Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Полагая з = — р+ ие' и а = — 'р+ ие —" соответственно на верхнем и нижнем берегах разреза и учитывая, что интеграл по полуокружности при стремлении ее радиуса к бесконечности обращается в нуль согласно лемме Иордана, получим о Рис. 1б. 13. Контур для вычис. ления обратного преобрааования Лапласа от фувкпии, имеющей точки ветвления а= — он е= — р Ли=0, а — й+ ие — ы — —. ~ е — м — "'1п 1 2я1 о или ч — й 21и 1 1 а — з+ иегч о е ,1О-1 =- + . 1п(е'"') 2тл т т (32) На этом закончим рассмотрение контурных интегралов, которые могут быть вычислены в конечном виде, т. е.
выражены через элементарные и специальные функции. Однако применение теории вычетов далеко не исчерпывается вычислением таких интегралов, тем более, что их сравнительно немного. В частности, большинство таких вычисляемых в конечном виде контурных интегралов типа (22), обращающих преобразование Лапласа, приведены в таблицах и справочниках 11181 по операционному исчислению. Если же решение некоторой задачи получено в виде контурного интеграла, который не вычисляется в конечном виде, то теория вычетов дает возможность выразить этот контурный интеграл через обычные интегралы по действительной переменной. Такое интегральное представление решения часто делает более обозримым его поведение и облегчает численные расчеты.
В качестве примера рассмотрим задачу теплопроводности для тела, занимающего полупространство О~(х( , плотность или теплоемкость которого возрастает линейно с удалением от поверхности х = О, иа которой происходит теплообмен по закону Ньютона. Требуется определить ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 549 плотность теплового потока через эту поверхность.
Итак, задача формулируется следующим образом: О х дТ РТ с — — == Л дс дх' (ЗЗ) дТ(0, с) т(о,х) О, ( ) =О. (34) Здесь т„с, 7, Л, 1, й — постоянные величины. Можно показать [116а, 57а), что искомый поток с)(т) —. — Л дТ(0, с) дх удовлетворяет следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода с разностным ядром: Рис.
16. !4. Контур для аычисления интеграла, определяющего плотность потока тепла по формуле (36) о( ') (с — с')Ч' льт,— 4() = ь~ о Г( 2) (35) где Так как в правой части интегрального уравнения (35) стоит свертка 1 функций с)(т) и —,, то оно легко решается применением преобразования Лапласа. Решение имеет вид с-1.со с)(т)=Лйт;+ —.— Г,,* а (с >О). 2я( „1 ач (ач -)-Ь1'(туа)) (36) где 1 8 ааааа тса Ма Этот контурный интеграл может быть легко преобразован в веществен- ный интеграл интегрированием подынтегрального выражения по конту- ру, состоящему из отрезка мнимой оси, разреза, соединяющего точки ветвления и = О и з =, и левой полуокружности (рис. 15.14). Так как внутри этого контура подынтегральная функция не имеет особенностей, то искомый интеграл равен просто интегралам вдоль берегов разреза (интегралы по полуокружности исчезают, согласно лемме )Кордана, при стремлении радиуса полуокружности к бесконечности).
Имеем са О(т) 1 Г е "' с(и + ЛЬТс 2яс ) о и Не а (и Не — с Р+ЬГяа)1 1 Г е и с(и =- О. о ич" е а (иЧ' е а+ Ь.Г(т/а)~ После простых преобразований получим о( ) з)/з (' е —" ЛЬТс 2я,) ха+а+1 (37) о 1 = (ьГ(1!3))ат, Глава пятнадцатая 550 Из решения в форме (37) сразу видно, что д(т) является монотонно убываюшей (от ЛЕТ, до О) функцией т. Интеграл (37) удобно интегрировать численно, а прн больших 1 для него в следующем параграфе будет получена простая асимптотическая оценка. Методы теории вычетов могут быть использованы и для задач, вкаком-то смысле обратных рассмотренным выше. Часто оказывается полезным выразить какую-либо функцию через контурный интеграл.
При этом интегральное представление сложной функции может оказаться удобным для исследования, если подынтегральное выражение в контур. ном интеграле имеет простой вид и содержит элементарные функции. Кроме того, деформируя контур в соответствии с теоремой Коши, можно получить различные приближенные оценки для интегралов, например их асимптотические оценки. В частности, если функция задана рядом, то представление суммы ряда через контурный интеграл позволяет в некоторых случаях найти сумму ряда в конечном виде.
