Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Полученные предельные соотношения позволяют по известному изображению г (з), не вычисляя контурного интеграла, обращающего преобразования Лапласа, определить значения функции Г (т) при т = О н —, если известно, что Г(+ О) и Г( ) существуют. В задачах теории теплопроводности существование этих значений может быть часто установлено из физических соображений. Например, если из условий задачи очевидно существование стационарного температурного поля, то оно может быть определено по изображению решения с помощью соотношения (2).
Рассмотрим несколько примеров. 1. В ~ 2 гл. 1У было получено, что изображение по Лапласу температуры полупространства х > О с начальной температурой Т„на границе которого поддерживается нулевая температура, равно ')тт 5 7а(" ') 1 — в в Прежде всего, отсюда можно проверить, удовлетворяет ли полученное в результате вычитаний выражение для Ть(х, з) начальному условию. Имеем (т' ) =1!шз ~ = — Вш 1 — е 1 а") 70 $ +Ф 70 Б +О Далее, найдем стационарное значение температуры: ( ~/Х „') Т(х, ) = 1)шзТт (х,з) =Т,1пп 1 — е ' ( =О.
5 +о «о " ЭЛЕМЕНТБ! ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНК([ИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 555 2. В качестве несколько менее тривиального примера рассмотрим задачу о температурном поле в двух полупространствах, находящихся в тепловом контакте (см. 5 1 гл. Х). Правое полупространство имеет в начальный момент температуру Т„а левое — нулевую начальную температуру. Изображения имеют соответственно вид — — к Т (,) —" — " ' " (х)0), а 1 1 К а К, т, ~ГХ, Тад(х,з)= ' е " (х<0), (1+Ке) а (б) где -1/ Л, се те Лесе)к Имеем К, В Т (х, ) = Т, е +а 1+ Ке К, 1ип зТад (х, з) = Т, е +а !+К, Таким образом, при х -к оба полупространства имеют совпадающую (как и должно быть при существовании равновесного состояния) темпе- ат Т ратуру а, е Также легко проверить с помощью предельного соотношения (3), что выражения (6) удовлетворяют начальным условиям задачи.
3. Пусть Р(з) =, тогда 1 У -(-1 1пп зР(з) = 1ип ' = О, к-~.+~ е +,е У+1 1ип зР(з) = Вгп ' = О. +а е-+а ее+ 1 (х.е) д'Т(х, ) 0 < ~е< ( )~ де дхе Т(х, 0) =-О, Т (О, х) = Тк, з( п мх, =0 дх ) (7) Однако лишь первое из равенств дает значение функции Т(х) = з(п т при х = О. Но 1ип зР(з) не дает значения предела 7'(х) при к -1-а так как этого предела не существует, Аналогичная ситуация может встретиться и в некоторых задачах теплопроводности, например, в задаче о полупространстве х) О, на границе которого температура изменяется со временем по гармониче. скому закону. При простейших краевых условиях можно записать Глава пятнадцатая Легко вычислить, что Тлх,з)=т„л, е т (8) Хотя из (8) следует, что 1пп зТс (х, з) = О, л +О но это не означает, что 1пп Т (х, х) = О, так как последнего предела не существует.
Рассмотренные предельные соотношения для преобразования Лапласа, выражаемые формулами (2) и (3), являются весьма частным случаем асимптотических оценок. Рассмотрим некоторые методы асимптотических оценок, полезные при исследовании задач теории теплопроводностн. Две функции Г (х) и д (х) называются асимптотически равными при стремлении их аргумента х к некоторому значению х„если отношение ~(х)/д(х) стремится к единице при х-л х .
Асимптотическое равенство будем записывать в виде Г(х) =д(х) (х-лх,). Например, х+1жх при х-л Ех айх= — при х-л + 2 хе+ Зх+ 2 ! — при х -л + 5хл+ — + 1 ОХ 2 5!п х ж х при х -л О г(х)ж ~' л=в (9) (л, < л, < л, <...). Ряд (9) не обязательно сходится, но и для расходящихся асимптотических рядов, в практически встречающихся случаях, погрешность от те 'с~ с замены функции Г (х) отрезком ряда (9) т — „может быть сделана с.'~ „.
с, меньше последнего члена суммы —, т. е. хтл х т~ с„1 Г(х) — ~ -лО прн х-л .Л~ „"~ л=в (10) н т. д. Практический интерес представляет случай, когда функция д (х) является более простой с точки зрения способа ее вычисления прн х -+ х, по сравнению с функцией Г (х). При х — л такими простыми функциями часто могут служить ряды по убывающим степеням х; ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 551 где все величины действительны. Интеграл (11) при больших значениях положительного параметра а может быть оценен с помощью метода Лап ла с а, сущность которого заключается в том, что если функция й(х) имеет на отрезке (а, Ь) максимум, то при больших а этот максимум будет выражен очень резко и основной вклад в значение интеграла даст окрестность точки максимума.
Если функция Ь (х) имеет несколько максимумов, то промежуток интегрирования в (11) можно разбить на конечное число интервалов так, чтобы функция И (х) принимала максимальное значение лишь в одной из концевых точек каждого из интерва. лов (например, на левом конце) и не достигала максимального значения в других точках. Поэтому достаточно ограничиться случаем, когда в интеграле (!1) функция 6(х) имеет единственный максимум при х .†.- а, т. е.
