Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 81

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

Для равномерной сходимости ряда (1) достаточно, чтобы для всех г из области О имело место оценка для модуля членов ряда (1)) ( иг (г) ~ < тг при всех )г, где т, — положительные числа, образующие сходящийся ряд. При этом ряд (1) сходится и абсолютно, т. е. сходится ряд из модулей членов ряда (1).

Глава пятнадцатая 33О Для равномерно сходящихся рядов можно доказать несколько интересных утверждений относительно оперирования с такими рядами и свойств нх суммы. Во-первых, если члены ряда (1) иа (г) (й = 1,2,...) — непрерывные функции в некоторой области Р и ряд равномерно сходится в этой области, то сумма ряда будет непрерывной функцией.

Во-вторых, если ряд (1), состоящий из непрерывных функций, сходится равномерно на некоторой кривой, то этот ряд можно почленио интегрировать вдоль этой кривой. И, наконец, если члены ряда (1) являются аналитическими функциями в замкнутой области Р с контуром С и ряд равномерно сходится на контуре С, то он сходится равномерно и во всей области Р, сумма его представляет собой аналитическую функцию внутри области Р, а ряд (1) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз (теорема Вейерштрасса).

Теперь рассмотрим частный случай рядов (1) — ряды вида ОЭ а„(г — Ь)", (3) п=о которые называются степенными рядами. Для степенных рядов весьма просто может быть доказана (38а] теорема Абеля: если ряд (3) сходится для некоторого г =- г„то он сходится абсолютно во всякой точке г, удовлетворяющей условию (г — Ь)< )г,— Ь!, т. е.

расположенной ближе к точке Ь, чем г,. Кроме того, ряд (3) будет сходиться равномерно во всяком круге с центром в точке Ь и радиусом, меньшим расстояния ~г, — Ь!. Из теоремы Абеля следует, что если ряд (3) расходится в некоторой точке г„ то он расходится и во всякой точке, которая находится дальше от точки Ь, чем г,. Следовательно, для всякого степенного ряда (3) существует положительное число Я, такое, что ряд сходится при ~г — Ь! < Я и расходится при ~г — Ь| ) )с. Число )с называется радиусом сходнмости степенного ряда, а круг ~г — Ь~ < тт' — кругом сходимости этого ряда. Из теоремы Абеля следует, что ряд (3) будет сходиться равномерно внутри своего круга сходимости'>. Если радиус сходимости )т равен бесконечности, то соответствую|ций степенной ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Наконец, отметим необходимый для дальнейшего факт, Так как ряд (3) сходится равномерно внутри своего круга сходимости, то к нему применимы теоремы, сформулированные выше для общего случая рядов с переменными членами, в частности, и теорема Вейерштрасса. Поэтому сумма степенного ряда (3) является аналитической функцией внутри круга сходимости этого ряда, а ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз. Покажем теперь, что всякая функция Г(г), аналитическая в некотором круге ~ г — Ь ~ < Я с центром Ь, может быть представлена внутри этого круга степенным рядом (3) и что такое разложение единственно.

Представление функции таким степенным рядом называется разложением в ряд Тейлора. П Вопрос о сходимости ряда на окружности (а — Ь ! = .т требует специальных исследований. элементы теории лнллитичиских ььнкиии и ее пяилол(ания 551 Для доказательства сформулированного утверждения построим контур С, имеющий форму окружности с центром в точке Ь и с радиусом, меньшим радиуса круга сходнмости Я, но содержащим некоторую фиксированную точку г. Тогда для функции т(г) будут выполнены все условия применимости формулы Коши (10)~ 2, и можно записать: 2 1 Г 7(г') с (4) Знаменатель подынтегрального выражения в формуле (4) можно пред- ставить в виде 1 1 1 У (» — ь)" г' — » г' — Ь» — Ь ~ (»' — Ь) "и 1 — —, л=О г —.ь (5) на основании формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии, которая, в свою очередь, применима потому, что (» — Ь~ < < ~г' — Ь | ()г' — Ь ! — радиус окружности С, а точка г по условию находится внутри этой окружности).

Для модулей членов ряда (5) имеем оценку ( — ь) ! ь)п+ь / = и ч" (6) 7'(») ~~у а (» Ь)л а =0 (7) где 1 Г 7 (»') (г' — ь)"' с или, согласно формуле (12) 2 2 для п-й производной функции т(г) имссм 7(п1 (ь) (0) т. е. получаем окончательно, что значение функции 7'(г) в любой точке внутри круга )г — Ь! < Я, в котором т(г) аналитична, может быть пред- ставлена рядом Тейлора (Ь) Р (г) =-: '~~ „1 (г — Ь)". (10) Легко показать, что разложение (10) единственно. Для этого достаточно показать, что коэффициенты а„в формуле (7) определяются г — Ь где й'с — радиус окружности С, а а = ~; ь ~ и 0 < а < 1.