Пусть 7(г) — рациональная функция и, следовательно, имеет конеч. ное число полюсов в точках г„..., г, пусть также степень многочлена, стоящего в числителе функции Дг), ниже степени многочлена в знаменателе не меньше, чем на две единицы, так что Г(г) убывает при г- А не медленнее, чем — —,. Рассмотрим интеграл по окружности радиуса (и+ 1/я) ) 7(г) с1дт:гт[г (и =- О, 1,...). 1м~=в-1-'и (38) Мероморфная функция с1дпг ограничена повсюду, за исключением окружностей с целочисленными радиусами. Поэтому для интеграла (38) имеем оценку ! )т 7(г) с1д пг т[г ( ( )т 1 [Г(г) с1п пг ~ т(г ( 1 ! И=я+— 2 1Ч =и+в 2 (,, М 2 (и+т7), (39) в ~~ (г) с1яттгт[г = 2 1 ~ —,)~~ ДА) + Ф= — и Р -',— твычеты [Г(г) с1япг) в полюсах 7(г)~.
1 где М вЂ” максимум модуля с1япг в плоскости г с удаленными окружностями целочисленных радиусов. Из оценки (39) следует, что интеграл ) 7(г)с1япгт[г-+О при и- . Этот же интеграл может быть вы- 1 1т1=п+— 2 числен с помощью теоремы о вычезах. Особыми точками подынтегральной функции в круге [г[= и+ 1/2 будут простые полюсы мероморфной 1 функции с1япг в точках г = О, ть1, ~2,..., ~п с вычетами — 7(г) и полюсы рациональной функции 7(г). Предположим, что и достаточно велико, так что все полюсы г„г,,..., г функции Г(г) попали в круг 1 [г[( и+ —. Тогда по теореме о вычетах имеем 2 элементы теории Аналитических тнкции ' ев пРиложении бб1 Переходя к пределу и -э , получим ! а вычеты 11'(з) с1я яг) т(п) = — тс ~„ в полюсах т(г) (40) Совершенно аналогично может быть получена формула для рядов типа ( — 1)" Г (п), где т" (г) обладает прежними свойствами Следует лишь в интеграле (38) 1 с1яаг заменить на .
В результате получим 5!и а вычеты 1 ( — 1)" т(п) = — а ~а 1 а= — с в полюсах т (г) (41) В качестве примера применения доказанных формул просуммируем ряд (42) Прежде всего запишем (42) в виде 2 ~ Х! и' + а! а' и' + а'" 1 Далее, рациональная функция имеет два простых полюса в за+ а' точках г = -!- !а, а вычеты функции с1я а2 в зтих полюсах равны г'+ а' Ыяа!2 СФ ° 7 — каждый.
Итак, согласно (40), получим 2юа 2а ОР 1 1 = — — + и' -!- а' 2аа 1 с11! аа —; — -. 2 —" = — '" с(1! я а — —. 2 2а 2а 2аа (43) $6. НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ В предыдущей главе были изложены основы операционного исчисления и связанные с его использованием свойства преобразования Лапласа. Эффективность операционного исчисления несомненна, ввиду его простоты и возможности пользоваться обширными таблицами интегральных преобразований. Однако обращение к непосредственному исследованию контурных интегралов, к которым сводится выполнение обратного преобразования Лапласа, весьма полезно, так как' форма решения 13" 552 Глава пятмаднатая задачи, выраженная в виде контурного интеграла, является наиболее гибкой и позволяет путем деформации контура интеграла и изучения поведения подынтегрального выражения в комплексной плоскости получить представление о ходе решения и различные достаточно простые приближения для решения.
К изучению аналитических свойств преобразования Лапласа и к простейшим методам получения асимптотическнх оценок мы и перейдем, не повторяя содержания гл. ХЮ. Напомним лишь, что функции, к которым применяется преобразование Лапласа, должны быть кусочно-непрерывными, отличными от нуля лишь при и > 0 и должны возрастать не быстрее показательной функции. Последнее означает, что существуют постоянные А > 0 и о,) 0 — такие, что для всех с > 0 )Г(т) ! < Ае"', Число оо называется показателем роста функции Г(т).
При этих условиях, как уже упоминалось в предыдущей главе, можно показать, что изображение Р(з) будет существовать в полуплоскости це з> о, и, более того, будет в этой полуплоскости аналитической функцией. Отсюда вытекает, что при Ке з =--= о- + любое изображение Р(з) стремится к О. Это немедленно следует из неравенства (1) н оценки Условие Р (з) -ь 0 при зсе а — + является необходимым для того, чтобы функция Р(з) была изображением по Лапласу.
