Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Остановимся на наиболее общем и простом по технике вычисления методе преобразования Лапласа, т. е. применим функциональное преобразование Лапласа Р (з) = ( Т (~) з " с~с. е Во многих работах, посвященных решению электротехнических задач методами операционного исчисления, применяется функциональное преобразование Лапласа †Карсо: (8) Изображение одних и тех же функций будет иметь различный вид в зависимости от того, каким интегральным преобразованием пользоваться. Изображение функции Р(з) по Лапласу будет соответствовать изображению Ф (о) по Лапласу — Карсону. Это надо иметь в виду Р при пользовании таблицами изображений, приводимыми в разных монографиях по операционному исчислению.
Учитывая, что данная монография предназначена в основном для инженеров и студентов, мы стремились дать изложение метода функционального преобразования Лапласа наиболее просто, в доступной форме, опуская некоторые детали, общие исследования и обобщения. Глава веплраадяатал 474 $ С ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а ее видоизменение (изображение). Это видоизменение — преобразование — производится при помощи умножения на некоторую экспоненциальную функцию и интегрирования в определенных пределах.
Пусть изучаемая функция у = Г(~) есть кусочно-непрерывная функция вещественной переменной т. Кусочно-непрерывной функцией называют однозначную функцию, имеющую в конечном интервале (0~(~.(6) конечное число разрывов непрерывности в точках тм вв, ..., т . В каждом интервале (та ь вл) функция Г(т) непрерывна, причем она стремится к конечному пределу при приближении к границе. Функцию у = Г(т) называют оригиналом функции.
Преобразование Лапласа функции у = Г(т) будет состоять в умножении ее на е" и интегрировании в пределах от 0 до ) 7(т)в-"д~ = Р(з), (1) о [1(т) ~( Ме (в >О, М >0) [в — "Г()! < М -и — '~', или где а — некоторое конечное положительное число. При указанных ограничениях, накладываемых на функцию Г(~), интеграл (1) является регулярной функцией от з в правой полуплоскости от прямой в (см. 9 9), т. е. функция Р(з) имеет производные всех порядков в указанной области и все ее особые точки расположены в комплексной плоскости слева от прямой в.
Условимся оригинал функции обозначать строчными буквами, а ее изображение — прописными буквами, например: у(т) — оригинал функции, а У(з) — изображение, тогда: Е [у (х)[ = )е (з). где з = 1+га — некоторая комплексная величина. В результате интегрирования получим некоторую функцию Р (з), которая называется преобразованной функцией по Лапласу, или изображением функции. Таким образом, преобразование Лапласа является интегральным преобразованием; это преобразование изображается символом Е [Г" (т)1: Е [7 (т)] = Р (5) = ) 1'(т) е ест, (2) о причем изображение Р(з) существует, если интеграл (1) сходится. Более детальное обоснование преобразования функции Г(т) будет дано в Е 9, где будут выяснены необходимые условия существования функции Р(з).
Для упрощения основных соотношений ограничим класс рассматриваемых функций. Функцию Г(т) принимают кусочно-непрерывной и отличной от нуля только при т > О. Величина 7'(0) обозначает в дальнейшем 7(+ 0) = Вгпг(т), а Г( — 0) равна нулю. Далее из класса кусоч+о но-непрерывных функций выделяем подкласс функций, характеризуемых тем, что асимптотические значения функции 7' (т) при т -е.
меньше асимптотического значения функции е~, где в > О, т. е. при достаточно большом вс ОСНОВЬ/ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 475 Приведем несколько примеров. 1. Пусть оригинал есть постоянная величина /(г) = А=сопз1 (т > О). Тогда +а й Ь [А] = [ Ае "!(т= — — е о о (если з>0). (3) 2. Пусть / (т) = Ат. Тогда Ю Ь [Аз] = Ате "!(!=в зз (4) 3. Пусть / (т) = е«' (т > О). Тогда Ь[ е«'] = ~ е (з "1' г(с = (если з > «).
з — з о Отсюда 1 Ь[е «"]= + (б) 1 /(т) = = = т 14. Тогда ]à —, 4. Пусть СО Ь[тд]=~тдезг(т о Положим 2хг(х зт = хз, з тогда Ь]т«] = ] т«е з дт. о Положим зг = г; тогда л, П («) Ь [ «] — ~~ з«е «+! о где П («) = Г (й+ 1) (см. приложение 1). Если й — целое число («=и), то П(п) = и1, так что л) Ь [т«] и зе+! СО .[,-А]= у'Х о 5. Пусть /(т) = т«, где /г («> — 1). Тогда ( — х' е " !(х = ']/ т (так как — " е «г(х= 1), (7) у 3 ]г в,! о может быть ие только целым, но и дробным числом Глава четырнадцатая 476 Таким образом можно найти изображения и ряда других функций. В приложении приведена таблица, в которой для некоторых функций 1"' (т) даны соответствующие изображения.
Необходимо отметить, что не всякая функция Р(з) имеет изображе- ние. Например, не существует оригинала для функции Р (з) = [из, так как полюсы этой функции расположены на всей вещественной оси с, а не слева от прямой о (см. 2 9, 10). Однако можно показать, что если Ф (з) является изображением, то соответствующий оригинал будет единственным, который являлся бы кусочно-непрерывной функ- цией.
