Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 73
Текст из файла (страница 73)
].о Так как 7. (/ (т)] = Р(з), то с Ц /Се!ее ~ — — 'ее,~. ]о Таким образом,. интегрирование оригинала функции /(с) соответствует делению изображения Р(з) на величину 3, т. е. величина а 1 обладает свойством оператора интегрирования. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 479 Применяя тот же прием, можно показать, что двукратное интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения на в'1 Г ° з 1 В ~ ~ ~ 7' Д) г[Ос[О~ = —, Р (и). (13) о о Теоремы подстановки. Рассмотрим два соотношения между оригиналом функции и ее изображением, известные под названием теорем подстановки.
Первая теорема. Пусть Р(з) есть изображение функции Г(т). Сделаем замену т на ат, где а — постоянная; тогда можно написать: ь ю 3 В [7(ат)]= ) е 7'(ат)с[с = — ) е ' Г" (О)с[О = — Р( — ), (14) о о где О = ат. Если же сделать замену т на — ', то получим 7. ~~ ( — )~= ~ е 7( — )с[с = а ) е "Г(г)И = ар(аз), (15) о о где 1= —, т. е. замена независимой переменной т на ат в оригинале и ' функции соответствует замене в изображении функции величины в на — и делению изображения на а.
Эту теорему часто называют также теоремой подобия. Пример. 8. Имеем Ь [соз т] = з . Тогда 1 й Ь [сок йт] =— г'-]-и' т, е. получаем тот же результат, что и з формуле (9). Вторая теорема. Имеется функция Г(т), удовлетворяющая обычным условиям; ее изображение есть г (з). Сделаем замену в изображении функции величины в на и — а, где а — постоянная. Тогда 03 с» Р(в — а) = ~ е ' г'Г(т)г[т = ) е е Г'(т)с[с=В [е"Г(т)1, (16) о а т. е.
замена переменной з в изображении функции на (з — а) соответствует умножению оригинала функции на величину е". Эту теорему часто называют теоремой смещения. Примеры. т1 9. Известно, что тзз = Ь [тт] (з > О, т.=- 1, 2,... ). Пользуясь второй теоремой подстановки, получаем т1 Ь [ т ,зз] (17) Глава чвттлрнадцатаа 480 Рис. 14.1. Графики функций )(с) и 7ь(~) 10. Имеем Ь1совйв1 = ь+аь. Татаа 5 +а~ в+а т [ в сов ат(.
(!8) Применяя обе теоремы одновременно, можно написать (19) Теорема запаздывания. Пусть функция Г(с), отличная от нуля только при с ) О, определяет течение некоторого процесса (Рис. 14.1). РассмотРим фУнкцию Гь (т), опРеделЯющУю течение такого же процесса, но запаздывающего на время Ь (см. рис. 14.1): 0 при 0<с<Ь )(т — Ь) при с)Ь. (20) й (Г(с)1 = ) Г(т)е "ь(с = Р(е). о (21) Найдем изображение функции Г (с): сл Рь(з) = ь (Гь(тН = ) Гь(.)е * !(с = = ~).ь(~) е вас+ ~1ь(с)е ь(с = 8[ ~(т — Ь) е дт. (22) а ь Вводя новую переменную 0 = с — Ь и замечая, что пределы интегрирования будут от 0 до , получим СО СФ Рь(з) =8) Г(0)е !+в!с(й=е ' [ )(8)е '~с(з=е ' Р(з), (23) 6 (24) О б р а т н ое преобразование Лапласа. Символ Т.
(Г(т)1 = = Р (з) обозначал преобразование функции Г (т), т. е. по оригиналу функции находили ее изображение. Это действие называют прямым пре- ОСНОВЬ! ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 481 образованием Лапласа. Во многих задачах необходимо найти оригиналы функции по ее изображению Р(з). Условились символом ь-'[Р(з)) обозначать обратное преобразование Лапласа, которое должно обозначать искомую функцию, т. е.
оригинал функции. Если прямое преобразование дает изображение функции ь [Г (т)) = Р (з), то обратное преобразование должно давать оригинал функции ь ' [Р (З)) = Г'(т). Например, Е ~,~=е; В ~ в1 — жп/гт. Более строгое рассмотрение вопроса приводит к заключению, что обратное преобразование Лапласа в общем случае не есть оригинал функции и только при известных условиях дает оригинал функции. Напри! вв мер, обратное преобразование функции — равно ~, (ы) = е, так как М ! прямое преобразование е дает изображение й, но можно найти и ДРУгУю фУнкцию Гы(т): [ев', когда О <ы( 2 и т> 2, !ы(т) =- ~ 1, когда т=2, которая дает то же изображение. Необходимо отметить, что Г (т) имеет разрыв непрерывности при ы = 2.
