Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Для решения проблемы нелинейного переноса тепла в настоящее время используется ряд методов. Так, в методе линеаризации, основанном на аппроксимации нелинейного коэффициента, специально подбирается новая зависимость коэффициента, при которой уравнение (1) становится линейным [13); в различных методах подстановок вводятся новые переменные, которые позволяют преобразовать нелинейное уравнение в частных производных к обыкновенному нелинейному уравнению в полных производных (см. [47] и др.), решение которого является более простой задачей. Существуют и некоторые другие методы решения нелинейного уравнения переноса, например приведенные в работе [113) и др Покажем методику применения отдельных методов к решению вопроса нелинейного переноса тепла.
Обычно коэффициент теплопроводности на графиках выражается ела бо растущей кривсй Л = Л(Т), которую с достатсчно высокой точностью можно представить линейнсй или экспоненциальной зависимостью. И. А. Чарный предложил [79] для этого случая два способа линеаризации уравнения переноса при условии с7 = сопз1. Уравнение (1) можно переписать в следующем виде: ТЕПЛОПРОЕОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 443 Другой способ линеарнзации состоит во введении новой функции т а = ] Л(Т) ]Т', т, которая преобразует уравнение (1) в уравнение дТ дО с[ — — — = ~1'6.
дй дс (4) Если в уравнении (4) положить дТ вЂ” = сопз1, дО то также получится линейное уравнение. Эта аппроксимация предполагает, что некоторый участок кривой 6 = 0(Т) заменяется соответствующим образом проведенной хордой. Возможность линеаризацин одномерного уравнения переноса для условий, когда скорость переноса тепла через ограничивающую поверхность (х=-0) является известной функцией времени ~р(~), а коэффициент теплопроводности описывается соотношением Л вЂ” ч = Л„-ч~ [1 + а(Т вЂ” Т,)], (5) где а —: сопз(, а Л, соответствует значению Т,. Посредством подстано- вок 1 =- ~ Л ° с(х', 4 = ) Ь Л(Т')г(Т' те одномерное уравнение (1) превращается в линейное уравнение дм дзю а д~ с" — — = д~ дР Л„И д$ — — р()— где с 1оя ю —.— — —, ъ~, л,и Шторм использовал этот метод для решения задачи о нестационарном распределении температуры в полуограниченной среде при постоянной скорости переноса через поверхность х=О.
В заключение следует остановиться еще раз на одном способе липеаризации нелинейного уравнения теплопроводности, предложенном О. Видебургом [119]. Рассмотрим одномерное уравнение (1) при условии линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры Л =- Л (1 + аТ). В этом случае уравнение (1) можно переписать так: — = — ~ а,(1+аТ) — ~, дТ д Г дТ1 д, — д„]с 0 дх ~ ' (6) была показана М. Штормом [116]. В этом случае соотношение (5) служит аппроксимацией при рассмотрении задач с экспоненциальной зависимостью коэффициента Л от температуры: Л = Л, ехр [ — 2а (Т,— Т)], 444 Гяаоа тринадцатая или дт д'т и дот — =ао — + — ' д дя ' 2 дя (ба) где а = — = сопз(. ~о о— Запишем краевые условия в следующем виде: Т(х, 0)=-Т;, (0<х<+ ), Т (0,~) =0; = О. дТ(са, я) При постоянном значении коэффициента температуропроводности (точнее теплопроводности) а (Т) = ао (и = 0) решение этого уравнения известно и определяется соотношением 'Т).=о =- Тоег(( ' ).
2У ноя (7) О. Видебург предлагает для линеаризации исходного нелинейного уравнения (6) в слагаемом, содержащем а, положить такое значение температуры, которое соответствовало бы выражению этой температуры при о == О, т. е. решению (7). Путем такой замены вместо нелинейного уравнения (б) получаем линейное дифференциальное уравнение с источником, зависящим от координаты и времени: — =а,—,+а,— о —, ег1 (8) с условиями Т=-0 при 1=0; Т=Т, при 1=-+ (9) Решение последнего уравнения будем искать в виде Т =- (р,(1) + (ря (о) Ф (1), где в целях сокращения записи обозначим Ф(1) =- ег1с(1).
Легко убедиться подстановкой, что функции ц~т и ф, определяются уравнениями иго до (1 ф)2 Ит1 дт, дт, Н4 — =- — Ф вЂ”; дд до ' до д$ (10) Решая уравнение (10), получаем 2 ф .то ор (о) = А + аТо ТЯФ + иТ' — — = $ ехр ( — Р)— т о о 2 р Аргументом функции Гаусса является 1 = я . Если в толь- 2 Р~~~ ко что написанное уравнение ввести новую переменную, равную о, получим обыкновенное дифференциальное уравнение в полных производных: ТЕПЛОПРОВОДНОСТБ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 445 «т — аТ2РФ2 — аТ21 Ф + 2«Т' 1ехр( — Р) + — о [1— о . дд ,т', — ехр ( — 2Р)) + — Фо; "Тод дро (1) =-  — аТ2Р + аТ2 Р Ф + аТ2 — — 1 ехр ( — Р) — аТ2Ф2 Следовательно, .т, 2 2 ТО 2 2 ТО 2 2 Т = А+ ВФ вЂ” =[1 — Ф]1ехр ( — Р) -[- — [1 — ехр( — 212)) Ф2 )Г « 2 где А и  — постоянные относительно $. Удовлетворяя полученное решение краевым условиям (9), находим «То «То «То 2 2 2 А=То — — дд В= — + — — То.
