Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Если временная переменная в нестационарных процессах теп- 17" которые не выражаются через Ь и Ь„,. Однако применение синус- и косинус-преобразований Фурье дает большие преимущества перед преобразованием Лапласа, когда, задано начальное распределение температуры в виде функций координат. Глава четырнадцатая 516 лопроводности изменяется от О до и преобразование Лапласа по этой переменной применимо всегда, то бесконечные преобразования Фурье и Ханкеля относительно пространственных координат ограничены в1 своем применении областью неограниченных и полуограниченных тел, Поэтому в последнее время работами Н. С.
Кошлякова ]37], Г. А. Гринберга 114], Снеддона (72] и Дейча (23] интегральные преобразования Фурье и Ханкеля распространены на конечную область исключаемых переменных. К о н е ч н о е с и н у с-п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е определяется фор- мулой Р (Г(х)] =.1г,(р) = ~~ (х) з!и рхс]х, о где р — целое положительное число.
Выбор числа а в качестве верхнего предела интегрирования не ограничивает общности преобразования (1), так как путем соответствующей подстановки область интегрирования всегда можно свести к отрезку (О, я). Формула обратного перехода выводится из соотношений теории рядов Фурье. Известно, что функцию Г(х) можно разложить в ряд Фурье по синусам, коэффициенты ар которого определяются формулой п ар — — — „) 7'(х) з]п рхс(х = — ]щ (р). 2 Г .
2 (2) о Формула (2) является формулой преобразования (1), следовательно, формула обращения будет иметь вид (3) с я ~ )'(х) з1п Р е(х = — ~ 1' ~ — ) з|прге(г-= с Р, [ сх ~. о о (4) Например, Г (х) =- х (О < х < с); имеем с Г сх ] с' ( — 1)Р+т Р„(х] = — Р,~ — ~ = —, где р =1, 2, 3... Найдем изображение второй производной от оригинала функции: я ] Гв (х) зги рхс(х = Г'(х) ейпрх ~ — р ) Г' (х)сов рхс]х = о о о = — рсозс(хГ(х) ~ = — ро~ Г' (х) з]прхс1х. о (6) Если функция Г (х) изменяется в пределах О< х <с, то, введя переменную г =- нх/с, получим ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛБНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 517 Следовательно, получим Р, [~о(х)] = — р'Р, У(х)] -]- р У (О) — ( — 1)о ~(сс)], (7) Для иллюстрации приведем пример: Г" (х) = х'. Имеем Го (х) = 2; Р. [2] = — ро Р, [х'] — р ( 1)о я'.
(8) С другой стороны, Р, [2] = 2Р, [1] = 2 [1 — ( — 1)о]— Следовательно, Р [х ] — ( 1)о [1 ( 1)о]. Р Рс (9) Аналогично можно показать, что Р [1с (х)] = рс~г, (р) — ро [Г(0) — ( — 1)Р ~(сс)] + +,о [Г(0) — ( — 1) 1о ( )]. (10) В табл. 14.1 приведены изображения некоторых функций при помощи синус-преобразования Фурье. Косинус-преобразование Фурье определяется соотно- шением Р, [~(х)] = ~г, (р) = ~ 7' (х) соз рхйх, о где р — целое положительное число или нуль. Если функция 7 (х) — 1, то Гг, (р) = 0 (р =- 1, 2, 3,. ), а )г, (0) =,. Если функция 7' (х) = х, то имеем ~яс (р) =- — — с И вЂ” ')' — ']' ~Гс ( ) = (12) Для косинус-преобразования Фурье справедливы соотношения: Р, [1 (х)+ А] = ~„, (р) р+О Р, [Г" (х) + А] = ~., (0) + я А, (13) (14) Ю ~ (х) = Р [7г, (р)] = — ~„, (0) 4- — о )„, (р) сов рх, р=! ~., (0) = ) ~ (х) сУх.
