Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 64
Текст из файла (страница 64)
коэффициент р не зависит от теплоемкости льда, а зависит от коэффициента Л,, плотности 7,, теплоты плавления р и разности температур (Тв — Т,). Если взять два члена разложения ехрго и ограничиться первым членом разложения ег( г, то получим ~ — '(Т, - т,)~ сгтг (тз — тд ~пг 1+ 2Ртз Следовательно, в последующем приближении коэффициент (з зависит и от теплоемкости льда. В общем случае для определения коэффициента р в критериальной форме характеристическое уравнение (28) можно написать так: ехр ( — Крз) (' То — Т, ) ехр ( — К 'Кг) ег1 КР ' (, Тз Тс! ег(сК Из К а КоК, (31) а р' где КР = — некоторый критерий, характеризующий скорость рас2 )/аз пространения зоны промерзания в грунте по отношению к скорости охлаждения грунта, или относительная способность грунта к промерзанию; К, = †' = ' '7' — критерий тепловой активности талого грун- Л.гсг то 426 Глава двенадцатая У та по отношению к промерзшей зоне его, К, = ая '",г,..
= — отношение коэффициентов температуроаг проводности талого грунта к промерзшему, Рвгтя Ко = — — критерий Коссовича. Крите.,т, (т,— Т1 рий Коссовича показывает отношение количества тепла, выделенного при замерзании единио к цы объема грунта, к количеству тепла, необи ходимого для охлаждения этой единицы объема к Рис 12. 3. Графический пРомеРзшего грунта от темпеРатуРы замерзасиосоо определения К ив ния до температуры среды. характеристического урв- Полученное характеристическое уравнение (31) виеиия (зО в критериальной форме можно решить графическим путем относительно критерия Кв (рис. 12.3).
Если обозначить левую часть уравнения (31) через у„а правую — через у,, то величина Кв будет определяться пересечением кривой у, с прямой у,. Тангенс угла наклона прямой у, равен 1г'к Ко. Следовательно, чем больше критерий Коссовича, тем меньше критерий Кз, что физически обусловливается замедлением углубления зоны замерзания в связи с повышением доли поглощенного тепла по сравнению с теплом охлаждения промерзшей зоны. Критерий Ке зависит от относительной тепловой активности влажного грунта ( К, ), относительной температуропроводности (К,) и температурного критерия К„ равного т,— т, т — т, (32) Температурный критерий К, показывает отношение начальной температуры грунта к температуре поверхности промерзшего грунта, если отсчет температуры ведется от температуры замерзания Решения (26) и (27) в критериальной форме можно написать так: ег1 т,(х, 1 — т, 2 (Ггов г— (33) ег( Ке т,— т, ег1с 6 То — Т2 (х, е) 2 )г Гоо„ка (34) Тв — Т, ег1сКЕ Ка гги — = 2Кр )/ Ро (35) где Ео„= — ", — число Фурье для данной координаты х.
Предположим, что с = сопз1 и — = О (отсутствие поглощения тепла), вс г(с тогда наша задача становится аналогичной задаче 2 2 гл. Х (охлаждение системы двух тел: ограниченного стержня длиной с, соприкасающегося с полуограниченным стержнем). ПОЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА Решение такой задачи можно написать так (см. О 2 гл. Х): И" ' 'ег(с 2аΠ— х 2 )' адх СО =ег1 — Ь ~~~' 2 ф' адх Тд (х, х) — Т, Од —— Т вЂ” Т, 2аО+ х ) 2 )Iадх ) (36) 2К,' " ~ "— '+('а — В 17' — "1 У Ь" 'ег1с ~ ~, (37) Тд — Тд (х. х) д Т вЂ” Т, ! — К, где К,= — ', Ь= дд 1+К Из решений (36) и (37) видно, что для больших значений $ или для малых значений времени можно написать приближенные соотношения О, =ег1 2 Р' адх к' (* '')' — ') (38) Следовательно, распространение тепла в стержне конечной длины $ при малых значениях Ро происходит так же, как в полуограниченном теле.
