Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 87
Текст из файла (страница 87)
= 3, со(2) =, <1 при О <х< ) получим 22+ 2+ ! л О! — "2 Ъ~ ~ 2 (; ) — „', . л=о 3 (21) где Сл — коэффициенты разложения =Усгл 2" +2+ ! л=о (С, = 1, С, = — 1, С, = — О, С, = 1, ...). Последний степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости (радиус сходимости этого ряда ! равен расстоянию до ближайшей к г = О особой точки функции,+ + 1, т. е., как легко убедиться, )г,л= 1). Из оценки (21) следует, что тепловой поток убывает при т- ° обратно пропорционально кубическому корню из времени. л О ( — 1 <Л,<Л,<...), то изображение Р(з) имеет при з- + ° асимптотическое разложение 560 Глава пятнадцатая Рассмотрим хотя бы один пример оценки интегралов типа (11).
Практический интерес представляет асимптотическая оценка очень часто встречающейся в анализе функции 1' (о + 1) = ~ е "х т(х о при а- + Начнем с преобразования формулы (22) к интегралу типа (11). Введем новую переменную интегрирования х = ох, тогда (22) перепишется О гп 1'(а -1- 1) = а'+' ) з' е — "т(з —.— о'+' ) е '1' 1пг111г = аг+1(л" (а) -(- Уа(о)), (23) где 1 (о) =-. ) е — м' — 1"от(г о О» уа(а) =-- ) Š— 1г — 1пг) т(2 ! /а (о) = 1/à Š—" т 2в (24) Теперь преобразуем интеграл 11(о), вводя новую переменную интегри- 1 рования е =- —, тогда т'1(о) примет вид и В гакой форме уже очевидно, что и 1,(о) является интегралом типа (11), /! в котором Ь (и) = — — ! — + !пи), и максимум Ь (и), как и необходимо, (, и достигается на нижнем пределе при и =! (точка и =, в которой также л'( ) = О, не является максимумом).
Далее, учитывая, что для Уг(в) ао(и) -- —,, тт(1) = — 1 и Ьп(1) — — 1 < О, получим из (16) .(,(.) = 1/ —; —.—. т 2п (25) приа . + Подставляя в соотношение (23) оценки (24) и (25), получим первый член асимптотнческого разложения для гамма-функции Т (а + 1) = )/ 2я в'+"* е —, (26) представляющей собой известную формулу Стирлинга, которая была использована в предыдущей главе (при выводе формулы вещественного обращения преобразования Лапласа). Интеграл Уа(о) принадлежит к типу (11). Имеем т!1(х) == 1, а = 1, й(з)= = — (г — !пе), Ь'(1) =-.= О, тт(1) =- — 1 и ттв(1) == — 1 < О.
Согласно формуле (16) имеем для Уа(о) оценку при а- + ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ НРИЛОЖЕНИ)Т 561 С методом Лапласа, служащим для асимптотической оценки интегралов по действительной переменной, тесно связан так называемый метод п ер евал а аснмптотических оценок контурных интегралов вида у (а) = )е е'"<о <р (г) <(г. с (27) (28) на участке, где йе [ай(г)) принимает наибольшие значения.
В точке г„ в которой Ке[а)<(г)[ принимает наибольшее значение, будет " (го) = О. (29) Эта точка не может быть точкой максимума или минимума функции Ке)<(г), так как согласно условиям Коши — Римана [см. (4) Ч 11 ве<цественные (и мнимые) части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа (г =- х -[- <у): д~ па )< (г) ~ па а (г) 0 дх' <)Д' а такие функции (называемые гармоническими), как известно, не могут иметь максимумов и минимумов. Следовательно, точка г, будет седловой точкой (или точкой перевала). Направление пути интегрирования в точке перевала должно быть выбрано согласно (28) и определяется урав- нением (30) [гп [аЬ (г)1 = 1п< [ай (га)1. Интеграл (30) по контуру, проходящему через точку г„уже может быть оценен по методу Лапласа, причем при больших а вклад в интеграл будет определяться только ближайшей окрестностью точки г,. Повторяя те же рассуждения, использованные при оценке интеграла (11), для первого члена асимптотического разложения (27) получим У (а) 1/ .
е'"<ь) <р (го). $' ае<""Ь" (го) (31) Рассмотрим один пример. Функция ее ( ' ! в окрестности своей Контурные интегралы такого вида тесно связаны с преобразованием Лапласа. При больших значениях параметра (Кеа — + ) подынтегральное выражение в (27) будет очень быстро колебаться из-за наличия в нем множителя е" ('"<о), изменяющегося с частотой, пропорциональной а. Эти колебания делают практически невозможным прямое вычисление интеграла (27). Поэтому естественно попытаться деформировать контур интегрирования, не пересекая особых точек и, следовательно, не меняя значения интеграла согласно теореме Коши таким образом, чтобы свести к минимуму колебания подынтегральной функции, особенно на тех участках, которые вносят наибольший вклад в интеграл.
