Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 60
Текст из файла (страница 60)
=Я+ — +'„-К Ч ], (32) т. е. графическая зависимость между (Рох) * и й представляет прях — Е мую, которая отсекает на оси ординат отрезок, равный (2К,) (х — Е1 Таким образом, чем меньше относительная координата( й ), тем меньше время достижения температурного максимума.
$7. ШАР ]СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА] Постановка задачи. Дано сферическое твердое тело (шар) при температуре Т . В начальный момент времени шар помещается в неограниченную среду с температурой Т, ~Т,. Охлаждение шара происходит путем теплопроводности. Найти распределение температуры в любои момент времени. Имеем (индекс «]х относится к шару, индекс <2» — к среде): д (г Т1(г, х)) д~ 1гТ, (г, х)) д(гТч (г, *)] д' 1гТ, (г, х)] дх дг' (2) Т, (г,0) = Т,, Т (г, О) =.= Т„ дТ, (й, х) дТ, (Е, х) — К~— дг дг (3) (4) (б) Т, (х4, х) = Тз (]х, х), дт (о, ) дт (, ) 0 Т (О )+ дг дг (6) Анализ решений (30) и (31) показывает, что при малых значениях Ео можно ограничиться одним членом из всего ряда, и тогда расчетные формулы приобретают простой вид. Температура Т, (х,т) в любой точке неограниченной среды вначале увеличивается, достигая некоторого максимума, а затем уменьшается.
дТ, (х, х) Если взять производную '( ' и приравнять ее нулю, то полудх чим следующее приближенное решение (в случае, когда из всего ряда (31) можно ограничиться только одним первым членом, что справедливо для не слишком больших значений Ро): ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 393 1 А л + е — и,( — ' — ~)),~ ( г — п,»г,, )— г х ехр ~ П~зро,— П,( — — 1 + +2К, ц ег(с — П, угРо, (1б) где )(л — 1 ), гл ((л — 1 и, =,К = —,'-, К, = ', и, =, +Кл л 'л +(( )(Е и введено условное обозначение Ф (т- г) = Ф ( — г) — Ф (+ г).
Полученные выражения справедливы только для малых значений го. На рис. 10.9 приведены графики изменения относительной избыточной температуры в разных точках среды для случая, когда температура на границе соприкосновения поддерживается постоянной на протяжении всего процесса нагревания: Т, (Я,т) = Т, Я,т) = Т, = сопз1 при Т, ~ты $ В. НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР д Т,(г, дл г дТл(г,т)) (т)0; 0<г< Й), ( г ) ) ( т ) О )л <» < ) Т, (г,О) = Т„ дт,(, ) д~ =ал дТ2(г, т) ( дт =а, д' Тч(г, т) 1 дгл г (2) (» О) = Ты дт,(о,.) дг (3) (4) Т, (О, .) + дТ, (со г) =О, (б) дг дТ, (((, т) дТ, ()(, т) дг дг Т, (ат)=Т,(а ), — К.
(6) Постановка задачи. Дан неограниченный цилиндр радиуса Я при температуре Т,. сл' начйльный момент времени он помещается в неограниченную среду с температурой Т, < Т,. Теплообмен между поверхностью цилиндра и средой происходит по закону теплопроводности. Найти распределение температуры внутри цилиндра и в среде в любой момент времени. Имеем 394 о а о о о О о с о Ю о о о. Ю а» Ю" Ю Ю Глава десятая о о о о о о о о а о. ок Б о о т о с», О о а о о о е О » я * о о у о О а м 396 о о .е У о в о о й ао Ж ~Ю и о а ж Ф [ о о И о С Я Р' о о » $ О о, Ю о о *и о ж о о Ф л 1о Я *ы о О Ю $ о ж Ф о В $ о о й ы о Ю о О') 397 'Ф о Х о о И ф «~ о ко о о г, и о СЧ Л И о Р о. е о И о и о > ж о а Р Й З о х 3 ~о 2 о о х о » М Л о О~ ЮЮ (Р о о а 398 Глава десятая граничные условия остаются те же (условия (4) — (6)); начальную тем- пературу среды и цилиндра принимаем равной нулю, т.
