Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е. обычное условие затвердевания, которое будет иметь вид Л дТ (Е,с) Л дТ.(Е т) )Г 31 х з =Р Тз— дх дх дс Применяя аналогичный способ расчета, Л. С. Лейбензон получил следующую формулу для полного затвердевания (т = -. ) неограниченной пластины толщиной 2)с, противоположные поверхности которой охлаждаются и поддерживаются при температуре Т„меньшей, чем температура замерзания: И (Рта+ Р) 2Лс (Та — Тс) (23) где 4 1 (с — — сз (в (7е — 7'з) + — сх'й (7'з — Гс).
(24) $ 3. ЗАТВЕРДЕВАНИЕ МЕТАЛЛА ПРИ ЗАВИСИМОСТИ КОЗФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕПЛОЕМКОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ Расчет скоростей продвижения фронта кристаллизации металлического слитка или оттаивания промерзшего грунта обычно ведется при постоянных значениях всех теплофизических характеристик материала х) Следует заметить, что сильное изменение, при фазовом переходе может вызвать смещение и деформации в обеих фазах. В этом случае задача усложняется, так как в уравнениях появляются конвективные члены.
Аналогичные формулы им были получены для цилиндра и шара; они отличаются от соответствующих формул (14) и (17) добавочными членами, учитывающими влияние теплосодержания жидкости и льда на процесс затвердевания'). Задача о промерзании грунта является задачей о сопряжении двух температурных полей со специальным условием на границе раздела. Возмоисен иной приближенный метод решения этой задачи, когда рассматривают лишь одно температурное поле в промерзшей части грунта, а влияние талой зоны учитывается посредством введения тепловсго потока внизу фронта промерзания.
Этот метод получил применение прп расчете сезонного промерзания грунта. При этсм оказалось, что влияние нижнего (талого) температурного поля на верхнее (промерзшее) невелико, и поэтому в расчет может быть введено приближенное значение величины теплового потока, кроме того, еще усредненное за весь период промерзания. В обстоятельной работе В.
С. Лукьянова (39) предложена расчетная формула для определения глубины промерзания, по которой были М. Д. Головко [46) составлены номограммы. Формула достаточно проста и надежна в смысле совпадения результатов расчета с данными наблюдений. Глава двеяадцатая 432 где (ф — температура, соответствующая фазовому превращению; в частности для затвердевания слитка — это температура кристаллизации металла ('С), со — температура поверхности материала ('С). На фронте фазового превращения х = у(о), где у(о) — координата фронта фазового превращения, ((у(') ) == (ф. (3) Из уравнения теплового баланса определяется закон изменения фронта фазового превращения: ду Ло+ кХФ ( дв ) дс рт Л дх )х =у(Ч где р — теплота фазового превращения.
Если обозначить (4) — Х а=— ст Сф+ го — ~ф+ Со Л = Ло + к ; с=с,+о —; 2 2 (5) " (Гф ~о) к Уф ~о) ат = ао —— 2Х 2с (5) с(ф — (о) е=, ', (~ — ','), совместно с условиями (2) — (4) перепишется так: (1+а~0) д — — а д ~(1+а,О) д ~; (7) то уравнение (1) (8) Е(О, я)= — 1; О(у(,), ) =-1; дУ, = — '. (1 с .Ф)(д„') .
(О) Посредством подстановок (10) Точность получаемых при этом результатов можно оценить лишь на основе более общих решений. Такое решение для линейной зависимости коэффициентов переноса температуры было получено Б. Я. Любовым (48). Использованная им методика нахождения решения посредством рядов достаточно проста н может быть использована как для решения других подобных задач переноса с подвижными границами, так и для решения задач с более общими граничными условиями или более сложной зависимостью коэффициентов переноса от температуры. Предположим, что прогрев зоны материала, претерпевшей фазовое превращение, отсутствует, а температура материала зависит лишь от расположения поверхности фазового превращения и от времени.
В этом случае уравнение, описывающее изменение температуры в зоне, претерпевшей фазовое превращение (например, в затвердевшей корочке металла), имеет внд 7(с.+ ) — = — ),(Л.+ () — 1; дс д Г д11 (1) до дх ~ дх) с(х, 0) = сф при х> 0; т (О т) = то (2) ПОЛЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА 433 последнее уравнение преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение †" !(1 + .,е) — 0 1 ь)- ц1 + .,е) †" = о «0 1 з(0 ~ Ав с условиями в (о) = — 1; е (в) = 1; 1+а, (ЙО) (! 3) ег! (~/)'2) ехр~ — — 121 = определяющему значение р. Решение уравнения (11) ищем в форме ряда в (в) = ")' ( ",",'„ ) (0 ,в)" .
