Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Тогда говорят, что функция непродолжима за пределы своей естественной области существования. Примером такой функции является функция, заданная степенным рядом вида л т (г) = 1 -~ г'+ г'+ ... + г' + сходящимся внутри круга (г~ < 1. Так как т" (1) =, то г = 1 является особой точкой, но для т(г) верно соотношение ~(г) = г + Г(га) поэтому и при г'= 1 (т.
е. еще и при г = — 1) у функции т" (г) будут особенности. Так как т (г) = г' + г + т'(г'), Глава аятнадяатая 538 Повторяя эти рассуждения, получим, что все точки, определяемые из уравнений л гв =1 (п=1,2, ...), будут особыми. Но на любом сколь угодно малом участке окружности корней этих уравнений будет бесконечно много. Поэтому рассматриваеРис. 15. 7, К теореме единствснности аналитического продолжения мая Функция не может быть продолжена за пределы сплошной линии особенностей !г~ = 1.
Аналитическое продолжение не обязательно выполняется путем построения последовательности степенных рядов. Можно воспользоваться также функциональными соотношениями, с помощью которых можно связывать значения функции в исходной области с ее значениями в области, в которой она первоначально не была определена.
Например, гамма-функция может быть определена в полуплоскости Кег) О интегралом вв Г (г) = )' е '1в 'сУ. о Однако с помощью известного функционального соотношения гГ(г) = Г (г-1- 1) ее можно продолжить и в полуплоскость Ке г < О. Наконец, по поводу единственности аналитического продолжения может быть доказано следующее утверждение: если функция Г,(г), определенная в области Р, (рис. 15.7), и функция 7в(г)„определенная в области Р,, получены аналитическим продолжением функции 7(г), заданной первоначально в области Р, и если область Рв (заштрихованная на рисунке), общая для Р, и Р„перекрывается с Р, то Г, (г) = Гв (г) в области Р,.
Таким образом, получим, что 7',(г) в области Р, совпадает с Гв(г), каким бы путем ни была продолжена функция 7'(г). Теорема единственности аналитического продолжения будет, однако, нарушаться, если между двумя различными путями продолжения функции лежит особая точка функции — ее точка ветвления. 5 5. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ И СУММИРОВАНИЮ РЯДОВ Рассмотрим разложение функции Г" (г) в ряд Лорана вблизи изолированной особой точки Ь, разложение это в общем случае имеет вид (см.
(18) Е з) Г (г) = )' а„(г — Ь)". (1) В этом разложении особую роль играет коэффициент при (г — Ь) ', т. е. а,. Этот коэффициент а, называется вычетом функции Г (г) в рассматриваемой особой точке Ь (в полюсе или в существенно особой точке). Покажем, что интеграл по некоторому контуру, окружающему ~очку Ь, может быть выражен через вычет функции в этой точке. Для э ого проинтегрируем формулу (!) по какому-либо небольшому замкнутому ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 539 контуру С, окружающему точку Ь, предполагая, что на этом контуре ряд (1) равномерно сходится.
Итак, ) Т(г) йг = ~' а„Т) (г — Ь)" йг. (2) с в — со с Как следует из теоремы Коши, контур С можно деформировать в окружность малого радиуса р с центром в точке Ь. Тогда формула (2) перепишется ~~(г)йг 1 ~~) г итт ) „, йр Рис. 18. 8. Контур для вывода тео- (3) реыы о вычетах неч- не Нетрудно убедиться, что все интегралы ) е йо равны нулю, за о исключением одного интеграла, соответствующего значению ~г = — 1, который равен 2к.
Таким образом, имеем ~ Т (г) йг= 2тй а,. (4) 'с ~ Т (г) йг = ~' ) Т (г) йг. с а=1 св Но каждый из интегралов в правой части формулы (5) по окружностям С, как легко установить, повторяя рассуждения, использованные при выводе формулы (4), равен 2я1а<">о где а~~1, — вычет в точке Ь . Тогда )1(г) йг = 2 и' ~~~ ам> с а=1 (б) Теперь можно окончательно сформулировать теорему вычетов.
Если функция Т(г) аналитична всюду в области, ограниченной замкнутым контуром С, за исключением конечного числа особых точек, лежащих внутри контура С, то значение ~ Т(г) йг равно умноженной на с 2я( сумме вычетов подынтегральной функции Дг) во всех ее особых точках, находящихся внутри С. Прежде чем перейти к многочисленным приложениям этой теоремы, следует указать простые способы определения вычетов.
Пусть у функции Т(г) имеется в точке Ь полюс т-го порядка. Тогда ее лорановское разложение в этой точке имеет вид (7) Аналогично рассматривается и более общий случай, когда функция 7'(г) является аналитической в некоторой области Т7 с контуром С, за исключением конечного числа точек, являющихся полюсами или существенно особыми точками функции.
Окружим каждую особую точку Ь„Ь„..., Ь контуром, представляющим собой, например, небольшую окружность С (рис. 15.8). Тогда, согласно теореме Коши [см. (б') 2 2), имеем 540 Глава пягаадяагая Функция (г — Ь) ~(г) будет аналитической в точке Ь и, следовательно, может быть представлена в этой точке рядом Тейлора. Коэффициент а, для разложения в ряд Тейлора функции (г — Ь) Дг) будет коэффициентом при (г — Ь) '. Вспоминая формулу (9) 9 3 для коэффициентов ряда Тейлора, получим ( ит-1 О-1 = (м ))1 [ и~т-1 ((г — Ь) ~(г)]) (8) Укажем еще один часто встречающийся случай формулы (8), когда функч (г) ция)(г)имеетвид~(г) = (,), гдз функции р (г)и ф(г) аналитичны в точке Ь и ф(г) имеет в этой точке простой корень.