Ь(х) <Ь(а) при всех а <х(Ь. Пусть функция Ь(х) имеет непрерывную производную второго порядка. В точке максимума Ь'(а).=О и И" (а) (О. Существует такое достаточно малое число Т ) О, что производная Ь' (х) < 0 при а < х ( а + т. При а — + ° тогда имеем а-~-у Р (з) = ~ ср (х) е "('> с(х. а (12) Предположим также, что функция ~р(х) непрерывна, и введем вместо х новую переменную интегрирования у согласно соотношению Ь(а) — 6(х) =- у'. Далее заметим, что асимптотическое разложение функции, если оно существует, определяется единственным образом.
Однако один и тот же асимптотический ряд может служить асимптотическим разложением различных функций. Например, две функции Т'(х) и Т(х)+е-" имеют одинаковые асимптотические разложения при х — +, так как 1пп х пе = 0 для любого 1,„. х + Асимптотические ряды можно почленно складывать, перемножать и интегрировать. Если известно, что производная функции допускает асимптотическое разложение, то его можно получить, дифференцируя асимптотическое разложение функции.
Практическая значимость аснмптотических оценок чрезвычайно велика. Это объясняется тем, что решение многих нетривиальных задач математической физики получается очень громоздким или сложным по форме. Например, оно может быть задано сложным функциональным рядом или контурным интегралом. Вместе с тем часто в задачах надо знать точное решение не при всех значениях параметров и переменных, а лишь при некоторых предельных значениях.
Например, иногда достаточно знать поведение решения по истечении большого промежутка времени. В этих случаях о поведении сложного точного решения можно судить по его асимптотическому разложению. Так как решение линейных задач теории теплопроводности может быть всегда выражено в виде контурных интегралов (а в ряде случаев и интегралов по действительной переменной), то, естественно, в первую очередь надо рассмотреть методы асимптотических оценок интегралов соответствующих типов.
Начнем с вещественных интегралов вида ь Р (а) = ~ ср (х) е"" с э ах, (11) а Г ° т Глава пятнадцатая Тогда (12) можно переписать в виде У Р(а) — 2е'"1"1 ) у т,( (У)1 е — 'в'т(у й' (х (уЦ о (14) где > О. Как уже говорилось выше, существенным в (14) является лишь значение подынтегральной функции в окрестности точки х = а (т. е. у = 0). Поэтому в (14) под интегралом можно приближенно заменить р (х) на )р (а), а частное на 11гп — = 1пп у (х) . у (х) . )т й (а) — й (х) й (х) х а+О й' (х) х а+О й (х) — (х — а) й" (а) =- 1пп 1 )' ) ) )* ) ) — 2))) С учетом этих результатов соотношение (14) теперь запишется У Р (а) ~тГ „тр (а) е'й(а) ) е — 'о' т(у.
о При а — )- лт в последний интеграл вносят вклад лишь значения у, близкие к О. Поэтому, не внося сколько-нибудь существенной ошибки, можно заменить верхний предел интегрирования )' на бесконечность. Окончательно получим асимптотическую оценку интеграла типа (11) для а — + при условии, что а(х) имеет максимум при х = а: Р (а) )/ , Е и( )тр (а) (16) Р (а) = ~ Ч) (х) е — '" Их о имеет асимптотическое разложение )в +о+) Р(а) ~~~~~~~ 0" Г ( а++ 1 ) (18) в=о где р> — 1, и коэффициенты С„определяются из разложения функции тр(х) в степенной ряд вида <р (х) = «в С„х" +о, я=о который предполагается сходящимся при ~х ( Я >О. Путем аналогичных рассуждений могут быть получены и последующие члены асимптотического разложения Р (а).
Приведем полное асимптотическое разложение лишь для одного важного частного случая интеграла (11), когда й(х) = — х' (а >0), а = О, а 0 (Ь~( . Если также ~ )р(х) ~е-""" г(х сходится для некоторого а, то интеграл а ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 559 Непосредственным следствием из оценки (18) для интеграла (!7) (при я = 1, Ь = и замене обозначений х — т, о — з) является теорема об аспмптотическом разложении изображения по Лапласу: если интеграл Р (З) = ) Š— л'Т (л) О(2 о где-либо сходится, а оригинал Т(т) может быть разложен вблизи точки —.
= О в сходящийся ряд вида Т (2) = ,)' Слл"л Р (з) 1чй, ~ С ! ( л + !) л л' л=о (19) Более полезной явилась бы теорема, которая по некоторому разложению изображения давала возможность судить об асимптотическом поведении оригинала. Такая теорема будет приведена ниже.
Следующим примером полученной асимптотической оценки для интегралов типа (17) может служить приведенное в 9 5 интегральное представление для плотности потока тепла через поверхность полупространства, плотность или теплоемкость которого линейно возрастает с удалением от поверхности (см. (33) — (37) 9 5). Было показано, что поток тепла пропорционален интегралу о (20) При 1 — (большие значения времени) из формулы (18) (если р = О, ! О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
