Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Подстановкой $ =- ях~ уравнение (5) сводится к уравнению Вогд , Вгд тояохом+л ' — + т (т + и — 1) яхт+я ' — — — Тд. =- О. (6) Воо ао В использованной подстановке я и т были выбраны произвольно; потребуем теперь от них выполнения условий 2т+п — 2=0, я=1. Тогда (6) преобразуется в уравнение типа уравнения Бесселя: в тд „ 1 атд 4 5 — + ВР 2 — и 1 ВЕ (2 — л)о ао Т =О. Частными решениями его являются где Т, и ʄ— функции Бесселя от мнимого аргумента первого и вто- 1 — и рого родов о-го порядка; о =; п — любое число, не равное 2. 2 — и' 2 — л Возвращаясь по соотношению с = х а к первоначальной переменной х, получим — П вЂ” и) ~ — л 2 2 2 2 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИДИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 437 В большинстве случаев и меньше единицы (п < 1).
Первое решение не удовлетворяет первому условию (3); поэтому решение уравнения (5) берем в виде ! / ! — (! — л! ! — — л 2 / где А — постоянная относительно х, определяемая из второго гранич- ного условия (3); при х-+О Ть (х, в) -+ —, а при г-+ 0 г" К, (г)-!-2" — !Г(ч), где «)О; Г (ч) — гамма-функция.
Поэтому постоянная А равна 2Тл (' л ') "чг А= «Г(ч)(2 — л)' 1, ао ) Следовательно, решение для изображения будет иметь вид ! — .<2 —.!',!! ( ) ' ~ .. «-..) (8) чо Т(х,ч) 1 !1 Г(,Х) х где Г (ч, Х) — некоторая гамма-функция, лч-л Х= (2 — л) чаоч Задачи с ненулевыми начальными условиями и для ограниченного тела (0(х ~Я) могут быть решены аналогичным путем. Для случая и = 2 решением уравнения (5) будет х [ — ! э г'!+«ч~л.[п 2. Если теплоеиность и теплопроводность зависят от координаты в степени п: с=-сх", Л=Ллхл, т=сопз1, (9) то после применения преобразовайия Лапласа с учетом начального условия (2) и законов изменения коэффициентов (9) получим Т", (х, з) + — Т; (х, з) — — Т! (х, з) = О, ач (10) где ло ао = сот Решениями этого уравнения являются х 1„('~[чТ вЂ” х), х К„(ф' х ), где ч = — (1 — п).
1 2 Пользуясь таблицей изображений, получаем из (8) решение для оригинала: 438 Глава тринадцатая С учетом первого граничного условия (3), как и в предыдущей задаче, получим Т!. (х, в) = Ах" К, ()I — ' х ) . Удовлетворяя это выражение второму граничному условию (3), найдем, что »2' !Г (о) ! !'о / Следовательно, решением уравнения (10) является Оригиналом этого решения будет т(», ) т,г Г(о, Х) о то ' х Г(о) где хо Х = 4ао'о 3. Если теплоемкость и коэффициент тепло проводности подчиняются уравнениям ст = сотах'", ).
= ) х", то = сопз1 (т ( — 1), то после применения преобразования Лапласа получим следующее уравнение в изображениях: Т, "(х, в) + — Т; (х, в) — „Тс (х, в) = О. и о 1 Решения этого уравнения, аналогичные решениям задачи в первом случае, имеют вид ! ! х 1,~ оп — и+2 г ао ' ' и! — и+2 о' ао ~ где 1 — и и! — и+2 Отметим, что решения для тел цилиндрической и сферической форм с коэффициентами с, Г и т, являющимися степенными функциями координат, включаются как частные случаи в последнюю из рассмотренных задач, Например, уравнение в изображениях для шара имеет вид ао ои т.
е. в этом случае постоянные п и т увеличиваются на две единицы. Физический смысл условия п (! заключается в отсутствии бесконечно большого теплового сопротивления сколь угодно малого, участка вблизи х = О. В противном случае было бы невозможно удовлетворить граничным условиям при х=О. Точно так же при т( — 1 из-за бесконечной теплоемкости участка вблизи х=О невозможно удовлетворить в этой точке граничным условиям. Частным случаем рассмотренных задач являются задачи с линейным законом изменения коэффициентов от координаты. Путем соответствующей подстановки их можно свести к частному виду уже рассмотренных решений.
Так, в случае сТ = сопз1, Л =Л,(1+ ах) вводится новая переменная с = 1+ах. В этом случае получим уравнение лт 1 ат, г — + — с — 1 Т,=О, Лзх 1 ах ас которое при и =! тожде"твенно уравнению (5). Его решениями поэто- му будут 1 [2 (1+ )ь)/ 1 и К [2 (1+ х)ЕФл 1 Таким же образом можно показать, что в случае, если с = с (1+ах), Л = — ) (1 + ах), Т = сопз1, решениямн уравнения в изображениях явля- ются [1+ах.~/ х ~ - .
[1-)-сх l в ) В более общем случае, когда с = с (1 + ах)'" и ) = Лс (1+ах)", введением новых переменных (1+1 )(и — с+с)тг РЛ т) = — (т — п+2)х с, 4с 1 — и Г, = и — и+2 уравнение (1) преобразуется в уравнение Дальнейшая методика не отличается от методики решения первой задачи. Ряд решений конкретных задач такого типа приведен в монографиях А.Ф. Чудновского (811. В частности в этих задачах, так же как и в (47], [36) и других работах, приведены решения ряда задач для тепловых волн.