е. Т, (г, 0) =- Т, (Г,О) —..- Т, = Т, = О. Тогда решение для изображения получим в виде (1 4) Ты (г в)= 1 е г аглг() 71г (а)гс г О)7о(а)гс — 'г ) (16) Т (г в) ==- ' К ($с'à — г) (16) Функция Ф(в) определяется формулой (9). Решение для оригинала можно написать так: ге 1 ггг 1 )о( Л ) Уг Ь)ди 1 яг 1гг (тг (И) + Уг (И)1 о (17) 2агЯг )о — Ге,г * Хг (1г) 2 ( ' ) а )с ( ) гг),г()+г)г(и)1 о х Р (7(ч* 1" й ( ) — У' (К" +) Ф()1й (1 8) где Е(р) и (г()с) определяются формулами (12). 9 Э.
ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛОМ И ОБТЕКАЮЩИМ ЕГО ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ В заключение этого раздела рассмотрим задачу обтекания полуограниченного тела потоком жидкости, т. е. задачу нестационарного конвективного теплообмена. Постановка задачи. В трубе прямоугольного сечения движется несжимаемая жидкость. Движение ламинарное и стационарное. В нижней стенке трубы имеется отвер- У стие, в которое вводится ограниченныи стержень, открытая поверхность его с„т,„1, является частью поверхности трубы (рис.
10.12). Все остальные поверхности г сп стержня теплоизолированьс. Стержень предварительно нагревается до постоянной температуры Т, (0)=То = сопз1. В начальный момент времени стержень вводится в гидродинамическую трубу и 'гйг аг охлаждается протекаюсцей жидкостью, температура которой равна Т, = сопз1. с Требуется найти удельный поток тепРис. 10.12. Обтекание полуог)га- ла в процессе нестационарного теплопичеииого тела потоком жидкости обмена.
399 За начало отсчета температуры возьмем температуру натекающей жидкости. Длина стержня в направлении х равна 1, а толщина его )с (см. рис. 10.12). Теплообмен между стержнем и потоком жидкости описывается системой дифференциальных уравнений (1), (2), приведенной во введении к гл. Х. Граничные и начальные условия можно написать так: (4) )1д Если длина стержня мала, точнее, если — (( —, то можно воспользода а,' ваться формулой (3) 9 9 гл.
1 для усреднения температуры вдоль направления х. Тогда будем иметь (5) дТд (у, д) дд Тд (у, д) дд д дуд =а (6) Температура Т, (х, у, т) не является монотонно убывающей функцией х, поэтому величину Т (1, у,т) можно выразить черезТ, (у,т) при помощи теоремы о среднем значении: Тд (у, т) = — Тд (1, у, т) ( 1 — — ), (7) где 1ж — некоторый параметр. дед = да(у)(1 — — ) 1! (8) и примем ее за постоянную величину, как это обычно делают при решении задач теплообмена по методу Кришера.
Тогда уравнение (5) можно написать так: + д Т (у, ) = а, (5а) дд Тогда решение уравнений (5а) и (6), усредненных по х, при граничных условиях (1) — (4) будет иметь вид (9) где Регод ! ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА Тд (х, у, 0) = Т, = 0; Т, (х, у, 0) = Таз = сопз1. Тд (х,,т)=Т,= — 0; Т(0, у,т)=Т,=-О; Тд (х,О,т) = Т, (х,О, т); ) дТ,(д, О, д) .