и 2 « Совершенно аналогичным образом можно получить решение уравнения (б) при условиях Т (х, 0) =- Т,, 0 < х < -[- Т(х, 0) =҄— <х<0, (Т Тд), дТ (.+- ««, «) дх Используя при а = 0 решение [Т)«=о = Тд + — (Т2 — Т ) Ф находим Т=-А+ВФ+ '( * ') $ехр( — Р)-[ ( ' ') Ф1ехр( — Р) 2 2' " 4фи + ' ' [1 — ехр ( — 2Р)[ — ' ' (1 — Ф + Ф')— 4« 8 .т, (т,— т,) 4 где «(тд — тд)«( 1 1 1, «тд (т« — тд) [2 «) В— то — тд' «(тд — тд)д «тд (т« — тд) 2 +— 8 4 Следует заметить, что, преобразуя только выражение для Т, нельзя добиться точной линеаризации при а2' сопз(.
Из рассмотренных здесь задач только в методе Шторма получена точная линеарнзацияприа+сопз1 путем введения преобразования координат, зависящего от Т (через Х). Некоторые другие методы линеаризации приведены в работе Н. Фридмана [97). Глава транадцатал Е 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА Т(х,О) =Т„ Т(0,т) = Т, (2) (3) также остаются неизменными, т. е. Т (х, х) ==- Т(нх, йвт) 1 при любых значениях х,а и н.
Положим й= =; тогда получим 2)т х Т(х;.)=-.Т ( ., '1,) = Т*Г'(1), где Т' берется при некотором фиксированном значении Т, х 2 )Гх (4) Таким образом, Т зависит только от аргумента 1. Поэтому можно по- пытаться искать решение задачи от такой комбинации переменных 1 и т, которая оставалась бы неизменной при подобном преобразовании. Имеем д1 Т* —.— 2т д$ хТ* дт' дТ 4 )Гх —. дТ Т' д1 д Подставляя полученные соотношения в уравнение (1), находим для Т уравнение в полных производных: — 2ст1 — = — ~Ц~) — ~ .
д1 д Г д11 Ж = д1! д11. (5) Краевые условия' (2) и (3) примут следующий вид: Д ) = Ти ~(0) = Т,. Точное или приближенное (в том числе численное) решение нелинейных дифференциальных уравнений значительно упрощается, если преобразовать его в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение. Эффективность некоторых таких, преобразований была показана при рассмотрении вопроса о линеаризации нелинейного уравнения.
Остановимся теперь на этом более подробно. 1. Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение теплопроводности: с (Т)'~'(Т) — = дх ~1 (Т) (1) Для определения некоторых подстановок можно воспользоваться методом теории обобщенных переменных. Из соображений размерности величин, входящих в (1), следует, что это уравнение остается неизменным, если масштаб длины изменить в й раз, а масштаб времени в йв раз. При таком изменении масштабов краевые условия ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ.
КОЭФФИПИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 447 Функция 7 в тех случаях, когда ее не удастся вычислить аналитически, может быть найдена при помощи численного интегрирования. к Подстановку ! = =' иногда называют преобразованием Больцмана, 2 Р'е который использовал ее в 1894 г. [89! для решения уравнения (1).
Подстановку (4) можно применять к уравнению (1), когда явления переноса происходят в неограниченной и полуограннченной средах. Только в этом случае удается так разделить переменные, чтобы граничные условия зависели только от одной переменной !. В частности, подстановку (4) нельзя использовать для ограниченного тела толщиной 77 и с граничными условиями Пусть а == юг,—, в этом случае 1= .
Тогда будем иметь р' е дТ д 7 дТ~ — — с, — = — (Л вЂ” ~. 2 ' д0 де( д$ ) ' (7) дТ Обозначим — .— Т', тогда уравнение (7) можно написать так: дз д! д() Т') — — су — = — Т вЂ”. 2 ' Л ЛТ' Отсюда получим !п()Т') = — с7 ) 2Л +1п А, ада о или ЛТ' = А ехр [ — су) — 2л Ы6 о Т!ри дальнейшем интегрировании находим е Т = А ) ехр~ — с7) 2.
о(1~ ' +В. о о Постоянные А и В определяются из граничных условий (б). Решение в окончательной форме имеет вид ~ ехр~ — а, ) 0 Те — Т(к, -) Т,— т о а ОЭ и ) ехр~ — ст ~ о о Т (О, е) = Т„Т (Я, е) = Т, ибо аргумент во втором условии после преобразования (4) становится отличгым от нуля и зависит от е. В качестве примера использования рассмотренной подстановки решим уравнение (1) для полуограниченного тела (т >О, О < х < ) со следующими краевыми условиями: Т(х,'О) =Т, Т(О, ) = Т„д~( ' ) =О. (б) Глава тринадцатая 448 Соотношение (8) не является явным выражением для решения, а представляет собой нелинейное интегральное уравнение, поскольку в его правую часть входит Т.
Покажем один из возможных способов расчета нестационарного поля температуры 0 методом итерации. Сущность метода итерации состоит в том, что если известно первое приближенное решение уравнения 0 = р(Т), равное 0,, то, подставляя его в первоначальное уравнение, находим второе приближение 0, =- ф(0 ). Подставляя 0х в уравнение, находим третье приближение 0, и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
