Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Для перехода к оригиналу разложим 2 (г) в ряд: (2п)1 й'" =С ~ (2» п1) з зз».п »=о Воспользуемся известным преобразованием Лапласа; тогда р» 1 .(.) = С У. (Д )-. (2» »1) з »=а (е) Постоянная С = 1, так как г (0) = 1 по условию.
Полученный ряд для г(т) представляет собой функцию Бесселя первого рода нулевого порядка от чисто мнимого аргумент (лс), т. е. г (т) = Ур (Гсс). (7) Таким образом, получаем новое преобразование ]7зз — лз (8) Если положить й = с' ()сз = — 1), то )р(гз) = Хр (с), откуда получаем = гр (»). 2. Дано дифференциальное уравнение Бесселя порядка ж чз г» (т) + ч г' (с) + (тз — рз) г (») = О, (10) (з' + 1) 2» (з) + Зз2' (з) + (1 — »з) 2 (г) = О, Полученное уравнение является довольно сложным, эа исключением частного случая, когда р = 1. Введем новую переменную у (р) = -." г(т); тогда получим (12) ту» (с) + (1 — 2») у' ( с) + су (с) = О. к которому применено преобразование Лапласа (р — положительное целое числа), Применяем тот же способ перевода дифференциального уравнения от оригинала функции к ее изображению: Глава четырнадцатая 498 Так как у (О) = О, то имеем (ва -1-1) У' (а) + (! — '2ч) вУ (в) = О.
Решение данного дифференциального уравнения имеет вид ОС Сч! ( — 1)л (2и+ 2ч) ! 1 У (е) (2ч)1 О О 2ал п ! (ч + и)! вал + Яч + ! л=о (14) откуда см у ( В. д (л) = , с (2ч)! ~ 2ал и! (ч + и)! л=е !С 1 Выберем постоянную С так, чтобы = — „, тогда искомая функция а (л) (2ч)! 2" (15) равна О ( !)л / л Тч.(зл Г(л) = ~ ( ) =ХО (с), и! (ч + и)! (, 2 ) и=а где е, (с) — функция Бесселя первого рода порядка ч. Из данного примера получили новое соотношение для изображения функции у(л): 2ч! ).( " 7„ (т)) = 2' ч! (Ос+ 1) "+ П (17) $ 3.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ и(г) = 1 К(г, с) п(с) с(с, (1) с причем ядро преобразования К(г, с) является аналитической функцией от каждой из комплексных переменных, а путь интегрирования С следует каждый раз выбрать надлежащим образом. При ядре К(г, с) = е" или К(г, с) = е"' получаем преобразование Лапласа. Остановимся на этом несколько подробнее. Пусть дана некоторая функция Р (з) от комплексной переменной з = + СО =с + (ч), причем Р(з) регулярна в полосе а (1 (8 и ~ (Р($ + (ч))(с(т) — СО сходится в этой полосе. Допустим, что в каждой более узкой полосе а+ б (» (р — 6 (6 ) Π— произвольно малое постоянное положительное число) функция Р(з) равномерно стремится к нулю с возрастанием абсолютного значения ординаты ч).
Тогда для действительных положительных значений я имеют место соотношения Все операционные методы базируются на интегральном преобразовании функции и поэтому могут быть названы методами интегрального преобразования. В теории аналитических функций доказывается, что любую функцию и(г) от комплексной переменной г = х+ гу, удовлетворяющую определенным условиям, можно преобразовать в новую функцию 0(() от комплексной переменной с = » + (т) с помощью соотношения ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ое1, +Гоа д(х) ==- ~ х аЯ (з) с(з, (2) 1 2ы Р (з) = ) х' ' я (х) дх. (3) о Формулы (2) и (3) известны под названием формул обращенияя Мелина' ), нли формул преобразования Мелина. Сделаем замену действительной переменной х = е-'; тогда д(х) = Г(т) и получим +г о ~(т) = — ~ и" Р (з) дз, (4) ОГЛ Рис.
14. 2. Схема интегрирования а+Г:о (6) 2кг 3 а — 1оа Интеграл берется по прямой, параллельной мнимой оси и лежащей справа от нее на расстоянии о (рис. 14.2). Модуль подынтегрального выражения при т > О быстро стремится к нулю, когда и -ь в правой полуплоскости по направлению, непараллельному мнимой оси. Для т > О интеграл равен 1, так как слева от о подынтегральное выражение имеет одну особую точку — простой полюс з = — О. Следовательно, имеем +аз ~ь (О при <О 2пг,) а ) 1 при т>Π— Гао Заменим с на т — 0; тогда а+а'оа ,1а з1 ла )' О при тс. О, 2вг .) з ( 1 при с>0.
а — Гао (8) 11 Доказательство приведено в кн. Курант и Гильберт. Методы математической физики, т. !. М.— Л., Гостехтеоретиздат, 1933, стр. 93. з1 См. попробнее: Эфрос и Данилевский, Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков — Киев, УОНТИ, 1937, стр. 19. +:о г (з) = ) е ' 1 (т) с(е. (5) оа Интегральное соотношение (5) является преобразованием Лапласа.