Значение интеграла будет, очевидно, определяться тем участком контура интегрирования С, на котором модуль [е'"<'>[ = еп'(<ь<.)< будет принимать наибольшие из возможных значений. Чтобы избежать колебаний подынтегрального выражения, деформируем путь интегрирования так, чтобы е<<т( а<и) — сопз( Глава яятяадцатая 562 существенно особой точки г = О может быть разложена в ряд Лорана вО ег( 'т =- 1' С„(о)г", (32) где С„(о) — коэффициенты лорановского разложения. Эти коэффициенты определены формулами (17) и (17') й 3. Меняя в формуле (17') направление обхода контура на обратное и заменяя индекс — и, где и пробегает значения 1, 2, ..., на индекс и, где и принимает значения — 1, — 2, ..., а также учитывая, что в качестве Ся, (и Сл,) может быть выбран любой контур, охватывающий точку г = О, можно записать единое выражение для коэффициентов С„(о) в виде С„(.) = — "1'е (' (33) 2тц l го+1 с Этн коэффициенты можно непосредственно получить в виде степспного ряда по о, для чего достаточно воспользоваться разложениями отсюда легко находим, что коэффициент прн г" (ит =- О, 1, ...) равен С (") =,~~~ (.,и+и)~и ( 2 ) я=в (34) 1 а при я~ (ЗЗа) Из этого интегрального представления можно методом перевала определить асимптотическое поведение функции 7„(а) при о .
+ . При 1 1 Г 1 1 этом тр (г) = —; Ь(г) = — 11г — — ), точками перевала являются явят 2 1 г) — т— г, ==(=е г и г, = — 1= е г. Путь интегрирования для каждой из то. С,„(.) =( — 1) С.(.) (35). (и= 1, 2, ...). Однако выражения (34) и (35) совпадают с определением функции Бесселя первого рода целого порядка (см. приложение П). Таким образом, формула (33) дает интегральное представление функции 7„(о).
В формуле (33), как уже говорилось, контур С должен лишь содержать внутри себя точку г = — — О. Выберем в качестве С окружность единичного радиуса, тогда интегральное представление функции Бесселя в'„(о) запишется в виде ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУИКЦИИ И ЕЕ ИРИЛОЖЕИИЯ 553 1~ чек перевала соответственно определяется уравнениями 1т(г — — ! =. = ~25 Суммируя вклады от обеих точек перевала, получим из (31) 7 г'( — — л — — ) — г(а — — 'л — — ) \ ,Тл(а) — (е ' з 4 +е г' 2лл — ~ соз1л — — и — — ) . (35) Наиболее ценными для нас были бы теоремы, которые позволили бы по известному изображению Р (з), исходя из его аналитических свойств, т.
е. по положению и характеру особых точек, определить без вычисления соответствующего контурного интеграла асимптотическое поведение оригинала Т(л) при л-л Сначала рассмотрим отдельные случаи, когда функция Р(з) имеет точку ветвления, затем полюсы, а потом сформулируем теорему и для общего случая. Итак, пусть Р(з) имеет точку ветвления при з = 0 и не имеет других особенностей в конечной части плоскости з. Далее, пусть при )з~- Р(з) равномерно стремится к нулю в левой полуплоскости. Если Р(з) может быть разложена в ряд СО Р(з) = ~~ Слз (37) лен ( л ( ~з ~ Хз ~ ), то л Г(л) = ~) лсп (38) Для доказательства заметим, что интеграл ~'Р(з)пе = О, 2лю' с (39) где С вЂ” контур, изображенный на рис.
15.14 и состоящий из отрезка, проходящего правее и параллельно мнимой оси от точки а — 1)с до а+ 1)с (а) 0), из левой полуокружности радиуса Рт, верхнего и нижнего берегов разреза и окружности радиуса р вокруг точки з = О. Из леммы джордана непосредственно следует, что интеграл по полуокружности при )с' — обращается в нуль. Таким образом, равенство (39) может быть записано в виде Т" (л) = — — ~ е" Р(з) е(з, 1 г 2~и',) «о) где 7.
— контур, состоящий из верхнего и нижнего берегов разреза вдоль отрицательной полуоси между точками з = 0 и бесконечно удаленной точкой, и окружности радиуса р вокруг точки 'з=О. Направление обхода указано на рис. 15.14. Подставляя в (40) разложение (37) и предполагая возможность перемены порядка, в котором выполняется суммирование и интегрирование 564 Глава пятнадцатая (законность такой перемены можно О обосновать при некоторых дополнительных условиях, которые на практике, как правило, выполняются), получим Г (т) = — — С„ †2 †,,; 1) е'.
з л г(з. в=о Рис. 15. 13. Контур для интегрального представления гамма-функции О Г(т) =- — и С„т ~ ' — ~З' Е' Г(З'. п=-о 2ти г'. (41) Рассмотрим интеграл ,Г(г) = —.~ ' аг(з, 1 (42) где контур Ь' совпадает с Е, но обходится в противоположном направ- лении (рис. 15.15). Пусть г < 1, тогда интеграл по окружности 1 рт-л Еретик+ Г11 — г1 т егер 1 2я стремится к нулю при р- О, и Х(г) выражается через интегралы по берегам разрезов (на верхнем берегу разреза з = иегя и з — ' == х — 'е — '", на нижнем з .= ие — ' и з — ' = х-'ег ): вт ОЭ р — р Мплг Г' Л'(г) = — — ) Х еЕ Г(Х вЂ” ) Х аЕ Г(Х = ) Х аЕ 'Г(Х== 2яГ 2яг к о о о Г(1 (43) так как Г (и) = ~ е Ях" ' Г(х о при Гсеи ) О. Для гамма-функции имеет место известное функциональное соотно- шение Г(г) Г(1 — г) = и (44) поэтому (43) можно записать в виде 1 (г) = 1 У (а) Вводя новую переменную зт = з'(е )0)„ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