Можно показать, что исходные решения (21) и (22) нашей задачи являются приближенными решениями, справедливыми для малых значений Ро или для больших значений $, т. е. для больших значений критерия Кз. В разобранных выше простейших примерах предполагалось, что температура на поверхности грунта Т(0, т) = Т, не изменяется во времени и всегда остается ниже температуры замерзания воды. Если температура Т (О, т) может стать выше Т„то может образоваться несколько пересланвающихся талых и мерзлых зон, я задача в этом случае усложняется еще более.
Даже наиболее простые задачи в этом случае не могут быть решены аналитически в замкнутой форме, а решаются лишь приближенно. Естественно, что более сложные задачи теплопроводности с изменением агрегатного состояния решались и решаются лишь в результате развития приближенных методов. Следует указать, как иаиболееважиые, разработанные Л. С. Лейбензоном методы приближенного решения, позволяющие получить простые решения ряда задач, имеющих практическое значение, и разработанный В.
С. Лукьяновым метод гидравлических аналогий, позволяющий получать решения (посредством применения гидравлического интегратора) практически важных, но весьма сложных задач, в том числе и двухмерных. Глава двенадцатав 428 $ Т. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА, НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЫ, ШАРА И НЕОГРАНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРА В 1931 г. Л. С. Лейбензоном (41) был предложен приближенный метод решения задач промерзания, который обычно называют первым методом Лейбензона. В 1939 г. им был предложен второй метод решения такого рода задач [41).
Оба метода нашли широкое применение в инженерной практике и подвергались экспериментальной проверке. Рассмотрим подробно первый метод. Метод приближенного решения заключается в том, что функции Тх(х, *) и Т,(х, ч) подбираются так, чтобы они удовлетворяли начальным и граничным условиям. Подобранные таким образом функции подставляют в условие сопряжения на границе раздела фаз н решают полученное дифференциальное уравнение относительно 1. Затвердевание полуограниченного тела (промерзание грунта).
Рассмотрим вначале задачу о промерзанин грунта. Граничные условия будут теми же, что и в задаче Стефана. Принимаем линейный закон распределения температуры в замерзшем грунте: Т,(х, ч) = Т,+ ' ' х, что соответствует стационарному состоянию, н закон Гаусса для талой части грунта Т,(х, ч) = Тв+ (Т, — Тв) ег1 (2) 2 )/ аеа Выбранные функции Т,(х, ч) и Т,(х, ч) удовлетворяют начальным и граничным условиям, а также дифференциальным уравнениям. Найдем градиенты температуры на границе раздела фаз: дте ($ х) те — те дте (Е е) те — те '(дх Е дх )/ааех Тогда из граничного условия (7) й 1 следует: Л, (т, — т,) Л, (т„— тв) д1 (3) РТ2 Решение уравнения (3) относительно ч при начальном условии с(0)= = 0 есть $ = р )/ ч. Постоянная р определяется нз характеристического уравнения л (т — т) РТх л (т — т,) (4) которое в критериальной форме имеет вид 1 1 — — — К, К, = КОКе 2Кг Т/ .
(5) Таким образом, критерий Кг зависит только от критериев Ко, К, и К,. Критерий К в уравнение (5)' не входит, что объясняется линейным законом распределения температуры в промерзшей зоне грунта, отвечающим стационарному состоянию. ПОЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА 429 Затвердевание цилиндра. Имеется неограниченный цилиндр с жидкостью при температуре Т,. В начальный момент времени температура боковой поверхности мгновенно понижается до некоторой температуры Т, ( Т„которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения. Начиная с поверхности цилиндра, образуется замерзший слой жидкости толщиной )с — т( = $, где т( — расстояние от оси цилиндра до границы замерзания (рис.