Таким образом, из теорем, сформулированных в начале настоящего параграфа для рядов с переменными членами, и формулы (6) вытекает, что ряд (5) будет сходиться равномерно относительно переменной г' и, следовательно, его можно почленно интегрировать. Умножая левую и правую 1 части соотношения (5) на 2 . )'(г') и интегрируя по контуру С, получим, воспользовавшись формулой (4), 532 Глава пятнадцаь ая однозначно по формуле (9). Полагая в (7) г =- Ь, находим а„= 1'(Ь); далее, дифференцируя ряд (7) и после каждого дифференцирования полагая г = Ь, получим формулы (9) для коэффициентов ряда. Из всего изложенного ранее следует, что ряд Тейлора в точке Ь функции 7'(г) сходится внутри круга с центром в точке Ь, внутри которого функция 7'(г) аналитична. Таким образом, радиус сходимости ряда Тэйлора совпадает с расстоянием от точки Ь, в которой ищется разложение, до ближайшей от нее особой точки функции Г(г), в которой 1 последняя уже не является аналитической.

Например, функция которая в точке г = 0 разлагается в ряд Тейлора вида ! 1+2 = 1 — г+г' —... У имеет особую точку г = — 1, в которой она и ее производные бесконечны. Поэтому радиус сходимости ряда (10) равен единице, т. е. он 1 сходится лишь при ~ г~ ( 1. Функцию в точке г = 4 можно раз!+г ложить в ряд Тейлора %1 ( — 1)" ! + — — з,+, (г — 4)", (12) л= О 1 который сходится и представляет функцию ! в круге с центром в точке г = 4 радиуса 5, равного расстоянию от точки г = 4 до ближайшей (и в данном случае единственной) особой точки г = — 1.

Очевидно, что функция не может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности ее особой точки. Однако можно получить некоторое разложение, справедливое и вблизи некоторых типов особых точек. Для этого рассмотрим степенной ряд вида (г Ь)л Х. (13) а,г' + а,г" + а,г" + .... (14) Такой ряд имеет некоторый круг сходимости, радиус которого о5означим Чя, с центром в точке г' = О. Таким образом, область сходимости ряда (14) определяется неравенством ~г'~ < —. Переходя к прежней лз переменной г, получим, что ряд (14) сходится при ~ г — Ь|> Я,. Поэтому ряд (!3) сходится в области, определенной неравенствами г — Ь ! ( Лм (15) г — Ь( й,.

содержагций не только положительные, но и отрицательные степени (г — Ь). Такой ряд называется рядом Ло ра на. Определим его область сходимости. Часть ряда (13), содержащая положительные степени (г — Ь), является обычным степенным рядом и, следовательно, имеет некоторый круг сходимости ~ г — Ь | < й,. Для рассмотрения части ряда (13) с отрицательными степенями (г — Ь) введем новую переменную г' = (г — Ь) '.

Тогда эта часть ряда превратится в обычный степенной ряд вида ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИсТЕОКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 533 (16) «=о Эти неравенства могут выполняться и, следовательно, определять собой некоторую область только в том случае, если )тт ) )!(з. Эта область представляет - с собой кольцо, ограниченное концентрическими окружностями радиусов )7, и )са ь с и„ с центром в точке Ь. Так как в преды- 2 дущих рассуждениях мы разбили ряд Лорана (13) на два степенныхряда, то из свойств степенных рядов следует, что р, ряд (13) внутри его кольца сходимости сходится абсолютно и равномерно, сумма его является аналитической функцией в рнс.

!З. З. Контур используе- кольце, а ряд можно почлепно диффе- мый при выводе разлоакения в ренцировать. ряд Лорана в окрестности точДокажем теперь, что если функция ки г=а 1(г) аналитична внутри кольца )аз ((г— — Ь |< 17, (внутри окружности ~ г — Ь | = )аз и вне окружности (г— — Ь|=)с, у функции 1(г) могут быть особые точки), то она может быть разложена внутри этого кольца в ряд Лорана. Несколько сжав внешнюю окружность Ср и несколько расширив внутреннюю окружность Ср (рис. 15.5), можно считать, что функция 1(г) является аналитической на обеих окружностях.

Тогда к внутренней части кольца можно применить формулу Коши. Для произвольной точки г внутри кольца имеем 1(г) = —. ) —,— с(г'+ —. (, с(г. 1 (г)' . ! 1(г') 2к! ) г' — г 2тд ) г' — г с с Применяя к каждому интегралу в формуле (16) рассуждения, совершенно аналогичные приведенным в случае ряда Тейлора, получим для коэффициентов ряда (13) выражения ! г 1(г') (17) с (и =0,1, 2,...), а, = — —, 1 1(г') (г' — Ь)" 'с(г' ! (17') с (и = 1,2,...). Направления обхода контуров Ср и Ср указаны на рис. 15.5. Нетрудно показать, что и при сформулированных условиях разложение (13) функции 1(г) с коэффициентами, определенными согласно соотношениям (17) и (17'), будет единственным.

В качестве примера разложения функций в ряд Лорана рассмотрим 1/ функцию е '. Особой точкой этой функции будет точка г = О. Следовательно, кольцом сходимости ряда Лорана будет вся комплексная плоскость, за исключением начала координат. Ряд Лорана имеет вид , а все коэффициенты а „(и = 1, 2, ...) равны нулю. и!г" Глава пятнадцатая 534 Е А КЛАССИФИКАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ ПО ИХ ОСОБЫМ ТОЧКАМ. ПОНЯТИЕ ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРОДОЛЖЕНИИ Представление функций рядами Лорана дает возможность классифицировать изолированные особые точки аналитической функции, т.

Характеристики

Список файлов книги