Поэтому, например, функция з" (а) 0) не может быть изображением функции в обычном смысле'). Однако условие Р (з) — ьО при цех-ь не является достаточным для того, чтобы Р (з) было изображением, как это видно на примере функции е '. Заметим, что область, в которой функция Р(з) будет аналитической, как правило, шире полуплоскости зсе з > о,, в которой Р (з) представлена интегралом ) е "Г(т) пт. В этом легко убедиться с помощью табо лицы изображений в приложении Ч!. Например, функция Е (з) = Г (т + 1) , являющаяся изображением функции т', имеет лишь одну особую точку при з = О, которая в случае целого положительного о =- = т (и = О, 1, ... ) будет полюсом (и + 1)-го порядка.
Во всей плоскости, за исключением этого полюса, функция является аналнт1 лттт тической. Если о не является целым числом, то Р(з) будет многозначной функцией с ветвлением при з == 0 и з =, а областью аналитичности ее однозначной ветви, определенной условием — я < о < г (з = то =: ге ), будет вся плоскость с разрезом вдоль действительной отрицательной полуоси. Например, функция Р(з) =, являющаяся изоб! за+ 1 ражением з)пт лишь в полуплоскости Ке з ) О, будет аналитической во всей плоскости, за исключением двух простых полюсов в точках з = =- ~ й Поэтому хотя различные соотношения между изображением по 11 Здесь не рассматриваетдя теория преобразования Лапласа от так называемых обобтценных функций 125а, 20а), примером которых явлиется известная О-функция Дирака.
элементы теОРии АнАлитиуеских Фунггдии и ее пРилОжения 555 Лапласу и, в частности, все свойства такого рода, выведенные в предыдущей главе, установлены для соответствующей полуплоскости сходимости интегралов ) е 'Т'(т) Ит, эти соотношения можно путем аналитичео ского продолжения распространить на всю область аналитичности .соответствующих функций. Исходя из аналитических свойств преобразования Лапласа в комплексной плоскости, установим теперь два практически важных предельных соотношения. Во-первых, если функция Т(т) удовлетворяет неравенству ~~(з)~<М для всех т > О, где М ) 0 — некоторая постоянная, то (2) / 11гпзР(з) = Т( )/ , 5 -/-0 при условии, что 7( ) =1пп 7(т) существует. -~-а Во-вторых, если функция Т(з) удовлетворяет неравенству ~~(~))< Ае0-.
для всех т > О, где А и а,— положительные величины, то (3) ~ ~1 пп з Р (з) == Т (0)~ и -/-ю в предположении, что Т(0) = 1ппТ(с) существует. — -~-0 В формулах (2) и (3) з .стремится к соответствующим предельным значениям вдоль действительной оси. Для доказательства предельного соотношения (2) рассмотрим разность о О) ~м — и-)- *'(1 -"~«) — и-) 1' "'~1 (4) 0 о Так как з согласно условиям теоремы можно считать действительцым, то, вводя в формулу (4) новую переменную интегрирования х =, зт, получим зЕ(.) — И-) =- ~ [Х~ — ") — И-)~ -.Ех =- ~ [~( — ) — ~(-ф-. (х+ о о О + ~ [Т( — ) — Т'( )~е г(х, (5) к где х0 ) 0 — пока произвольная величина. Рассмотрим сначала интеграл К0 у, =- ) [,г( — ) — 1" ( )~е г(х. о Так как функция Т (т) ограничена ( ~ Т (т) ) < М для всех т ) 0), то, очевидно, 1,Т,1 < М (1 — е "') .
Глава алтнадяатаа В последнем неравенстве х, может быть выбрано настолько малым, что 1вт!< Мхо станет меньше любой сколь угодно малой наперед заданной величины, которую обозначим о > О. Зафиксировав такое х„выберем некоторое з„> О настолько малым, чтобы прн х > х, для всех О < з< зо Тогда для интеграла Э Уо = ~ ~~( — ) — Д )~е 'с(х л, имеем в ) в', ', < е ) е ' т(х = ое "э < е.
лв Складывая полученные для ),т",! и ),то! оценки, находим, что )зР(з) — ~( ) ~ < 2в. Таким образом, можно выбрать такое достаточно малое з, что ~з)а(з) — Г" ( ) ~ станет меньше заданного сколь угодно малого положительного числа, что и доказывает соотношение (2). На основании аналогичных рассуждений доказывается и формула (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