12.4). Для упрощения задачи предполагается, что температура жидкости везде одинакова и равна температуре замерзания, т. е. е с — н — с- — Ч вЂ”,' Рис. 12. 4. Граничные условии п ри затвердевании неограниченного цилиндра Т, (х, т) = Т, = Т, = сопз1. (6) Тогда задача математически формулируется так; дТэ (г, с) ~д Тэ (г, с) + 1 дТз (г, с)) ос Л дгэ г дг Т (т1, т) = — Т, = сопз1, Т (Д, т) = Т, = сопз1, дТ, (та т) с(т1 + Лз = Ртз —. дг дт (10) (12) откуда получаем зависимость между т1 и временем т. Время полного промерзания трубопровода (при т = т„т) = О) будет равно иэ Нз = — Ко. 4Лт (Тз — Тс) 4ат (14) Затвердеваьие шара. Задача аналогична предыдущей; она была решена С. С.
Ковнером [28). Граничные и начальные условия остаются прежними. Принимаем распределение температуры в промерзшей зоне (зона льда) по закону распределения температуры в полом цилиндре в стационарном состоянии, т. е. (..) (Тэ Тс)(иг+ус(ия тэ(иИ (11) !п( — ) Решение (11) удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению (7). Подставим решение (11) в граничное условие (10): Тз Тс — л дс ч 1п— и проинтегрируем его. Тогда получим (,сэз з) Лт (Тз — тс) ч 2 Ч 4 рта Глава двенадцатая 430 Распределение температуры в полом шаре из льда принимаем по закону стационарного распределения температуры, т.
е. Т,(г, ч)= ' ' К( Ч вЂ” 1)+Тз. (15) )т — ч ~т Решение (15) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности для шара (симметричная задача) и краевым условиям. Подставляя решение (15) в граничное условие (10), получаем после интегрирования уравнение для определения тс Ртз (Ч вЂ” )т) (2Ч+ И) (16) б) з (Тз — 'Тз) )1 Время полного затвердевания шара т равно )зз )зз т бХд (Тз — Тз) баз (17) Полученные соотношения (13) — (16) являются приближе иными; как показали опыты А.
А. Померанцева [581, точность их — порядка 15 — 20зтз. С целью лучшего приближения к действительному процессу А. А. Померанцев ввел поправку в формулы (14) и (17), учитывающую влияние теплоемкости воды. Величина этой поправки равна Яг —— ) сз'(з (Т вЂ” Тз) еЬ, ( "'т) где )тг — изменяющийся во времени объем жидкой фазы. Теплосодержание твердой фазы равно Д = рй)т.(з(т, + ( сз.( (Т вЂ” Т,) сЬ. Отз) где (т,— переменный объем твердой фазы.
(19) (20) 1 + (Тз Тз) (18) Ртз где Т, — начальная температура воды (при Т, = Т, А = 1), В формулах для т надо соответствующее выражение в правой части умножить на А, чтобы получить соотношения А. А. Померанцева для времени полного затвердевания шара или цилиндра. В технической литературе опубликован ряд работ по приближенному решению рассмотренных вьгпе задач. В этих работах задача промерзання грунта значительно упрощена (полагают теплоемкость грунта равной нулю), а решения ищут для случаев промерзания полуплоскости, цилиндра и т. п. Такой способ решения представляет собой применение метода Л.
С. Лейбензона, в котором для функций Т, и Т, принимаются выражения, соответствующие стационарному состоянию. Затвердезиние неограниченной пластиньи Во втором методе Л. С. Лейбензона условие сопряжения заменяется интегральным условием затвердевания. Это условие непосредственно вытекает из уравнения теплового баланса. Составим подобное уравнение для процесса затвердевания. Подсчитаем теплосодержзние всего тела, причем отсчет будем производить от теплосодержзния тела в жидком состоянии при температуре Т,. Теплосодержание жидкой фазы равно ПОЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА 431 С помощью равенства (21) где ل— тепло, отданное фиксированным объемом )т = )Г, + )У =- сопз1, нетрудно получить для малого объема вблизи границы фазового перехода, используя малость интегральных членов условие (7) 3 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
