Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 77
Текст из файла (страница 77)
НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛА ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЮ Для нахождения оригинала функции по ее изображению были использованы известные соотношения между оригиналом функции и ее изображением, получаемымпрямымпреобразованием Лапласа, или специально выведенными теоремами разложения, когда Н(з) представляет собой отношение двух сходящихся степенных рядов относительно и, показатели степени которых суть натуральные числа. Из предыдущего параграфа следует, что оригинал функции дается обратным преобразованием Лапласа а+ест Р( ) = Ь-1 [р(з)) =- 1 У е" г (3) с(з, ([) Необходимым условием для существования г'.-т[Р(з)[ должны быть ограничения относительно Р(з), отмеченные выше; главное из них: функция Р(з) должна равномерно стремитьсяк нулю в отношении аргумента з, когда [з[-» . Интегрирование происходит вдоль прямой о, функция Р(з) должна быть такова, чтобы все особые точки находились с левой стороны пути.
Рис. 14. 5. Система контуров интегрирования (полюсы рас- положены на действительной оси) Рнс. 14. 6. Система построения контуров интегрирования (полк» сы расположены на мнимой и действительной осях) Глава четырнадцатая Так как подынтегральиая функция регулярна справа от прямой о = сопи(, то путь интегрирования (а) можно заменить другим путем при условии, чтобы он кончался у прямой о ~ 1' В большинстве задач функция Р(з) такова, что все полюсы лежат на отрицательной вещественной оси или на мнимой оси; тогда путь интегрирования может быть в первом случае взят в виде полуокружности с центром на прямой о = сопз(, а во втором случае — в виде прямоугольника (рис.
14.5 и 14.5). Если все особые точки будут внутри контура, а подынтегральная функция на контуре регулярна и однозначна, то интеграл по замкнутому контуру С равен сумме вычетов относительно всех особых точек внутри контура: +ЙО а 2 . ~ и Р(З)ГЬ = я. ~ и Р(З)Г]З= ~)~~ КЕЗ [Е Р(З)]. (2) с в — 1 ч — оч Пользуясь формулами (1) и (2), можно по обратному преобразованию получить все соотношения, рассмотренные в предыдущих параграфах. Примеры Ф Ф(з) 1. Пусть Р (з) = —, где ф (з) = ф (з) л относительно з. Тогда (з — зз) (з — з,)...
(з — з„) — полипом степени л 1 Г Ф (з) Ф (з) ). 1]Р(з)] = —. 1 е" — дз = Кез в" —, 2я1' ) ф (з) й~~~ ~ ф (з) ~ ' с 1 Корни полинама зз, зз,..., з„являются полюсами функции Р (з), так как ф(з) есть полипом относительно з. Если кратных корней нет, то все полюсы являются простыми полюсами. Тогда Ф (зл) з )-г]Р (з)] — " в и 1 (4) в Е 1]Р(з)] = . ) в из= '~ кез~ в с 1 (й-'1)1." ..1,"Ь'-' ~ "'~'(.) "' 3 (6) Если все корни простые (й = 1), то нз (6) получим соотношение (4). Если оЛин корень зж кратности й, то вычет для него будет равен — 3-' ~.—.
1 т. е. получается соотношение, тождественное формуле (19) 4 6 теоремы разложения (случай кратных корней). Отсюда вытекают ограничения на теорему разложения. Функция Р(з) должна быть однозначной и иметь в качестве особых точек полюсы, лежащие слева от прямой о. Если эти условия не выполняются, то при- т. е. получаем формулу теоремы разложения (случай простых корней).
2. Если полипом ф (з) имеет кратные полюсы з, = з,е, = зг~з =... = зм кратности й, а все остальные корни простые (А = 1), то будем иметь ОСНОВЬТ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 505 ОО ф (х) = — ) 6 (х — у) с (у) йу СО (8) и двустороннее преобразование Лапласа ядра свертки (8) =.(.
6 (х) е йз =,(,, — СО (9) тогда СО СΠ— ф(х) = ~ ~6(у)е "оду~ р(х) = ~6(у) ср(х — у)йу = — СΠ— ОО ОО = ~6(х — у) со(у)йу = ф(х), СО (! 0) т. е. получаем обращение свертки (8) в виде ср (х) = Е(О) ф(х). Пусть ядро 6(х) в формуле (8) имеет вид 6 (х) =- е" (12) тогда ОО = ) е ~ е~ ')" йх = Г (1 — ) — СО (Кез ( 1) и формула обращения (11) принимает вид ф(х) = р(х). (14) 1 Целую функцию — можно разложить в бесконечное произведение Г (х) Ьа — та а (15) Г(1 — а) „~ 11 Й1 О~ аа М) 1) имеем еаот" (х) = '~ —, 1 (х) = т (х+ а), т. е. действие оператора диффеа=о ренцирования 0 сводится к сдвигу аргумента функции, на которую он действует. менять теорему разложения нельзя, и в этом случае надо пользоваться непосредственно соотношением (1). Вместо обычной формулы обращения (1) преобразования Лапласа можно вывести формулу обращения, не содержащую контурного интегрирования, а содержащую лишь операцию дифференцирования и перехода к пределу.
