Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 69
Текст из файла (страница 69)
1. Зависимость между парамет- 2) соответственно численным интегрированием уравнений (15) н (16) определяются $ и 0. Соотношение между а и !пр определяется уравнением (14) и выражением р =- — 1п(1 — а). Графически оно показано на рис. 13.1; если найдено значение а, то по этому графику сразу же может быть определено значение р. Результаты расчетов приведены на рис.
13.2. 2. Пол уогр ани че н на я среда. Имеем о (! — Лт)а ' Краевые условия остаются прежними. Подставим 0=— о а = Тол. 2 1' а,(! (17) с краевыми условиями 0 =0 при (18) Это 'позволяет получить обыкновенное дифференциальное уравнение в переменных $ и 0: Глава тринадцатая 456 (! 9) где ф(и, 'р) находится из соотношения 'у (и, р) = ]/ я р [1 — ег! (Ри)] ехр (рз), р — константа, определяемая как функция данного параметра из урав- нения 0,9 ол оз од ьо т,а Е гл ао з,о Е Рис513рз.я[Зависимость между относительной температурой 0 и Е=л! ф 4ает для значений 1У(1 — а)е от 5 до 50 Рис. 13.
2. Зависимость относительной температуры В от Е= 1 = «/ р 4аее для значений !в от 5 до 50 Уравнения (20) и (21) дают решение 0 = 0 ($) с параметром и, значе ния которого лежат в интервале 1 <и < Результаты решения этой задачи отражены на рис. 13.3. 3. Полуограниченная среда. Имеем а(Т) = ' (я и т — постоянные). 1+ 2аТ Р.тТе 0=1 при 1=0.
Решая уравнение (!7) при условиях (18) — (19), найдем соотношение между 0 и $. Приведем здесь окончательный результат, полученный Фуджита; детальные выкладки и анализ полученных результатов приведены в работе [99]. Решение можно представить в следующем виде: 0= (20) а 11 — а + ф (и, р) ] И1 — а + ) (и Р)] и — р Рз (! — аз)]] (21) ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ.
КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 457 Краевые условия прежние. Рассматриваемая зависимость коэффициента температуропроводности от температуры включает в себя как частный случай предыдущие задачи. Вместе с тем эта зависимость позволяет решать задачи для условий, когда коэффициент температуропроводности (точнее теплопроводности) при изменении температуры проходит через минимум или максимум. Решения этой задачи были также получены Фуджита. Посредством подстановок 0 = Т!Тоо 0 = " , а = хТ„ ~ = оТо 2 г'ао~ 20 с краевыми условиями 0=0 при 0=1 при 0 =О. Рассмотрим случай, когда и(Т) проходит через максимальное значение между Т = О и Т = Т,.
Последнее эквивалентно условию, по которому функция Т" (0), определяемая выражением Т(0) = 1 + 2а0+ Р0о, имеет минимум между 0 = О н 0 = 1. Легко показать, что такое уело. вие определяется неравенствами О« — — 1, р>О, (22) (23) откуда вытекает, что а <О. (24) Физически любой максимум а (Т) в рассматриваемой области изменения температуры должен оставаться конечным; последнее требует, чтобы соответствующий минимум Т(0) был положительным, что равноценно условию О « — 1.
(25) Соотношения (22) — (25) выражают условия прохождения коэффициента а через максимум. Для удобства обозначим а = — т; тогда приведенные неравенства запишутся так: О<Я<1, О<7оТ~<1. Окончательное решение задачи можно представить в следующем виде: ро = (р — 7о)" [я [Р (и, ) — 15-'й) + т, О < 0 < 0„ 00 = (Р— то) [я [1я 'т — Р (и, о) — Р (и, ои + 7, 0,<0<1, (26) (27) уравнение теплопроводности преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение 458 Глава тринадцатая где РВ = (Р— т')'*(а(Р(1 е) — (а '/3)+т. Кроме того, 1м и/ (ги + (1 — ив — е 1п и)'/*1', в (р — тв) (1 + лв) — Й<г<г,, 1' '! 1/ 1 ' (гги — (1 — и' — в!п и)и*~, .