Найти вторую непрерывную функцию для заданного изображения нельзя. Поэтому заданное изображение функции Р(з) не может иметь больше одного оригинала функции Г(ы), непрерывной для каждого значения т. В большинстве рассматриваемых задач математической физики обратное преобразование является однозначным. Обратное преобразование является линейным, что вытекает непосредственно из соотношения (1), т.
е. Ь "[АР(з)+Вб(з)) =А~(ы)+Вд(ы) =АЕ '[Р(з))+ВТ. '[6(з)). (25) $3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРОСТЕНШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно решать простейшие дифференциальные уравнения. Метод решения состоит из следующих трех этапов, 1. К дифференциальному уравнению применяем преобразование Лапласа и вместо дифференциального уравнения для оригинала функции получаем уравнение для изображения функции.
Так как преобразование Лапласа является интегральным преобразованием и обладает свойствами операторов, то вместо дифференциального уравнения для оригинала функции получаем алгебраическое уравнение относительно изображения. !6 Ввывв № НО Глава четырнадцатая 2. Полученное алгебраическое уравнение решается относительно изображения функции, причем з рассматривается как число. Следовательно, второй этап сводится к нахождению решения для изображения функции. 3.
При помощи известных соотношений между изображением функции Р(з) и ее оригиналом Г(т) находится решение для оригинала функции, т. е. оригинал искомой функции. Таким образом, вначале применяется прямое преобразование, а затем обратное. Преимущество этого метода состоит в том, что решается не дифференциальное уравнение для оригинала функции, а алгебраическое уравнение для изображения. Приведем несколько примеров. 1. Имеем наг — — йзг = О.
дтз Пусть искомая функция г (т) равна А при т = О, т. е. г(0) = А = сонг(, а ее проня- ла (0) водная г' (0) = — = В = сонм, дт Дифференциальное уравнение можно переписать так: г" (с) — й'г (т) = О, Применим прямое преобразование Лапласа: СО Я (з) =) в г(т) дт = В(г(тЦ, о В (г" (тЦ вЂ” йЧ. (г (тЦ = О. Пользуясь формулой (6) 6 2, получим ззх (з) — Аз —  — йзх (з) =. О.
Аз+В з й 2(з) = зз йз = А з аз+а(зз йа) ь' В результате получили решение относительно изображения. Пользуясь соотношениями (2) и (3) й 2, находим решение относительно оригинала функции г (т), т. е. применяем обратное преобразование Лапласа: откуда П г(с) = Ась ят+ — за аз = А снят+ Взпйт, й (2) Г1 В = = соп51.
й где Ыг (0) Если г' (0) = „= 11 = О, то решение дифференциального уравнения примет вид (з) г (т) = А сп йз. г" (т) — г' (т) — бг (т) = 2. 2. Имеем Искомая функция удовлетво ряет условиям г (0) = 1, г' (0) = О. Последнее уравнение является простым алгебраическим уравнением относительно изображения функции 2 (з); решаем его, считая з простым числом: ОСНОВБ1 ННГЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Применяем прямое преобразование Лапласа: 3 [г" (т)] — Е [г' (т)] — 6Е ]г (т)] = 1. [2), 2 яз3 (з) — я3 (я) — я + 1 — 62 (я) =— Полученное алгебраическое уравнение с одним неизвестным 2 (з) решаем относителысо У (я): яз — я+ 2 2(я)= (с я 6)' А В С 1 1 8 1 4 1 откуда 1 8 зс 4 3+15 + 5 (4) 3.
Имеем г"' (е) — 2г" (т) + 5г' (т) = О, г (0) =- г' (0) = О, г" (0) = 1. Пользуясь тем же способом, что и в примере 2, находим яз3 (я) — 1 — 2зз3(я) + 5я2 (я) = О, 1 11!з — 2 1 1 1 1 я — 1 3 (я) =- я(яз — 2я-)-5) 5 [ я ед — 2з-~-5 ] 5 я 5 (я — 1)з-]-4+ 1 2 + 10 (я — 1)з+ 4 ' откуда получаем искомое решение 1 1 1 г (т) = — — — е" соз 2с + — е' я!и 2т.