Если функция Г(т) растет быстрее, чем е*', то для нее не существу- ет изображения. Например, функция Г (с) = е'* не имеет изображений, так как для нее интеграл Лапласа расходится. Однако, например, раз- 1 рывная функция Г" (т) = — (она стремится к бесконечности, когда ч — ь О) имеет изображение Р(з) = [/ —, так как интеграл Лапласа сходится. Функция Г" (т) может быть ступенчатой; например, 0 при 0 <т (/г, 1 прис й. Изображение ее следующее: СО Э вЂ” зч = ~ ля (т) е — з" с[с = ~ е —" г(т = — — е —" о а (10) й 2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА С в ой с т в о л и ней н ос ти. Преобразование Лапласа является линейным, т. е. если А и  — постоянные, то по определению преобразования Лапласа можно написать: Ь [АГ(ч)+ Вд(т)] = АВ [Г(т)] + ВТ. [д(с)] =- АВ(з)+ ВО(з), (1) где Р(з) и 0(з) — соответственно изображения функций 7(т) и д (т).
Пользуясь этим свойством, можно найти изображения ряда функций. П римеры. 1. Пусть 1 (т) = зй йг. Тогда яч й [зЬ й г] = Т. [ — е — — в 12 2 ] 2 з — й 1 ! й 2 а+й зз — йз — (2) 2. Пусть г'(т) = со йт. Тогда Т.[спйз]= — 1Т, ~в '+в ~ 1= — [ + — ! = — (3) 2 [ ] 2 [з — й з+й] зз — йз Изображение.
производной. Пусть Т.[Г(т)] =Р(з). Найдем Т. [Г'(т)], где Г'(т) = ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛБНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 477 Имеем 7 [1"' (т)] = ~ Г' (с) е "Ат = е " Г (с) ~ + з ~ Г (с) е '" с[т. а а (4) Если Г(т) принадлежит подклассу с указанным выше асимптотическим свойством, то е ' 7(т) -ь О, когда т -+ , н равна Г(0), когда с-ьО, т. е. У. [Г' (с)] = зР (з) — 7'(0). (5) 1 [Г (с)] = зь [Г' (т)] — Г (О) = е [вт [Г (т)] — Г (ои — У (О) = е'Р (з) — зу (0) — г'" (0). Таким же образом можно найти изображение Г" (т): 1. [Г з (~)] = е'Р (з) — з'Г (0) — зГ'(0) — 7з (0).
Вообще 1- у'"1( )] = з"Р (з) — е"-'Г (О) — з"-'г' (О) — ... — Г'" " (О). (б) Таким образом, для функции Г" (т) с указанным асимптотическим поведением при условии существования непрерывных ее производных вплоть до Г1" и (т) существует изображение для производной Гч"'(т). Формула (б) имеет большое практическое значение для нахождения изображений. При ее помощи можно найти изображения функций, рассмотренных в й [. П р и м е р ы. 3. Пусть [ (т) = Ат, Р (т) = А. Тогда Е [Р (тЦ = зь [1 (т)] — [ (О), т. е. Е [А] = зЬ [Ас].
А Е [А] = †, откуда А Е [Ат] = — „° Известно, что т. е. получаем то же соотношение (4) $ 1. 4. Пусть 7 (с) = япйс, Р(а) = йсозйт1 7" (с) = — йзяпйя Тогда ь [Г (т)[ = ззР (з) — зт (О) — Р (О), — йзЕ [яп йт] = ззЕ [з[п йт] — й. Отсюда й Е [яп йт] = Таким образом, дифференцирование оригинала функции соответствует умножению изображения функции на е и последующему вычитанию постоянной Г(0), т. е. величина з обладает свойством оператора.
Следовательно, применяя функциональное преобразование Лапласа, операцию дифференцирования оригинала функции можно заменить алгебраическим действием над изображением. В этом состоит связь операционного исчисления с преобразованием Лапласа. Если Г(0) = О, то 1. [('(т)] = зР(з), но величина з не тождественна А оператору ьг = —, так как для постоянной А имеем Ь [А] = —, а от ' з ОА = — О.
Найдем изображение производной второго порядка: Глава четырладцатал 478 5. Пусть / (т) = сов лс, /' (т) = — /се!н Ас, )л (с) = — лесов/сс. Тогда 5]7(П=Р(), — /сеЬ ]сов лт] = зе5]сов/ес] — з; отсюда (9) 5]соз/сс] = з+ 1/2, 1 1/2 6. Пусть 1«) =т, 7'(с) = с, Тогда 2 известно ]см. формулу (7) $1], что 5 [ с 1/21 = ~// †. следовательно, 5[с/~= — ~/ в 1 Г.„ (1О) л+1/г л+1/2 — ! 7. Пусть / (с) = с, 7' (с) = (и + 1/2) т ]е«)=( + —,]].+ — — !] ° .../!"!()=[ + — ]." — '", 2 2/''' 2 1ЛЧП / 1 ! 3 1 — 1/2 13 5... (2п+1) 1/2 ('с)=(Л+ 2)... 2 .
2 = (+!! 2!в+1! т / []'"+п()1 = '"+нй [ ""'"1 — "1(о) —... [ ел+1/2 ~ 1'3'5' ' (2л+ 1) [,-1/г~ откуда, пользуясь формулой (7) 9 1, получим л-1-1/2! 1.3.5... (2п+ 1) есс/г 1 2л+1 л+3/2 Интегрирование оригинала функции. Найдем изображе- ние функции д(т) = ) 7" (6) е]О, т. е. найдем о с!с!в=с]]/Се!ее~. ]о Если л (т) удовлетворяет нашим условиям, то у'(т) = /(т), ! 1с С !с = С О сл =,С !с 12 —,С ] ( / !с!ЕЕ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