Тогда, если ф(Ь) ~0, то функция ~(г) имеет простой полюс в точке Ь. Используя общую формулу (8) при и = 1 и учитывая, что ф(г) = ф'(Ь)(г — Ь) + ..., по.лучим и-1 = ф'(ь) т (ь) (9) Теперь перейдем к приложениям, основанным на том, что с помощью теоремы о вычетах операцию контурного интегрирования можно свести к определению вычетов, которые в ряде случаев вычисляются просто дифференцированием. Начнем с применения теоремы о вычетах к вычислению определен. ных интегралов. Рассмотрим интегралы вида ОР ~ ~(х)бх, (10) где ~ (г) — функция, аналитическая всюду в верхней полуплоскостн !тг >О, за исключением конечного числа особых точек, которые, однако, не лежат на действительной оси — ( х ( .
При ~ г ~ -+ функция гТ(г) должна стремиться к нулю, т. е. (~(г) ( должен стремиться А к нулю при (г) -+ быстрее, чем ~ (. Для вычисления интеграла (10) рассмотрим контурный интеграл, состоящий из отрезка действительной оси и полуокружности большого радиуса Я с центром в начале координат, лежашей над вещественной осью (рис. 15.9). Тогда, согласно теореме о вычетах, интеграл по этому контуру равен ~~(г) г(г = ) ~(х)дх+ ) ~(г) дг = 2~и,»а-» с — Я г где символом )' а, обозначена сумма вычетов функции )". (г) относительно особых точек, лежащих выше действительной полуоси, а Г— полуокружность.
гг ~ Для оценки интеграла по полуокружности имеем (г = )се ~)'(г) г(г =- ') ) (йе'ч) Яе Ыф "шах ~~(Яе'~) ~ Й )г(р = ч)стах)~()(а'т)) 1 о о где шах (~()(г'~)~ обозначает максимум модуля функции ~(г) на полу- окружности Г и где 'принято во внимание, что ~ (е т~ = 1. Так как . 0Я ЭЛЕМЕНТБ! ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 541 Гс(Т(1сегт))~)-ьО при )т-ь для всех О( р (я, то рассматриваемый интеграл по полуокружности обращается в нуль. Попутно заметим, что способом, аналогичным выполненной оценке, может быть доказано более общее утверждение, называемое леммой Жордана: если функция Т(г) в верхней полуплоскости и на вещественной оси удовлетворяет условию, что она равномерно стремится к нулю при г-ь, а ( — некоторое положительное число, то при Й-ь о Рис.
!5. 9. Контур для вычисления инте- гралов в бесконечных пределах с помо- щью теории вычетов 1 (г) е с(г -ь О, з сти, что вычетов Т(г) относительно особых Т(х)с(х = 2~и' '~ ' точек, лежащих в верхней (12 полуплоскости Рассмотрим примеры. 1. Интеграл принадлежит к типу (10) и удовлетворяет, как легко проверить, всем условиям, необходимым для применимости формулы (12). Подынтег! ральная функция 1(г) =,, имеет полюсы третьего порядка вточках г = 1 и г = — !. Из них только полюс г =-1 лежит в верхней полу- 3 плоскости с вычетом — 1, вычисляемым по формуле (8).
Согласно 16 (12) имеем 2. Интеграл ОЭ соз хпх , +,,+,— (Реп > ГсеЬ > 0) о (14) !) Для вычисления контурных интегралов, возникающих при обращении преобразо. ванна Лапласа, необходима модификация леммы Жордана, получающаяся при замене переменной !з = з, т. е. утверждающая, что для любой функции Р(з), стремящейся равномерно к нулю при И-~со на полуокружности Г' радиуса И, лежащей в левой полуплоскости, имеем при любом положительном т 1!щ )" Р(з)ззтлз О л аг где контур à — полуокружность в верхней полуплоскости с центром в начале координат и радиусом )с. Эта лемма понадобится нам в дальнейшем'1, а сейчас, возвращаясь к интегралу (10), получаем окончательно из формулы (11) при )с -ь и оценки интеграла по полуокружно- 542 Глава пятнадцатая можно представить в виде в М 1 (' сов хдх 1 (' еехдх 2 ) (х'-1-аг)(хг -1- Ьг) 2 ) (х'-1- а')(хг -)- Ье) так как интеграл от нечетной функции 51П х (х'+ аг)(хг+ Ьг) по симметричному промежутку обращается в нуль.
Последний интеграл принадлежит к типу (10). В частности, легко убедиться, что подынтегральная функция еег ('+ 'И '+ Ь') стремится к нулю при возрастании г в верхней полуплоскости (т. е. когда 1гпг >О) быстрее любой степени г. Особые точки этой функции— четыре полюса первого порядка в точках г = ~(а, г = ~(Ь. Два из них г= (а и г = (Ь лежат над действительной осью. Вычеты в этих точках, вычисленные по формуле (9), равны соответственно е" е-Ь 21а(ае — Ь') 21Ь(аг — Ьг) Отсюда получаем О> а Далее рассмотрим новый тип интегралов 5' асов Ь, з! п 0) (О, о с(() (а > Ь > О). (16) Заменяя соответственно з(п Ь = г — 1/г 21 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