о где (16) где А — постоянная. Обратное преобразование или формула обращения для конечного косинус-преобразования Фурье имеет вид Глава чезыриадцазая 818 Таблица !4.1 Конечное синус-преобразонание Фурье яля изображения 1(х! »з 1(х); 0<х<я 1 (е — х) — Мп рс; (О < с < с) рз — СО5 РС; (О < С < 5) Р— х (ез — хз) бе х — (е — х) 2 хз Р р'+ сз сх 1 — вас (е — х) Р рз+ сз ,; ([а[~о, 1,2...) 51п я (е — х) 51П Я 1пз( ) 21( + Для косинус-преобразования Фурье справедливы следующие соотноше- ния: », [)в (х)! =- — р' »'с ' ! !' — Г' (0)+ ( — 1)» Г' (11). (17) При этом !пп )„, (р) = О. » з )п~ (Р) = (' 1 (х) 5!п рхбхз о р=1, 2, 3... ( — 1)»" (в, (Р) 1 Р 1 — ( 1)~н.з Р 1 Р— [1 — ( — 1)»! — ( — 1)»+1 1 ,з 1 Р з [! ( !)»! 1 2 — -..
( — 1)»- — 11 — ( — 1)»1 рз и(-) ~ — — — о) б 1 [1 ( 1)» в ! Р [1 — ( — 1)» соз й з! р з [! ( !)» ! (РФ ) (е — с) х; х<с, с(х — х); х>с — х; х<с, х — х; х)с Мптх; (т=!,2,3,...) совах; (! 1[~1, 2, 3, .) созтх (т=1,2,3, ...) ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ЛРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАЛЛАСА 519 Аналогично соотношению (10) имеем (18) (19) ,а в случае косинус-преобразования к виду — соз рхс(х = ( — 1)с ( — ) — ( — ) — рз Оп,. о о (20) Таким образом, при синус-преобразовании необходимо знать температуру иа поверхности тела (О, и О, ), а при косинус-преобразовании — зна- 11'да'1 (д01 ) чение темпеРатУРных гРаДиентов на повеРхности тела 1с( — ) и ( — ) " При граничных условиях третьего рода задается закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Например, в случае одно- Т а б л и ц а 14.2 Конечное косинус-преобразование Фурье дхя изображения пс 1' 1 (х) в (р) = — ) 1 (х) сов рхдх; о (р=о,(,2,6,...) ( — 1)Р Уп, (Р) (0) =х, где р=!,2,3, 1(х) (0<к<в) 1"' ( — х) х < с) х<а) — з1п рс; 7 (0) = 2с — н 2 р ' гс 1 — ( — 1)Р р' ' г.
2 — — 1 (о) =— ( 1) — 1 з рз гс 6 ; ) (о) = -!†; У (О) = О ' — "' ( — 1) + — ',11 — ( — 1)Р); р пз )р (О) 4 — (а — х) з— 2х 6 хз Изображения Г„, (р) для некоторых функций Г (х) приведены в табл. 14.2. При конечных интегральных преобразованиях Фурье вторая производная температуры по координате тела преобразуется в случае синус-преобразования к виду дз Э 61п Рхйх = Р [О, — ( — 1)Р О. ) — Рв Ор,, о Глава четырнадцатая 520 1 рс 1С) 1 (х) — е сх с ( — 1)Р е — 1 р' -[- с' 1 ре —,'- с' 1 [( 1)Р ео5 я я — 1]; ре 55 ([Уг~ф0,1,2,3,...) —,-' . И вЂ” 1) - — !]1)„, ( )= =0 (т=!,2,3,...) ре ДЗ ; ((а(~0, 1, 2, 3,...) 0; (П=Ьт)! Г (т) = '; (т = = 1, 2, 3...) с)1 с (»» — х) С 5Ь С вЂ” маях ! »е ега тх 1 т оо5»е (я — х) 1551П А Х СО5»ИХ ('— ,'+Об ) =О; ('-,— ') =О, (21) отсчет температуры Ь производится от температуры среды.
