Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Из решений (9) и (13) следует, что в случае нестационарного конвективного теплообмена число Нуссельта 5)п = чйб( (т(0, ) — т,)л, (20) будет величиной переменной, зависящей от времени и параметрических критериев Кл, К,, Ко а также от числа Пекле. Поэтому для нестационарного теплообмена целесообразно ввести обобщенную переменную р(п' (т) 1д (~) )4п (') =- .,(т, тд (21) где вместо переменной температуры поверхности тела Т(0, х) входит некоторая постоянная характеристическая температура, равная начальной температуре тела.
В этом случае число 1чп'(х) будет прямо пропорционально р (1). По аналогии с числом Стантона можно ввести число, равное отношению удельного потока тепла между телом и жидкостью, отнесенного к единичной температурной разнице ЬТ = 1 (Т, — Т, = ! ), к потоку тепла (энтальпии), приносимого потоком жидкости: д(0 ' = сги (т,— тд . Кроме того, можно ввести интегральную обобщенную переменную, ха- рактеризующую нестационарный конвективный теплообмен: Я'(т) =- ~д(х) НсдТ,ТвРв, о где )х, == — — отношение объема тела к площади поверхности, через 1~ которую происходит теплообмен.
Функция Я*(х) изменяется от 0 до 1; она показывает, какая доля всего тепла уже передана в ходе процесса теплообмена. э Та. СИММЕТРИЧНАЯ СИСТЕМА ТЕЛ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ТРЕХ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛАСТИН Постановка задачи. Дана пластина толщиной 2)х (2)х ==- 21,), соприкасающаяся с двумя пластинами, каждая из которых имеет толщину, равную (м Теплофизические свойства крайних пластин тождественны, но отличны от свойств средней пластины (рис.
10.13). Требуется найти, температурное поле системы трех соприкасающихся пластин. Глааа десятая 404 Рис. 10.13, Температурное поле системы трех соприка- сающихся тел Имеем (см. рис. 10.13) Т,(х, О) = Т,(х, О) = Т = сопз1, (1) (2) дт! (11, с) ) дто (11, т) дх 'а дх +.(Та(1, ) — Т,) =-0. (4) Решение задачи. Применяя метод преобразования Лапласа, получим решение в следующем виде: т„— т(х, ) 01 =- то — тс = 1 — 1р) — соз (р К, к~ах)1а) ехр( — ртК'К вЂ” 'Ео!), !слФи л=! си — [совр: — совр К вЂ” т К!— Ъ1 2 Г х — 1! — !а л и о л=! яп рлК„нт К, ~ ехр ( — Р~К вЂ” 'Кт Гоа); т,— т(х, с) то — тс !о х — К, япрл где 'и=[(1+КсК!Кл + и )з!при+)ои н (1+ ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЧЕТВЕРТОГО РОДА 4ОЬ +К,К,К, 1*)совр„] совр„К,К, 1'+((1+К, 'К,К, 1 + Х К, з!пи„К,К (7) ℠— корни характеристического уравнения К.
—,— !(!+К,) 1й(РК,Ка ) — 1 — —,, (! +К,) !йи— — К. !к Р 1й (Р К К. '* ) (8) В!= х, К,= —, Ео1= —,; К,=а,/а, а1 1, ас 1ю 1 Если В1 =, то граничное условие (4) примет вид Т, (1, з) =Т, = сопя!. В атом случае общее решение сохраняется, но (4а) ф„= (1 + К, К К 1' ) з!п р,„соз р.„К,К н + + К, (1 + К, ' К,К, ') созр„з!пи„К,К, в„определяются из уравнения К, 1д Р(д(РК,К.-'1 ) =1.
Общий случай системы тройной пластины с источниками тепла и1,(х,т), где 1=1,2,3, рассмотрен в монографии (47], там же дано общее решение для системы, состоящей из многослойной пластины. ДВУХМЕРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ % 1. ПОЛУОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА Постановка задачи. Дана полуограниченная пластина толщиной 1, температура которой везде одинакова и равна 0'С. В начальный момент времени одна из ограничивающих поверхностей мгновенно принимает температуру Т, окружающей среды, которая остается постоянной на протяжении всего процесса нагревания.
Две остальные ограничивающие поверхности поддерживаются при начальной температуре (рис. 11.1). Требуется найти распределение температуры внутри пластины. Имеем дТ (х, у, х) ( д'Т (х, у, х) д' Т (х, у, х) ) дь (, дх' ду' =а (т)0; 0<х<1; 0<у< с ), Т (х, у, 0) = 0; Т (О, у, х) = О, 1 Т'(х, о, х) =0; Т ((, у, х) = Т„ Т (х, О, х) = О. ~ (2) Применим преобразование Лапласа по временной координате и конечное синус-преобразование Фурье по пространственной координате х. Решение задач нестационарной теплопроводности, когда температура является функцией времени и двух координат, представляет большие трудности.
Только некоторые задачи могут быть решены методами, изложенными в данной книге. В частности, в гл. ((1 были рассмотрены задачи на нагревание цилиндра конечных размеров и трехмерной пластины при условии симметрии температурного поля относительно центра тела (симметричные задачи). Эти решения были получены как обобщение решений для неограниченного цилиндра и неограниченной пластины. В данной главе рассмотрены некоторые частные задачи двухмерного температурного поля, когда решение может быть получено методами интегрального преобразования. 407 Прямое и обратное преобразования для конечного синус-преобразования Фурье записываются соответственно так: п г', (и) = ) 7'($) зйп пцс, о л 7($) = — ~ ~а)пи$Р,(п), л=1 тл1=т, т!оп,иыо т.