Следовательно, если интегральное преобразование (5) принять в качестве прямого преобразования функции Г (с) от действительной переменной, то соотношение (4) является обратным преобразованием, т. е. функция Р (з) есть изображение функции Г (т). Соотношения (4) и (5) непосредственно получаются из формул обращения Мелина, но они могут быть доказаны упрощенным методом, который наглядно иллюстрирует представление функции Г" (т) в виде интеграла от комплексной переменной. Ниже приводится этот метод в несколько сокращенном видез1. Рассмотрим интеграл Глава четырнаднатая 500 Заменим 0 на О, и на Ов(В, < 0,) и из первого интеграла вычтем второй. Тогда получим а+1со 0 при с < 8„ 1 Г В-аа,  — аа, (= —.
) е" 1(з= 1 при 0,<с<ба, (9) а — 1»о О при >О,. Следовательно, интеграл 1 представляет собой некоторую разрывную функцию, график которой приведен на рис. 14.3. Возьмем произвольную функцию 1(с) от вещественной переменной е, определенной в промежутке от т, до тв. График атой функции изображен на рис.
14.4. Непрерывную кривую 1' (т) можно заменить ступенчатой линией тр„(с), значения которой совпадают с 1(с) в п точках 8„0„ Оа, ..., Ол и причем е, = Во<0,<ба« ...'Вл = та. 11т1 0 тс 6» 6» 63 ал-» 6»-с т» Рнс. 14, 3. График единичной фун- Рнс. 14. 4. К выводу форкцнн мулы обращения Мелина Каждую ступеньку (0л, Оа„) можно выразить с помощью интеграла !, а вся ступенчатая линия выразится как сумма интегралов 1: л — 1 »+1 со ».1Ч=Х1М вЂ” '.
)" а=о — »а» а+1са — ) "(х -'" —,а, —.е т Гз= о1 ((О ) йОа 1(з, где .( в .,— ва) 1 — е в =΄— Π— (О, — Ол)' в + .... (11) ДО а+1а» л — 1 1(с) = — $ е" 1пп ~, е а 1(Оа) (8 „— О ) 1(з = 2в1 л со а — с со а=о а+с о сс — е ~ е ' ((т) 1(тс(1. 2л1 Если неограниченно увеличивать и так, чтобы все разности (О „— — Он) -э О, то 1р„(с) -э1(т), а ЛОа будет отличаться от (Оа„— 0 ) на бесконечно малую величину второго порядка.
Тогда будем иметь ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 501 Изменим пределы интегрирования функции 7' (с) по т от — до + (с, = —, со = ). Тогда, обозначив интеграл от 7'(т) по с через Р(з), получим +с'со 7' ( с) = — ~ е" Р (з) с(з, (13) 2сс с Р(з) = ) е * Г(с) с(т. оо (14) Поскольку в наших задачах с)~0, то со Р (з) = ) е Г (т) с(с. о (15) Карсон в обосновании операционного исчисления воспользовался видоизмененным интегральным преобразованием (15): йу(р) = Р ) е е'Г(с) сУ, о (16) В большинстве работ по операционному исчислению в качестве интегрального преобразования принимается соотношение Лапласа — Карсона.
Для нахождения обратного преобразования (16) надо в соотношении (13) функцию Р(з) заменить на, з — на р и т — на ~, Тогда получим и'(Р) Р о+Ссо 7'(с) = — ~ ее' Р с(р, (! 7) Интегральное соотношение (17) называется формулой Бромвича; оно применяется для нахождения оригинала функции по ее изображению, если преобразование функции производится по Лапласу — Карсоиу. Таким образом, все операционные методы основаны на интегральном преобразовании (1) и, в частности, на формулах обращения Мелина.
Можно отметить, что из преобразования Лапласа непосредственно получается преобразование Фурье. Для этого достаточно вместо компЛЕКСНОй ПЕрЕМЕННОй НаПИСатЬ СООтВЕтСтВуЮщЕЕ ВЫражЕНИЕ З = 1+ (оЬ т. Е. со Р(1+ со)) = ~ е 'о ~е 7'(т)~ с(с. о (18) где р — некоторый параметр, равнозначный з. Соотношение (16) называется интегралом Лапласа — Карсона.
Исходя из соотношения (16), можно показать, что параметр р обладает свойствами оператора Хевисайда ('= —." ) Преобразование (16) отличается от преобразования Лапласа (15) только тем, что вместо Р(з) входит функция (Р'(Р). Функцию Ю'(р) также можно назвать изображением функции Г(т) по Лапласу — Карсону.
Соотношения между ЦР(р) и Г" (~) могут быть использованы при получении соотношений между Р(з) и Г'(1), если положить ~(~) =Г(), Р(.) = — '"'. (16а) Р ОСНОВЬ( ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 503 В обратном преобразовании интегрирование происходит вдоль прямой о = сопл(, причем число о может быть произвольным и большим, чем о. Интегрирование происходит по прямой о = сопя( в плоскости з = с + (т), параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Вез )~ зх ~ оа й 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