(Р тв) (1 + гв) ~ гв (г (т, (28) (29) где !а гг =Р(1 в) — ! -3/3 18-'г = Р(и, е) — (Я-'/3, — /3 <г< гг (Я 'г = (и 'т — Р (и, е) + Р (и, а), г < г< т. !5, 0,5 !г, 0,4 ак о,г о О,! О,г 0,3 0,4 0,5 0,6 О,т 0,3 0,9 -о,г Рис. 18. 4. Зависимость относительного козффициента диффузии ав4/авве от относительной -0,4 ! авв концентрации В,„(! — = 1/(1 — 2аВ,„ + В в); ) ате 0 О,! О,г 0,3 0,4 0,5 ен Рис. 13.5. Графики для определения общих решений: ! — уравнения (3!);! — уравнения 4331 а= — 1,546; 8=-2,877~ е !п и + (та+ 1) иг = 1 (д 3/3+ (я 'т = 2Р(1, в) — Р(и, е), (31) (32) где и Р(и, е) = ) (1 — иг — 31пив) /'//иг. о Вспомогательные переменные в этих уравнениях определяются соотношениями (ЗО) (а гтв) /в (в тв)'/в ! Р / где т = — а и р — постоянные величины, входящие в выражения для коэффициентов температуропроводности. Кроме того, е и и связаны с /3 и т выражениями тнплопронодность при парим.
коэоэиииентАх ннреноса 459 Оценивая (26) и (27) в записи- б, мости от и, можно заметить, что в соотношении (26) и ме- о,з няется от 0 до 1, а в' уравнении (27) ограничено интерва- о о лом и„<и С!. В качестве примера рас- о, смотрим процесс диффузии. На рис. 13.4 представлена графическая зависимость коэффициента диффузии а !а о от безразмерной концентрации 0 .
При этом в выражении для коэффициента диффузии = — 1,646; р = 2,877. При 0 =1 ауа о=1710; а )а о имеет максимальное значение, равное 17,20, при 0 = 0,572; й и т, рассчитанные по уравнению (30), соответственно равны й = 4,025; т = 3,010. Значения е, рассчитанные по уравнениям (31) и (32) для различных и, приведены на рис. 13.5; точка пересечения кривых а = а(и ) дает решение этих уравнений. Окончательный результат в виде соотношения между 0 и 0, рассчитан- ный по уравнениям (26) — (29), представлен на рис. 13.6. ! з с Рис. 13.
6, Зависимость относительной концентрации 0«« от 0 для коэффициента диффузии, изменяющегося в соответствии с графиком рис. !3.4 $ б. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОЗФФИЦИЕНТАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ КООРДИНАТЫ Приведенные выше решения можно обобщить и получить их из более общего решения. Вначале рассмотрим результаты работ (4а), (45) для уравнения вида дт дк дг 1. Следуя [4а), введем новую переменную о (2) Тогда уравнение (1) примет вид') дт (г, т) 1 д«т (г, т) дт 4 (г) дгз (3) где д(г) = с(х) Т(х) К(х).
(4) ') Заменой переменных ду = рд(г) дг уравнению (3) можно придать форму уравнения теплопроводности для стержня с переменными значениями теплаемкости и теплопроводностн, но постоянной температуропроводностью, равной единице. Такой стержень будем называть «эквивалентнымз стержнем 14а). 460 Глава гравадцатав Предполагается, что функция д(г) удовлетворяет в промежутке О<г < следующим условиям: !) не принимает отрицательных значений и может обращаться в нуль лишь при г = 0; 2) имеет непрерывную вторую производную везде, кроме, может быть, точки г= 0; 3) вблизи начала координат функция 4(г) имеет вид 4 (г) = г* (! + р (г)), в 0 где р(0) = О, з) 0; 4) интеграл ~Уц(г) (г расходится при г -~ 5) модуль 5 Ч'в (в) д» (г) 16 в П (г) 44 и(в) убывает достаточно быстро, так что интеграл О 5 ц (г) ц (г) 16 4 и(в) 4д" (г) о сходится. 2.