дТд(д, О, д) ж ду 'д ду дТд(у, д), Т,(1, у, д) ддТ,(у, д) Введем некоторое значение эффективной скорости ш,: Т,(1, т)) = — — ехр( — Š—, / д(1 ', 1 Т 1 „. чд ~ ф(1 — Р) К~ Уа ) ( 4Р/ У"1э (1) (2) (3) Глава десятая 400 Ре = — число Пекле, Ро, =- — ', — число Фурье, Р— эквиваленты!Р атх а, Кт ный диаметр трубы, Кх = ) /Л„ф(с) — безразмерный тепловой поток у поверхности тела, определяемый по соотношению дТ, (О, 6) дт (о, ц дт! дх (12) Аналогичное соотношение можно написать и для То(1, «1). Не приводя промежуточных вычислений, которые можно найти в работе 1106), получим следующее выражение для потока тепла Р(с): !+[тт! 1 Ф(1) = 2К„э ~тГ! — 1' ехр( — ро !) ~УК ~/1 — р + в + — р'! ~,Г! — ро + 1/1 — „о~ -1- кх е м е т.
р 1' и ехр ( — !и) ди х 1 + и + К, и с!Ко (д( )Г! —,'- и ) о (13) где (х„ — корни характеристического уравнения н (д (с А! — К )I 1 2 (14) (16) Если У мало, а К, — произвольная величина, то — — (1~ 1.).4( (17 ) Найдем удельный поток тепла: д(х)= — Л, ( ) =ЛТ ~l — а( ' ) ° (18) Численное значение характеристических чисел р„ приведено в табл. !0.1. При малых значениях о(о = — '" (С1) главным в формуле (13) яв1 ляется последний член. Тогда у(1) уменьшается пропорционально с ростом $. С увеличением ! функция о(с) продолжает монотонно убывать, причем главными становятся члены, входящие в сумму.
Наконец, при больших значениях !(! ) 1!р',) из всей суммы остается лишь первое слагаемое. Тогда получим приближенное соотношение ')(!) =Ж (~тГ1 — ро ) е оо'[А(К, ()~ 1 ро ) + Ур~ -1 Ро ! 1)(1 Ро) (! 5) К.)'1 — р'. Значение р определяется из табл. 10.1. Для ряда случаев можно получить простые формулы для расчета ро.
При малом К,, точнее при К, Ж((1, имеем но~ ™ ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА о о О 3 03 03 3 СЧ СЧ СЧ СЧ СО СО О 03 03 03 О 03 о о о о о о -'с Сс Сч 3' СО 03 О СО сО сО сО СО 03 Сс СО СО С'3 Сс СО СО СО СО СО 00 СО о о о о о о С'3 СО Ь 3О СО СО О О сс 3' 3' 3' 3' 3' 3' 3' о о о о 3' 3: Сс СО '3 С'3 3' 3' 3 СО 33 СО СО СО Сс 03 О О О О О О О О Сс О О О СО СЧ 0 Сс 00 Д В О О СЧ О О О О О О СЧ 3 СЧ СО Я О 30 '3 00 СЧ СЧ С'3 СЧ СЧ СЧ нс 30 О О О ис О О О О О О Я Сс 3 3 О 03 ЯББЯЯ Н 3' 3' 3' о о о о о о о о В О 03 СО ССО 03 03 03 03 03 о о о о о о О 30 О Ч В СЧ 3' О СО СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ Сс О О О О О О о о о о о о о о о о о о Ь О сч сО О со сО о с0 ис СО ис сч О О О О О О о о о о о о о о о о о о ис ис О СО сс сс- с О 03 СН Я 03 о о о о о о о о ь о о о СЧ Сс 3 3О О О О О О о о о о о о СЧ 30 3' ис сс О О О О О о о о о о о ' о о о о о о о о НО О о о о Я О М О 33 0 