5 5 !О (5) Для усвоения метода решения дифференциальных уравнений и основных соотношений прсобразоиапия Лапласа читателю предлагается решить следующие задачи: 1, у" (т) — Ьзу (с) = О, зс — зс Отя. у (т) =- Ссе + С,е 2, у" (т) — (а+ Ь) у' (*) + аЬу (т) = О. ас Зс Отя. у (е) = С,е + С,е 3. у" (т) ]- усу (с) =- а. Отя. у (т) = Сс з)п Ьт + С, соя ат -1- —,.
4. у" (*) — 2ау'(с)+(а'+Ь') у(т) =0; у(0) =О, у'(0) =1 Отя. у (т) = — е з!и Ьт. ас Ь 1бь Прежде чем воспользоваться обратным преобразованием Лапласа, перепишем полученное решение в ином виде Глава четвсрнадцагаа 484 5. ум (.) + у' (е) - е"; у (0) = у (0) = у" (0) = О. 1 1 ь, 1, 2 Отв. у (с) = — — + — еь' — — Нп ь + — соь с. 2 10 5 5 6. у" (с) + у' (с) = сс + 2с; у (0) = 4; у' (0) = — 2.
1 Отв. у(с) = — с' + 2е '+2. 3 7. у (с) + ун (с) = еоь с; у (0) = у' (0) = ун (0) = 0; у" (0) = сонь!. пк! 1 Отв. у(с) = — 1+с+Ссь+ 2 ( е '+спас — ь(п г). 8. у' (с) — г' (с) — 2у (ь) + 2г (с) = 1 — 2с, ) у" (г) — 2г' (с) + у (с)'= 0; у (0) = г (0) = у'(0) = О. Отв. у(с) =2 — 2е — 2се ; г (с) = 2 — 2е — 2ге — с. 9.
у (с) + 2у" (с) + у (с) = О, у (0) = О; у' (О) = 1; у" (0) = 2; ун (О) = — 3. Овсе. у (ь) = с (ьсп ь + еоь с). й Ь. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ОЭ Р'(з) = — „'): ~ е ( — т)Г" (т)пст = й! — гу(ь)], и сс Р" (3) = )в е ь7"(т)с]т = г'. ]еьг (т)]. о Вообще Р!"! (з) = г. ]( — ч)" Г ( )1 Таким образом, и-кратное дифференцирование изображения соответствует умножению оригинала на ( — т)н. Пример. 1. Известно функции !с с+ !ь = ь]ьспйс].
Применим полученное правило: — 2ссь ,, +,), —— 5 ( — с ь(п Ье! откуда 2ссь 5 [с ь!п Йь]= вс+ Ьс)ь ° (2) В 9 2 было рассмотрено изменение изображения функции при дифференцировании или интегрировании оригинала функции по переменной е. Здесь остановимся на обратной задаче: будем производить операции дифференцирования и интегрирования по параметру з изображения функции и искать, какому действию над оригиналом функции соответствуют эти операции. дифференцирование изображения.
Пусть Р(з) =~]!" (ь)]. Возьмем ряд производных от Р(ь) по гс 487 ОСНОВЫ ИНТБГР(ЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Примеры 4. Ь '[ — — 1! =". е [= ( (т — В) е г(В= —,[еа' — йт — !). зз йз о Если 11(т) = 12 (т) = 1(т). [Р (з)]з = Ь [1* (т) 1(т)]„ 5. Ьз~ з ч = соз й~з соз йт = соз й (т — 0) соз ВВАВ = [з!пят+лтсозйт]. 1 (за+ йз)з 20 Если имеем изображение трех функций: 1г (с) 1з (т) 1з (т) то Р, (з) Р, (з) Р, (з) = Ь ~ 1', (т) 1з (т) 1з (т) ~ (18) При помощи соотношений (9) и (!5) можно снова показать, что интегрирование оригинала соответствует делению изображения на ж Ь ~ Р(')'] ! 1() ] 1(0)г(0' о Ь- ] ', Р(з)~[=1*11(В) АВ= 111(В)АЦВ, о оо т.
е. получаем соотношения (12) и (13) 5 2, Ь"г ~ = е =е' а! е = е'ег((т), 1 1 ч к' 1 к 2 Г З А0 т ]l з Рггт ВГо о 2 3/О (16) где ег1(г) = — а! а Аг. В'к о тогда 1 ) 1 Ь ' = = + е' [ ! + ег! ВГ: ]. ~ 4/з — 1~ Р"кт (17) Изображения некоторых функций. В заключение данного параграфа рассмотрим прямое изображение некоторых функций, часто встречающихся прн решении задач теплопроводности. Для нахождения изображения будем пользоваться соотношением (9). Примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