Тогда интегральное косинус-преобразование Фурье определяется соотношением и 7'., (р) =- ) Г (х) соз рхс[х, (22) о где р является не целым положительным числом, а представляет собой положительный корень трансцендентного уравнения р(дрЛ = Н. (23) Можно показать, что если р и д — корни уравнения (23), то'1 ~ соз рх соз 1)хс[х = О (р+ 0), а (25) о Формулой обрашения служит формула для разложения в ряд Фурье Г (х) = х а сов рх, (26) Р в котором суммирование происходит по всем положительным корням уравнения (23)„а коэффициенты ар определяются соотношением я (27) р г (р + и') +и и Подробно см, й 3 гл.
Н1. мерных симметричных задач теплопроводности граничные условия имеют Вид ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 521 Следовательно, формула обращения для косинус-преобразования Фурье при граничных усЛовиях третьего рода будет иметь вид 2 (ро + Н') (Х) 2.1 ь ( о ( Но) 1 Н Гзс (Р) СОЗ РХ.
Р (28) Конечное интегральное преобразование Ханкеля определяется соотношением 1 )н(р) = ) г) (г) У„(рг) г(г, о (29) где р — положительный корень уравнения ,Г„(р) = О. (30) Выбор единицы в качестве верхнего предела интегрирования сделан ради удобства, когда задача решается в обобщенных переменных. Функция Г (г) может быть представлена в интервале (О (г (1) при помощи ряда Фурье — Бесселя Г' (г) = 1 а Г„(рг), (31) ар — — ( гГ (г) У„(Рг) 1(г = —, "(Р г!+1 (р) 3 г„'ч.1 (р) о (32) Следовательно, формула обращения для конечного интегрального преобразования Фурье имеет вид (33) где суммирование происходит по всем положительным корням уравнения (30). Для граничных условий третьего рода конечное преобразование Ханкеля определяется тем же соотношением (29), где р определяется из уравнения р г„ '(р) + Нг„ (р) = О.
(34) В этом случае формула обращения будет иметь вид 2ро Уи (рг) ) ( ) =,~~ ~Но+ ро „о з )н(Р) о р Р (35) где суммирование происходит по всем положительным корням уравне- ния (34). где коэффициенты, определяемые по формуле (32), связаны с изображением 1н(р) простым соотношением 522 Конечное интегральное преобразование Ханкеля дл я п о л о го ц ил и н д р а, когда переменная г изменяется в интервале Я, (г-(Й,, имеет вид 7н(р) = ~ г7" (г) В„(рг) й., Я, ) Я,, (36) где В„(рг) = У„(р ) г„(р)с,) — К„(р ) 1, (рй,), (37) (38) Формулой обращения будет служить соотношение р'г~ 0И) (39) При помощи указанных преобразований можно исключить из дифференциального уравнения теплопроводности совокупность членов 1 д Г да~ лзз 7 (О)=: — — — ( г — 1 — —.
г дг ( дг)' г (40) Конкретное применение конечного интегрального преобразования Ханкеля дано в задачах теплопроводности. В данном параграфе показана сущность конечных интегральных преобразований и их связь с формулами разложения в ряды Фурье и Бесселя, т. е. связь с классическим методом решения задач нестационарной теплопроводности. Конечные интегральные преобразования Фурье и Ханкеля вместе с методом интегрального, преобразования Лапласа для исключения временной переменной, которая изменяется от 0 до , дают возможность решить широкий круг задач нестационарной теплопроводности. У„(рг) — функция Бесселя второго рода порядка и, а р — положитель- ный корень уравнения ! ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Настоящая глава содержит минимум сведений, необходимых для использования мощного аппарата теории аналитических функций применительно к разделу математической физики, который называется теорией теплопроводности.
Так как аналитическая функция по существу полностью определяется характером и распределением ее особых точек, то можно высказать суждения о поведении различных функций, имеющих сложные интегральные представления; например, по особым точкам изображения по Лапласу можно судить об асимптотическом поведении оригинала, не прибегая к вычислению соответствующего контурного интеграла. Теорема Коши и теорема о вычетах дают широкие возможности для преобразования интегралов и сумм, в частности для вычисления контурных интегралов при обращении преобразования Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
