изменения 0„а зависит от коз4фициента температуропроводности и толщины пластины. При малых значениях Ро,= ', величина 0„,в мало изменяется. Анализ решения (15) показывает, что температура в любой точке среды вначале увеличивается, достигает максимума, а потом уменьшается. Максимум температуры на границе соприкосновения (х = Я) устанавливается мгновенно, а по мере увеличения х (х ~Я) время, необходимое для установления максимума, увеличивается.
сет При малых значениях Роя = — " —,, можно из всего ряда в решении (15) ограничиться одним первым членом, и тогда можно написать приближенное равенство Ке Ь' 2Кà — 1 а ) +2К вЂ” и 0 = - '. г(с — — —, еНс (2()) Если взять производную — — и приравнять ее нулю, то получим дВе дгов уравнение, из которого можно определить (Ро,) — число Фурье, соответствующее максимальному значению температуры: (21) дТт (х, т) дв Т, (х, т) ат дт т дх' ст (22) Краевые условия остаются теми же [см.
условия (3) — (б)]. Решения для изображения получим в виде (метод решения подобного рода задач подробно описан в предыдущей главе): л ! Из соотношения (21) видно, что относительное время достижения максимума увеличивается с увеличением относительной координаты; (Ро,) = О для х = И. Решение задачи с источником тепла то = сопя(. Несколько усложним задачу введением положительного источника тепла, мощность которого равна тв (вт/мв). дифференциальное уравнение для среды остается таким же, а для пластины будет иметь внд ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 389 Х ~ ехр [ — ((2п — 1) )г — х) ф' — ~ + + ехр~ — )!'à — ((2п — 1) й + х) )(, (23) 7'„, (х,з) — — ' =. ( ' ' -1-, )( ' ехр ~ — ф' — -(х — Й)~— е» (~ + ~) ~ ( й)л-! ехр 1 — 1/ — ((х — Я)+ 2пЯ) К вЂ”,~']) .
(24) л=! Для перехода от изображения к оригиналу пользуемся соотношениями (55) и (56) таблицы изображений в приложениях: 9 = — ' "' =1+РоРо— т! (х, л) — те т,— т, 1 (2п — 1) е-— ~ ( Ь)л-! ег(с 1+К ~ 2 у' Ро! (2п — 1) т-— + 4РоРо, Р ег(с 2 )/ Ео! (25) — 1 ,(, ) — т,, ( + 4Ро Роз Р ег1с 2 )е'Рое 2пК П+ — 1 а Я ее е. а-,.е! ) „.
[ 1 + Ке л=! 2 г"Рое х 2п К '"+ — — 1 + 4Роро,!'ег1с— Е 2 У~~ (26) где Ро — критерий Померанцева, равный Ро— Х (Те — Т,) с т (Та — Т,) а (27) Здесь введено условное обозначение — ей(т- г) = — Ф ( — г) — Ф(+ г), Решение задачи с мгновенным источником тепла.
Задача формулируется следующим образом. Неограниченная пластина, находящаяся в неограниченной среде, получает в начальный момент времени тепловой импульс от мгновенного плоского источника тепла, расположенного в середине пластины (хх = О). Сила мгновенного источника тепла равна Глава десятая 890 Я = Ьс у (дж/лее). Начальная температура пластины и среды равна нулю. Дифференциальные уравнения для пластины и среды, а также граничные условия остаются прежними [уравнения (1), (2) и условия (4) — (6)). Начальное условие следующее: Т, (х, О) == Т, (х, 0) = О.
Задача решается методом, подробно рассмотренным в $ 2 гл. 1Х. Режения для изображений Тс (х, з) получим в следующем виде: ь В в Ты (х,з)= ехр ( — 1т — х)— ртд в (, т ат еяр ~~/ й)+Ьеяр ( — 1/с .т) ~ ехр ( — ф' — х ) — Ь,?~ ( — Ь)" ' Х Х ~ ехр [ — )/ — (2п)т — х)~+ ехр ( — )/à — '(2пК+ х) Л), (28) ТС2 (Х, 5) = СО ~( — Ь)Я ' ехр ( — )т/ — ~х — 14+ (2п — 1) ~/с — "' 14 ~1. (29) л=1 Решения (28) н (29) являются табличными изображениями, и переход к оригиналу производится непосредственно: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА Т (х, х) = Π— ~„( — й) -'х К "(! +К, ) Е ]г' хна, — — 1.~-(2 — ЦК '1 ) х ехр 4Ро, (31) ( ..).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