(16) з(»0 Значения — при 4 =- р и для и > 1 найдем последовательным диффе- З(ал реицированием уравнения (11), а при л =-! из условия (13) (.)= =- 801 8 (17) а» /1 з 1 .+аз ( — '),=,-- ~ ','+ ','1 ( — ') --' а»0 „з 1 + аз ., з (1 + аз) ., 4«з + Заз໠— аз .з, Заза !' + !'1; Дз,)1=0 (1+ аз)з 1 (1+а )з (1+«,)з (1+ а )з ()е) 840 1 „з Т 3 (1+ аз) . ба»+ 4азаз 2"з з! (') =-'~ з )1~— з(0» )1=0 1 (1+ «з)' (1+ аз)' Г(! + аз) з )+ + лз Т (1+ аз)з .
(1+ аз) (11аз+ 7«заз — 4«з) (1 + «1)з 1+ (1+» )з !+ 11 аз (25»з + 18»заз — 7«з) .з а~ .з ! 18 з (1 + аз)з (2о) и т. д. Согласно первому условию (12) запишем — 1 =;«'( — 1) ( — "„",'„)„— '", «=0 (21) Если в (11) и (13) положить а, = а = О, то задача будет сведена к задаче с постоянными коэффициентами, когда величины этих коэффициентов приняты равными среднему арифметическому из их значений длЯ Гф и зз. Решение ее имеет вид е = 2 ег1( 0~)Г2) — 1 (14) ег1 (10/к'2) Условие же (13) при аз = а, = О приводит к уравнению 434 ! И"В! Подставляя в (21) полученные выражения для ( — ~, после некоторых ~и! ~=з преобразований найдем ряд для определения р: — (1+а,)=-1 +и ~~ — + 2 з ав Г 1+ав 1 в Г (1+ ав)в 1)+р ! ' (3(1+ав) 2(1+ав)в ~ ~ 15(1+ав)в 5ав + 4ав«в — ав, а~ а ) в ~ (1 + ав)в 12 (1 + ав)в 2 (1 +ав)в ) ( 105 (1 + ав)в (1 + ав) (31ав + 22авав — 9ав) .
ав (1эав + !5авав — 4ав) 1ВО (! + .,)в 3О (! + а,)в 5*в + 3 (1-1-а )в ! ~ (22) Можно показать, что при а, = а =О ряд (22) переходит в ряд, который можно получить нз (13) (48). Зная 3, по выражению (!6) можно найти значения 6(1) для различных значений с и определить из графика этой зависимости изменения температуры во времени для различных координатных точек. Скорость продвижения фронта фазового преврашения определится по формуле в!у 1' а (23) Р' 2а Среди других методов решения аналогичных уравнений в последнее время получил распространение интегральный метод [151. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА Значения коэффициентов переноса и термодинамических характеристик материала или среды, вообще говоря, могут быть различными для разных точек тела.
С изменением потенциалов переноса они претерпевают иногда существенное изменение. Решение большого количества вопросов в области науки и техники может быть значительно уточнено путем введения поправок, возникающих в связи с переменным характером коэффициентов. Необходимость проведения такой работы особенно остро стала сказываться в связи с широким внедрением в различные отрасли техники высокоинтенсивных процессов. Отметим также, что путем соответствующих подстановок многие задачи конвективной диффузии и теплопроводности, гидродинамики вязкой жидкости и другие могут быть сведены к дифференциальным уравнениям типа теплопроводности с переменными коэффициентами.
Это указывает на необходимость накопления и обобщения полученных результатов решения неоднородных и нелинейных уравнений теплопроводности, а также дальнейшего развития методов решения этих уравнений. В ходе процесса материал в той или иной степени изменяет свои структурные свойства. Когда свойства тела меняются по координате незначительно нли самым беспорядочным образом, допустимо при исследовании явлений переноса соответствующие коэффициенты и термодинамические характеристики принимать постоянными и равными средним эффективным их значениям. Однако в ряде случаев неоднородность физических свойств оказывается столь значительной, а изменение их по координате столь закономерным, что пренебрегать ею недопустимо.
Последнее вынуждает нас переходить от решения дифференциальных уравнений переноса с постоянными коэффициентами к решению уравнений, где все или отдельные коэффициенты являются в конечном счете функцией координат. Решение дифференциального уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами связано с большими трудностями. Поэтому точное аналитическое решение удалось получить в настоящее время для весьма ограниченного круга задач.
В этой связи первостепенной задачей, стоящей перед аналитической теорией теплопроводностн, является разработка методов решения дифференциального уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Глава тринадцатая 436 4 1. ЛОлуОГРАниченнОе телО. теплОЛРОВОднОсть И ТЕПЛОЕМКОСТЬ вЂ” СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ КООРДИНАТ Рассмотрим в основном методику решения одномерного дифференциального уравнения теплопроводности: Краевые условия следуюи4ие: (2) (3) 1. Пусть ст = сопз1; коэффициент теплопроводности Л зависит от координаты следующим образом: Л = Л х". (4) Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа; тогда с учетом (2) и (4) получим и"Т, (х, в)+ пхл ' Тд(х, в) — — Тд(х, в) = О, (5) ао где а, = Ло/ст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