Для вывода такой формулы прежде всего определим оператор е'о: е' Г(х) =Т" (х+а), (7) где с() — оператор дифференцирования независимо от того, дифференцируема функция') или нет. Далее, введем преобразование свертки Глава четырнадцатая где т — число Эйлера, а ܄— последовательность вещественных чисел, обладающая свойством !пп Ь„ .= О. Последнему условию удовлетворяет и последовательность вида и Ь„= 1и п — '~ — + т.
~( 1 (16) (8) замену пере- у = — 1пб, получим из соотношения (15) Проиллюстрируем полученную вещественную формулу обращения преобразования Лапласа простым примером. Пусть 1 Р (в) = , „. 1 (22) тогда 1ю ( — 1)" п1 ( ) (5 1 1)л+1 (2з) Следовательно, 1 — =в в' (24) В качестве второго примера рассмотрим функцию, имеющую точку ветвления. Например, Г(в) = ~. (25) ( Пл (2л 1) ~1 2" ' з" +ч1 (26) Следовательно, 1, ( Г (а + '/з) Г (и+ 1) )/т в (27) С учетом последнего равенства, выполнив в формуле менных (при ядре 6(х), определяемом согласно (12)1: ф (х) = ел Р (ел), ~р (у) = Г (е-т), х = 1п т, 7(т) =- Нгп ~, ( — ) Р ( — )), где Р(з) является изображением функции Г(т).
(17) (18) (19) (20) ОО))ОБЪ! ИНУЕГРЛЛЪНОГО ПРЕОБРЛЗОБЛНИЯ,РЛНБЛОЛ Воспользовавшись известным асимптотичесним разлозненпем Ллн гамма-фуннпнн (формула Стирлинга) з(г) = 1!2ог' !'е -, получаем 1 1() = — —. )Г ' (28) В заключение даккого параграфа выведем теорему умножения изображен!ай и теорему Эфроса. Пусть изображения функций Гз(т) и Гз(т) будут соответственно гт(з)! н г з (з), т. е. Рз (з) =- ~ (!' ( )1, ~а (з) ~ (!а ( И' (29) 11айдем оригинал Й (т), соответствующий! произведению изображений рз(з), рз(з): Ит) =~-'(р,() р,()). (3О) Воспользуемся интегральным соотношением (1): а+! ь )з (т) = —.
~ е" сз (з) ра(з) йз. — ! Известно, что р () = ) "Г.(т)й' о Следовательно, +! Ы а(т) == —,, ~ Гз(0)а0 ~ гт(з)е ~ а!Лз г')1) Однако — ~ гт (з) е ! ~ дз =- Гз (т — 0), (32) откуда получим Можно сделать также замену (32) относительно функции Га(т — 0). Тогда будем иметь )1(т) = ) !'з(0) ~з(т — О) й0. о (34) Ц.) = ~1а(0) У,( 0) йо, о Известно, что У'„(т) =-О, когда т <О.
Следовательно, Г",(т — О) =О, если 0) ., и поэтому верхний предел интегрирования ( ) можно за- менить на т. Тогда )! (и) = ) !'в (0) !'т (т — 0) й0, о Глава чегырнаднагал 508 Таким образом, получаем теорему Бореля Т; [Г, (в) Ро (.)) = ~ У, (0) У, (. 0) (0 = ~ Р, (0) Р, (. — 0) (0 = о Р1 (~) Уо ( ~) = У! ( ~) Уо ('). (35) Как следствие из этого соотношения вытекает еще одна теорема. Сравнивая (32) с интегралом е+Ье Йг(т) = л- [е'в(э)) = 2 ) в Р~(з) 8в е — Еы получаем СО Р(в) = ) Г(а) е "Йт, о тогда оригинал Гв (е) иэображения г" [р(э)) Ф(в) = ) Гв(Ь)е ' г(Ь о (38) (39) дается формулой (40) где у(ч Ь) является оригиналом изображения ы е о" Ф (в) = ~ (~ (т, Ь) е 'о е(Ь.
о (41) Оригинал функции Г(т) определяется соотношением е+г Г( ) = 2 . ~ ~" г" (~)е(~. (42) Если в (38) подставить р(э) вместо э, то из формул (38) и (39) получим Р[ср(э)) = ) Г(т) е о с(т, о е+вс 1*(Ь) = — „',. ~ Е'~[т(в)) Ф(э)~(. гы (43) (44) л. ' [г'1 (э) е' ] .= ~, (е — О), (36) Таким образом, умножение изображения функции на величину е' где 0 >О, соответствует замене в оригинале е на е — 0 (теорема запаздывания).
При этом имеет место следующее равенство: 1." ~Р,(э) вм1 =! ' (0 > О). (3?) У,« — 0), ° >0 Теорема Эфроса может быть сформулирована следующям образом. Если Р(э) есть изображение функции Г" (е): ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 509 Подставим соотношение (43) в (44) н переменим порядок интегрирования: в «+! 7'*(Ь) = ~„~У(х) ! '"'+' Ф()о! о(' (45) о «вЂ ! очевидно, при этом требуется, чтобы интеграл «+!а — ~ "-""Ф(з) 1~ = Ф(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