е. переменная 0 изменяется от О до и. Для удобства вычислений введем новую переменную ! и обозначим безразмерную температуру через 0 в соответствии с соот- ношением тп,олыч Рис. 1!.1. Граничные условия для полуограниченной пластины Т л 0= — —— Т Тогда краевая задача (1), (2) запишется так; (4) Начальные и граничные условия примут вид; 0(0, 0,11) =— 0(.,О,д)=О; 0(;,я.д)=О; "" ' "' =-О; дд (6) 0(с, с, 0) = — — Е.
(7) Уравнение (4) последовательно подвергаем конечному синус-преобразованию Фурье и преобразованию Лапласа. Тогда для функции 0ы с учетом краевых условий (5) — (7) получим уравнение = [ — ' + ( — а) ~ 0 (у)— (8) с условиями дВ„( ) ду =- О. 0„(О) = ' (9) Решение уравнения (8) при условиях (9) имеет вид ( Цл( — ) он + а[а+ ( — л) а| а[а+( — п) а~ х ехр[ — ~гг — +( — и) у ~, (10) Глава одиннадцатая 408 Для перехода по Лапласу от изображения к оригиналу воспользуемся соотношением Второй член формулы (10) переводится к оригиналу по формуле обращения синус-преобразования Фурье. Имеем Далее, лл 1 21' ал в Р 1л 1. ' ~ — ехр ( — у )/ — + —, )1 =- л и 2 ~ ( 21 "а-.
(2)тас 1 ! (12) Теперь остается лишь выполнить обратное синус-преобразование Фурье. Возвращаясь к первоначальным переменным, решение нашей задачи окончательно получаем в виде Т (х, У, л) х 2 тля ( — 1)л . х (' л х ал ') = — + — У яппя — ехр ( — и" — ) + л=1 яппа — — е ег1с( + — )Гал ) + 2 тл ( — 1)л . х 1 "" т / у лл л л 2 (2)т ал 1 ) л=1 и лл — лл — ' — л +в ' ег1с( " — — "" ф'ал ~ — 2е ' ег(с " . (13) 2)т а- 2)т ах Таким образом, путем двух последовательных интегральных преобразований получено решение двухмерной задачи распространения тепла в полуограниченной пластине.
$2. ДВУХМЕРНАЯ ПЛАСТИНА Постановка задачи. Рассмотрим двухмерную задачу для прямоугольника, на сторонах которого поддерживается заданным образом меняющееся во времени распределение температуры. ДВУХМЕРНОЕ ТЕА4ПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ 409 Имеем д ( д + д ) (т>0; 0<х~<и; 0~<у~<о1 ! дТ ! доТ доТ ~ при начальных условиях ) Т(х,у,О)=Т(х,у) ! (2) и граничных условиях Т(0, у, т) = ~р(у, т); Т(Ь, у, т) = ), Т(х,О,т)=0; Т(х,о(,т)=0.
(з) (4) Решение задачи. Воспользуемся совместным применением конечного синус-преобразования Фурье ое Т„= — Т (т, п, т) =- ~~ Т(х, у, т)яп яп — „'" г(хну (5) о о при условии Т-~ =- ( ( ~(х, у) яп яп — "" е(хе(у. :=о ),) й Й о о Решение последнего уравнения имеет вид т,=..='[Ц~(*,д>П '„'"*.,1,— ",""~Ир-~.
о о ~(у, 1й """ ШуШ' ]. о о Отсюда согласно формуле обращения (6) получим окончательно Ю Т(х, у, т) = — ~ ~~ е яп .я'и — х 4 %~%. 1 — а" . отх . ооу и ...'~1 '~~ ' з =1 о=~ х (( ( ' ~ о, ~.;, '"„" ~р ~ ' ~. оо .~- ()'~О', Е1 ьг — "*' ~. '""' ~* ~, ), й д о о и формулы обращения (О Ф Т(х, у, т) = — „„~~) ~ ~~~~~Т (т, и, т) з(п з!п — "„~ . (6) гл=1 о=~ Применяя преобразование (5) к уравнению (1) и используя граничные условия (3), (4), получим ВТР ! то ио т ото Г ион д " 4 пп (,,р + — о)Тг — — 1 Р (У, т) з|п д «У = О о Глава одиннадцатая 410 где (8) Из решения (7), как частные случаи, вытекают решения, данные И.
Снеддоном [72) и Г. Гринбергом [141. Для полуограниченной пластины й =- . В этом случае можно показать, что при условиях Т (х, у, 0) =- 0; Т ()т, у, ч) = Т,; (9) Т (О, у, ч) = Т (х, О, ч) = Т (х, й, ч) = 0 решение (7) запишется так: О Т(х, у, х) х 2 Чй т ( — !)'" .
гаях / твяв Т» а и Е ~~в[ га з1п — схр( —, ач ) + ь т=! + — ~~~„В з)п ' (ехр( )ег[с( . + — „)г ах ) + ы=! + ехр ( — т Ц ег1с ( — У вЂ”, — ) ах ) — 2ехр( — — ', ах)ег1с (10) что совпадает с решением (13) ~1. $3. ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР дТ(г, х,х) /двТ(г, х,х) ! дТ(», х,х) двТ(г,х, с)) дх ( дгя г дг дхя =а (х>0; 0<с<Я; 0<г< о ), Т (г, г, 0) = Тв, Т (г, О, х) = Т,, Т Я, г, х) = Т„, ' Т(0,~,~)+, ' (' ' ) =О. (2) (3) Решение задачи.
Решение уравнения (1) для изображения при условиях (2), (3) имеет- вид Т, (г, г, в) — — = Т, Постановка задачи. Дан полуограниченный цилиндр диаметром 2)х при температуре Т,. В начальный момент времени температура боковой поверхности цилиндра мгновенно принимает постоянную температуру Т„которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса нагревания. Температура торца остается постоянной и равной начальной температуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