Для построения решений краевых задач уравнения (3) с функцией д (г), удовлетворяющей условиям 1 — 5, приведем результаты задачи на собственные значения для уравнения (5) +Лмад(г) и =- О, (5) Игв которое получается из уравнения (3), если в последнем положить Т (г, т) = и (г, Л) е-л' ' (5) о ($, Л) = Г 1 д г' (г) и (г, Л) (8) преобразуем уравнение (5) к виду — + ) '"!'о = Я (!) о д(в (9) Доказательство результатов и подробности, касающиеся задачи Штурма — Лиувилля для уравнения (5) на полубесконечном промежутке, можно найти в работе [4а), а также в монографиях (75а, 38б).
Рассмотрим решение уравнения (5), удовлетворяющее условиям да„(0, Л) и„(0, Л) = з(па, " ' = соза (7) (о «. — '). Вводя новые зависимые и независимые переменные согласно соотноше- ниям теплопроподность при перпм. Коэьоициентлх переносл 431 где з ( в + ) ! 5 з*д'(з) + ! ззд" (з) 4 ( 4 ) (з ЬЗ Ч' (з) 4 Чз ( ) Считая правую часть уравнения (9) известной и используя условия (7), методом вариации произвольной постоянной получим в+2 ') / з+вЛ о(зз, Л) = аА(зо) У Л( 7 ! — 2 (Лзз) ) + ЬВ(Е) )'Лз зз ! ~ 2 (Лзз) ), з+2 3+в (11) где использованы обозначения 7 з-(-зз, А(оз) = япа — — 'г'Л~ У ! ~ — (Лз)) ) )зз(з)) о(4) з("4, ь Г 2 о з+3 / з+2Л В(Е) = + — ~~/Лз) У ! ~ + (Лъ)) ) Й(з)) о(о)з(з), о в+2 (з+2) (в+2) (12) (13) (з+ 2)з+в (в+ 2) + 3+2 з+в )з. М(),) соз ), ' ) ) д(г) з(г + й)(Л) яп Л ' ) 3/4(г) з(г, (14) о о где введены обозначения М(Л) =аА( )з!п( + зз)+ЬВ( ) соз( я), в+4 I в+4 4(в+2) ! !,4(в+2) У(Л) =аА( )соз( ' зз)+ЬВ( ) з1п( ' зз).
( 4 (в + 2) / ( 4 (з + 2) Возвращаясь к исходной функции и„(г, Л), получим для нее при г-в асимптотическое выражение и.(г,Л)= ~/ Л изд п(г) Х 3+2 в+2 х1в<о ° 1~)1ззтз з.з!чз ° «')ззр)з)). Оз) о о 3. Приведем асимптотическое выражение для функции о(1,Л) из формулы (11) при г-в . Используя 5-е свойство функции д(г) и известные свойства бесселевых функций, можно показать, что интегралы (12) в выражениях для А (1) и В (1) сходятся при $ -в, откуда на основании 4-го свойства функции д(г) и асимптотического поведения бесселевых функций (см. приложения) при 1-з получим 462 Глава тринадцатая Из формул (11) и (12) весьма просто получить также асимптотическое поведение для собственной функции и«(г, Л) при Л -5; результат имеет вид (при а+0) и„(г, л) = 1/à — '+ д-'/ (г) л 'и х г «О г г з-(-2 5+2 х)«Я-.(Л * ) х'д744 45<«)«. х' )т«(54*)(.
Д«) о о где Р()) = ая!па я1п 5+4 4 (з + 2) Я(Л) = а я)па . соя 5+4 4 (з + 2) (18) ди, (г, Л) Соответственно для производной " „при Л -+ имеем (а+0) 5+4 «( ) .2/ 5+2 ч ()Л 4 дг )х и 5+2 р «+2 — Р(Л)я(п Л " ) 3/ц(г) 4(г + Я(Л)соя Л ' ~ 3/((г) юг . (19) о о АНаЛОГИЧНО Прн а = 0 И Л-4. ИМЕЕМ з+4 ио(г, ),) = — 2/ — д — '/«(г) Л Х / 5+2 3+2 р '+2 г х К(Л)соя ), ) )/а(г) 4(г + Ь(Л)я)п Л ) ')/д(г) 4(г, (20) о о Йи«(г, Л) 5+ 2 и г Лз(4 г+2 р г+2 'г4 — К(Л) я)п Л ) '1/д(г) 4(г + Е,(Л) соя ), ) )/4у(г) 4(г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