О 3" О О, Ю 3 33 33 а 33 й Н О О со о сч с О В О О О О Л С СО СО СО 00 СО СО СО СО СО СО О О О О О О СЧ 3 ис СЧ 3 3 3 0.'3 СО 00 СО СО о о о о ис 3 со С с С С -3 О 33 сс 30 ис ис О 3 3 3 3 С 3 о о о о о о с 3 ис сО Я СЧ СЧ 03 03 03 03 03 03 СО СО 00 СО СО СО О О О О О О СО СО 3 30 СО Я сч сч сч сч СО 03 О В О О О О О О О СО 3' СО СС ис сО СО СО СО ф СО О СО 00 СО ис н'3 нс нс ис нс о о о о о о О СО С- О С О О О О О нс ис 3.0 30 30 О О О О О О 30 С3 3О В С СО СО сО СО О 3 3 3 3 3 СО С 3 '3 '3 С'3 С'3 3 О О О О О О ис ис СО л 03 СО 3' О .О 03 '3 '3 СО 0 СО О О О О О О Ос О СЧ СЧ С'\ 3' 30 00 Я 30 О О 30 30 С'3 СЧ СЧ СЧ С'3 О О О О О О 00 СЧ 3 ис 3 с0 СЧ 3 СН СЧ Я Сс О О О О О о о о о о о СО Л 3 00 СЧ С3 С'3 СЧ В 03 В СН о о о о СЧ 3' 30 00 О 'О 03 сО сО 00 сО о о о о СО СО О СЧ 3.0 ф ОО СО С- 3 3- Л о о о о СО 00 С- 3 С- 3 С 3 о о о о о о о о 00 03 3' СО СО СО 03 03 С'3 СЧ СЧ СЧ О 333 СО 00 о о о о 3 СЧ СЧ СЧ Сс 3 о о о о С'3 О 3" Я В О 03 03 '3 33 0 о о о о СО 3 СО С33 С'3 С'\ С'3 С'3 СЧ СЧ СЧ СЧ о о о о СО 3' СО сО Сс 00 СО 00 00 о о о о о о о о СН 00 С3 СЧ О С'» Я о о о о о о о о 03 Сч 0 03 03 о о 3 Н Нс СО СО 00 СО о о С 0 сО СО 00 л о о 30 СО 333 3 о о о о 03 СЧ 03 С'3 с'3 сО сО О О С- О 03 О 0 Нс О о о СО СО 30 ис 3 о о СО Нс СО 03 СН о о 30 СО 30 СЧ сс с0 о о О С: 30 СЧ Сс о о О сч СО 03 03 о о о о СО О с0 С'3 СО о о о о С'3 '3 Нс СО С'3 о о В С'3 С \ 30 СО С'3 о о о о Глава деслтав 402 с-счс- и» сосос»сч 'со солсою ю Жюочс»ью Я СЧ СЧ СЧ» С'» СО С \ с»С»С»с»О»С» О С» О ОСОЧ» оооооо оооооо оооооо СО СР СЧ с'» СЧ сч сч со со с» с' с' О» О» О» Ю О» О» оооооо СО Сс с» О» с» а» со сО О с О со со со со СО са л с- с- л с- со о о о с» с» О» .О С'Ч СО С' СО со ю о о 'с' с'с сч с» с'» с» с» Ю сО сО сО Ю ч» ОООООО СЧ С» С» О» СО С'» СЧС» С ССОО с с с с с со с' с 1' \' с с' ОООООО О С'Ч СЧ с» О» СО О» '» Ю С'3 С'» сч сч со с» с и» оооооо оооооо сч с» ь и» ю ооооо о о с» о о о са С'Ч О О» СЧ О» СЧ с» с» СО "С' СО СЬ О» Ю Ю О» О» оооооо сч сч сч сч ь со» с» со с ч» с» с'» с'» с» с'» со О сО сО СО О сО оооооо оооооо с» сч г» со с» со сч с со со сч с ь о со со о ~осчюа»ю ьс»лююо о»юочоюсч С» С«О СО О СО С«О С СО О» СО О» С» С О С."» оооооо ооооо о счс» оооооо оооооо оооооо осс»ьюо осс»ьа»о ооооо ооооо ооооо оооооо оос»ооо оооооо ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 403 Если для Р воспользоваться формулой (1б), то из соотношения (15) получим 4(")=ЛТ У ОТехр~ — ' ~' О( .„',Е1 (19) Следовательно, удельный поток тепла убывает с течением времени по закону экспоненты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