Е 2. ОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ вЂ” ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ КООРДИНАТЫ Расслютрим решение уравнения (1) ф' 1 при граничных условиях первого рода, когда / Л = ), ехр( — хх), с, = сопз( (О <х~(й; х) 0). ! (1) Пусть Т(х, 0) = — 0; Т(О,.) = р«); Т(а ) =4 (). (2) (3) теплОНРОВОднОсть пРН пеРем. кОВФФипиентАх пеРенОсА 439 Глава тринадцатая 440 Применим к уравнению (1) 2 1 и условиям (1) — (3) преобразование Лапласа; тогда получим Т (х, з) — «Т' (х, з) — — 'ехр( — ях) Ть(х, в)=0, Ть (О, з) = <Рг., Тт.Я, з) = фс.
1 = — 1т,' — ехр1 — 1преобразует (4) в уравнение к т' аа '1 2! Т' (1, з) — — Т' (к, з) — Та ($, з) = О, 1 (4) (5) Подстановка решением которого является Тт. (1, з) = А 17, ($) + В1К,(1). Уравнение (6) в координатном выражении х запишется так: (б) Тс (х, з) = А — ф/ — ' ехр ( — ) 7, ~ — ф/ — 'ехр ( 2 д + +  — ~/ — ехр( — )К ~ — ~/ — ехр ( 2 )(. (7) Постоянные относительно координат величины А и В найдем, используя граничные услови я (5). После выполнения ряда преобразований полу- чим т,ил= ([ ~' к,( 1/' ) — " р( —,) к( — р( —,) х 1/-'~-Р (-")'( — '-Р (-"))/-') - ( "'- "Р ( — ") " Х тт — еХР 2 — тт еХР 2 Х К ( —.ехр( —,Ь/ )1.
ЫК (тУ вЂ”.' )7.~ — „ехр( —,)Э/ —.,)— — тт( — )/ — )Кт( — ехр( 2 )ф/ Я у' ехр( 2 )) ' (8) +! в Т (х, т) = —, ) Т„(х, з) ехр (з т) т(з, 1 (9) где интегрирование ведется вдоль любой прямой, параллельной мнимой оси плоскости комплексного переменного з, проходящей правее всех особых значений подынтегрального выражения. Вычислим контурный интеграл (9) прн следующих условиях (5): =0, тс 6 (10) Выражение (8) является решением рассматриваемой задачи в изображениях. Оригинал решения (8) можно получить по формуле обратного преобразования: ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМ. КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА 441 что соответствует граничным условиям Т (О, е) = О, Т (Я, е) = Т, После небольших преобразований выражение (9) -перепишется с учетом (!0) в следующем виде: +ь» ехр 2(х — И) К, — Хе х а е Т (х, т) = 2„,.
(-')'Ы (-'ГХ+""-)— — (-'Ю (-:)Х-:. =)) х а К1 — е Вычисление этого интеграла дает следующий результат: 0 = Т(х, е) ехр(хх) — 1 Г х Т, ехр(х)0 — ! ( 2 — хехр[ — (х — Я)~ Х ~~ ~Х~ (Р„) ех [ Р„ехр ( — )~ Х ~~ ! а ! (Хх [Рп еХР ( 2 )~)'х(Р'е) Х,(Р„) — Х1 [ Р„ехр ( ) ~ Хх(Р~)~ х[Р~ ехр ( 2 )]) ехр [ 2 Р„е (! 3) где и„ вЂ” корни характеристического уравнения Хе [иехр( )~ Ух [Рехр( )~ (14) Хх(Р) у~ (Р) В стационарном состоянии (е-х ) решение (13) принимает вид ехр (хх) — 1 Т(х, ) =Т, (15) й 3.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ теплопРОВОднОСГН В высокоинтенсивных процессах температура претерпевает значительные изменения за малые промежутки времени, например, при тепловом взрыве, химических превращениях и других явлениях. Описание явлений переноса, протекающих в большом интервале изменения температуры, связано с необходимостью учитывать зависимость коэффициентов переноса от температуры. В этих условиях поток тепла становится Ряд решений других задач с экспоненциальной зависимостью коэффициентов переноса от координаты, в частности для тепловых волн, приведен в работах [36, 81).
Глава тринадцатая 442 нелинейным, а для определения поля температуры необходимо решить дифференциальное уравнение переноса дТ с(Т)7(Т) = — Йч [Л(Т) йгай Т]. (1) дТ дЛ . Г дТ ст — = б]ч [Л (Т) †. игаса 1, ~ . дЛ дс ~ дЛ (2) Если в уравнении (2) положить Л вЂ” = А= сопя], — = В = сопз1, дТ дТ (3) то получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Первое условие (3) соответствует экспоненциальному виду кривой Л(Т): 1п '!л, а второе — ее линейной аппроксимации Т,— Т, В= — Л, Л, Легко видеть, что условия (3) противоречивы, за исключением случая 1.
===- сопз]. Поэтому можно предполагать, что точно выполняется лишь одно из них, а в другом величину А или В следует заменить ее средним значением в рассматриваемом интервале температур. Можно обе эти величины А и В заменить их средними значениями в данном интервале тсмператур. Решение уравнения (1) при соответствующих краевых условиях связано с еще большими трудностями, чем решение задач, в которых коэффициенты зависят от координат, поэтому здесь широко используются различные приближенные методы. Весьма полный обзор состояния проблемы решения нелинейных уравнений переноса дали Н. Фридман [97] и Дж. Кранк [94], к работам которых мы отсылаем интересующихся читателей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
